Kompleks o’zgaruvchili funksiya integrali va uning xossalari

15-ma’ruza.

Kompleks o’zgaruvchili funksiya integrali va uning xossalari. (2 soat)

Dars rejasi:

1.Kompleks o’zgaruvchili funksiya integrali.

Kompleks o’zgaruvchili funksiya integralining ta’rifini beramiz. Tekislikdagi to’g’rilanuvchi chiziqda bir qiymatli funksiya berilgan bo’lsin. chiziqning boshlang’ich nuqtasidan oxirgi nuqtasiga qarab uzluksiz harakat qilinganda ketma-ket uchraydigan nuqtalarni olamiz va quyidagi integral yig’indini tuzamiz:

(15.1)

chiziqning va nuqtalarini tutashtiruvchi qismini ,uning uzunligini esa bilan belgilaymiz.

Ta’rif. Agar da (15.1) yig’indi nuqtalarning tanlanishiga bog’liq bo’lmagan holda aniq chekli limitga intilsa, u holda funksiya chiziq bo’yicha integrallanuvchi deyiladi. Bu limitning qiymatiga funksiyaning chiziq bo’yicha integrali deb ataladi va u



kabi belgilanadi.

Integralning mavjudlik sharti.

15.1-Teorema. Agar funksiya to’g’rilanuvchi chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda integral mavjuddir.

Isbot. Buning uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

, .

U holda (15.1) yig’indi quyidagicha ifodalanadi.



. (15.2)

Bu (15.2) ifodaning haqiqiy qismi va mavhum qismining koeffisenti haqiqiy analizda o’rganilgan ko’rinishdagi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning integral yig’indilaridir. Agar va funksiyalar to’g’rilanuvchi chiziqda uzluksiz bo’lsa, u holda bunday integral mavjuddir.(G.M.Fixtengols, Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniya,tom 3,1949.p.560 ga qarang).Teorema shartiga ko’ra va funksiyalar to’g’rilanuvchi chiziqda uzluksiz bo’lganligi uchun bu yerdan da (15.2) tenglikning o’ng tomonidagi har bir yig’indining mos ravishda aniq chekli va limitlarga intilishi kelib chiqadi. Demak, (15.2) ning chap tomoni ham aniq chekli limitga ega va bu limit quyidagiga teng:

. (15.3)

15.1-teorema isbot bo’ldi.
Integralni hisoblash.(15.3) formula quyidagicha yozilsa yaxshi esda saqlanadi:

. (15.3¹)

Bu integralni hisoblash maqsadida chiziqni silliq va tenglamaga ega desak,(15.3¹) dan quyidagiga ega bo’lamiz:



. (15.4)

(15.4) formulaga ko’ra kompleks funksiya integralini hisoblash masalasi haqiqiy funksiyalarning odatdagi aniq integrallarini hisoblashga keltirilar ekan.

15.2-Misol. integral hisoblansin. Bu yerda aylana soat strelkasiga teskari yo’nalishda o’tiladi.

Yechish. Aylana silliq chiziq bo’lib, uning parametrik tenglamasi dan iborat. bo’lganligidan (15.4) ga asosan

.
Integralning asosiy xossalari. Quyida keltiriladigan xossalarning barchasidagi integrallarni mavjud deb hisoblaymiz.

Quyidagi to’rtta xossa integral ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.

15.1-Xossa. Agar chiziqni musbat va manfiy yo’nalishlarda o’tishdan hosil bo’lgan chiziqlarni mos ravishda va desak,u holda .

15.2-Xossa. Ixtiyoriy kompleks o’zgarmas uchun .

15.3-Xossa. Agar chiziq bo’ylab musbat yo’nalishda harakat qilganda u ketma-ket uchraydigan chiziqlardan tashkil topgan bo’lsa, u holda .

15.4-Xossa.

(15.1-15.4 xossalarini isbotlash talabalarga havola qilinadi).

15.5-Xossa. Agar chiziqda tengsizlik bajarilsa, u holda



tengsizlik o’rinli, bunda chiziqning uzunligi.

Isbot. .Bu tengsizlikda da limitga o’tsak, 15.5 xossa kelib chiqadi.

15.6-Xossa. 15.5 xossa quyidagi yanada aniqroq tengsizlikdan ham kelib chiqadi.

.

Bu xossaning isboti tengsizlikdan kelib chiqadi.

Kompleks analizda sohaning chegarasi bo’yicha olingan integrallar muhim rol o’ynaydi. Faraz qilaylik, soha chegarasi chekli dona yopiq to’g’rilanuvchi Jordan chiziqlaridan iborat bo’lsin.

2-Ta’rif. Agar funksiya sohaning chegarasi da uzluksiz bo’lsa, u holda bo’yicha musbat yo’nalishda funksiyadan olingan integral deb, ni tashkil etuvchi barcha chiziqlar bo’yicha dan olingan integrallarning yig’indisiga aytiladi:

,

bu yerda -chiziqlardagi integrallash yo’nalish shunaqaki, shu yo’nalish bo’ylab harakat qilganda soha chap tomonda qoladi.

Agar funksiya chekli va bir bog’lamli sohada analitik bo’lsa, u holda sohada yotuvchi ixtiyoriy yopiq bo’lakli-silliq chiziq bo’yicha funksiyadan olingan integral ga teng, ya’ni

.