Kоmpаkt to‘plamlar va fаzоlar

2-masala. Bizga X -Xausdorf fazo va uning kompakt qism to‘plami A X berilgan bo‘lsin. Har bir x X \ A nuqta uchun, shunday ochiq kesishmaydigan G₁ va G₂ to‘plamlar mavjud bo`lib, A G<sub>1</sub> , x G<sub>2</sub> munosabatlar o‘rinli bo`lishini isbotlang.

Yechish. Buning uchun A ga tegishli ixtiyoriy y A nuqtani olsak, Xausdorf aksiomasiga ko`ra shunday ochiq kesishmaydigan G<sub>x</sub> , G<sub>y</sub> to`plamlar mavjudki x G_x , y G_y munosabat o‘rinli bo`ladi. Ma’lumki, {G_y : y A} oila A

to`plam uchun ochiq qobiq bo`ladi va A kompakt bo`lganligi uchun bu oiladan A to`plam uchun chekli qobiq ajratish mumkin. Ajratilgan chekli qobiqqa

tegishli to`plamlar lar bo`lsin deb faraz qilaylik. Bu ochiq to`plamlar bilan kesishmaydigan x nuqtaning atroflari mos ravishda G<sub>x</sub> ( y<sub>1</sub> ), G<sub>x</sub> ( y<sub>2</sub> ), G<sub>x</sub> ( y<sub>3</sub> ),...,G<sub>x</sub> ( y<sub>m</sub> ) to`plamlardan iborat bo`lsin. Agar tengliklar o‘rinli bo`lsa, bu tengliklardan ushbu munosabatlar A G₁ , x G₂ va G₁ G₂  bajarilishini osongina kelib chiqarish mumkin.