Kki kаrrаli intеgrаlning tatbiqlаri. Ikki kаrrаli intеgrаl yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, Oʻrta qiymat va inersiya momenti

1. Ikki karrali integralning geometrik tatbiqlari. a) Agar D sohada boʻlsa, u holda ikki karrali integral son jihatidan asosi D boʻlgan yasovchilari Oz oʻqiga parallel boʻlgan, yuqoridan sirt bilan chegeralangan Q silindrik jismning hajmiga teng (1- shakl).

(9.1)

1-shakl
1-misol. sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini hisoblang.

Yechish. Berilgan jismni quyidagi koʻrinishda tasvirlash kerak:

bunda ― soha Oxy tekislikning va egri chiziqlari bilan chegaralangan qismi, ya’ni

Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra, jismning hajmi quyidagicha topiladi:

Xususan, boʻlganda, ikki karrali integral D sohaning yuziga teng, ya’ni

(9.2)

Agar D sohani aniqlaydigan funksiyalar qutb koordinatalar sistemasida berilgan boʻlsa, D sohaning yuzi

(9.3)

formula bilan hisoblanadi.

2-misol. aylanalar bilan chegaralangan soha yuzini toping( aylanadan tashqaridagi qismi, 2-shakl).

2-shakl

_Yechish. A nuqtaning koordinatasini topamiz:

Demak, . U holda

b) Agar silliq sirt qismining xOy tekislikdagi proyeksiyasi boʻlsa, u holda bu sirt yuzini quyidagi formula bilan hisoblanadi:

(9.4)