Kislik va uning

Masala.

toping.
2x + y - 3z + 3 = 0
vа x - y + 2z - 4 = 0
tekisliklar orasidagi burchakni

Yechish. Bu yerda
A₁ = 2,
A₂ = 1 ,
B₁ = 1,
B₂ = -1 ,
C = -3
C₂ = 2

Unda (27)- formulaga asosan
2 ×1 + 1(-1) + (- 3)× 2
cosj =


₌ - 5


= - ⁵

æ
^{j = arccos}ç ^-
5 ö ⁵
÷ ^{= p - arccos}

_è 2 21 _ø
2 21

Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uch nuqtadan o’tuvchi tekislikning

tenglamasi. Fazoda bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta
M₁(x₁ , y₁ , z₁ ),

M₂ (x₂ , y₂ , z₂ )
vа M₃ (x₃ , y₃ , z₃ )
nuqta berilgan bo’lsin. Shu nuqtadan o’tuvchi

tekislikning tenglamasini topamiz. Shartga ko’ra nuqtalar bir to’g’ri chiziqda

yotmagani uchun,
M₁M₂ = {x₂ - x₁ , y₂ - y₁ , z₂ - z₁}
vа M₁M₃ = {x₃ - x₁ , y₃ - y₁ , z₃ - z₁}

vektorlar kolleniar bo’lolmaydi, ya`ni ular parallel yoki bir to’g’ri chiziqda

yotmaydi. Shuning uchun ham ixtiyoriy
M (x, y, z)
nuqta
M₁, M ₂
vа M₃
nuqtalar

bilan bir tekislikda yotishi uchun

 

M₁M₂ , M₁M₃
vа M₁M = {x - x₁, y - y₁, z - z₁}

vektorlar komplanar va shu sababli ularning aralash ko’paytmasi nolga teng

 ^{ }

bo’lishi shart. Shunday qilib,
M₁M₂ , M₁M₃
^vа M₁M
vektorlarning komplanarlik

sharti yoki
M , M₁, M₂
vа M₃
nuqtalarning bir tekislikda yotish sharti quyidagidan

iborat ekan:


x - x₁


y - y₁


z - z₁

x₂ - x₁ x₃ - x₁
y₂ - y₁ y₃ - y₁
z₂ - z₁ z₃ - z₁
= 0 .

Bu esa bir to’g’ri chiziqda yotmagan uch nuqtadan o’tuvchi tekislikning tenglamasidir.

Masala.

A (4; 2; 5),
B (0; 7; 2) vа
C(0; 3; 7)
nuqtalardan o’tuvchi tekislikning

tenglamasini tuzing.
Yechish. Berilishiga ko’ra

x₁ = 4,
x₂ = 0,
x₃ = 0,
y₁ = 2,
y₂ = 7,
y₃ = 3,
z₁ = 5
z₂ = 2
z₃ = 7

Bu qiymatlardan foydalanib tekislikning tenglamasini tuzamiz:

x - 4
0 - 4
0 - 4
y - 2
7 - 2
3 - 2
z - 5
2 - 5
7 - 5

= 0 ,

x - 4
- 4
- 4
y - 2
5
1
z - 5
- 3 = 0
2

(x - 4) <sup>5
- 3</sup> - (y - 2) ^{- 4 - 3} + (z - 5) ^{- 4 5} = 0

1 2 - 4 2
- 4 1

(x - 4)[5 × 2 - 1(- 3)]- (y - 2)[(- 4)× 2 - (- 3)(- 4)]+ (z - 5)[(- 4)×1 - 5(- 4)] = 0 13(x - 4)+ 20(y - 2)+ 16(z - 5) = 0
Demak, tekislik tenglamasi
13x - 52 + 20 y - 40 + 16z - 80 = 0

13x + 20 y + 16z -172 = 0
ga teng.

Tеkislik tеnglamasiga doir masala.

Bеrilgan nuqtadan o¢tuvchi tеkisliklar dastasi tеnglamasi masalasi.
Aytaylik, tеkislik bеrilgan М₁(х₁; у₁; z₁) nuqtadan o’tsin va uning tеnglamasini topish talab etilsin. Izlanayotgan tеkislikning umumiy tеnglamasini qaraymiz:
Ах + Ву + Сz + D =0
М₁ nuqta tеkislikda yotgani uchun uning koordinatalari bu tеnglamani qanoatlantirishi kеrak:
Ах₁+ Ву₁+ Сz₁+ D =0
Hosil bo¢lgan bu tеnglikni yuqoridagi tеnglamadan ayirib, izlangan
А(х-х₁) + В(у-у₁) + С(z-z₁) = 0,
ya'ni bеrilgan M₁ nuqtadan o¢tuvchi tеkisliklar tеnglamasini hosil qilamiz. Undagi koeffitsiеntlarga turli qiymatlar bеrib, M₁ nuqtadan o¢tuvchi tеkisliklar dastasini olamiz.

Tekislik va uning tenglamalari

1. 
   Tekislikning umumiy tenglamasi qayerda to’liq va to’g’ri ifodalangan?
   

*A) Ax+By+Cz+D=0. B) Ax+By+CDz=0. C) Ax+By+(C+D)z=0.
D) Ax⁻¹+By⁻¹+Cz⁻¹+D=0. E) Ax²+By²+Cz²+D=0.

2. 
   Umumiy tenglamasi 2x−5y+4z+9=0 bo’lgan tekislikka tegishli va koordinatalarining yig’indisi 15 bo’lgan M(x,y,5) nuqtaning abssisasini toping.
   

A) 4. B) −7. *C) 3. D) 0. E) −1.

3. 
   Umumiy tenglamasi 2x−5y+4z−9=0 bo’lgan tekislikka tegishli, OZ o’qda yotuvchi va koordinatalarining yig’indisi birga teng bo’lgan nuqtaning ordinatasini toping.
   

A) 4. B) −7. C) 3. D) 0. *E) −1.

4.	Quyidagilardan	qaysi biri	Ax+By+Cz+D=0 tenglamali tekislikning n
	normal vektori	bo’ladi ?

5. 
   

   A) n=(B,C,D).	B) n=(A,C,D).	*C) n=(A,B,C).
   D) n =(A,B,D).	E) n=(C,A,B).

   
   
   
   Tasdiqni yakunlang: Umumiy tenglamasi Ax+By+Cz+D=0 bo‘lgan tekislikning n=(A,B,C) normal vektori shu ∙∙∙ .
   
   1. 
      tekislikda yotadi . B) tekislikka parallel bo‘ladi .
      

*C) tekislikka perpendikulyar bo‘ladi . D) tekisliikka og‘ma bo‘ladi.
E) to’g’ri javob keltirilmagan .

5. 
   3x+4y+7z–81=0 tenglama bilan berilgan tekislik normalini aniqlang. A) n =(3,4,–81). B) n =(3,–4,–81). C) n =(4,7,–81).
   

D) n =(–3,–4,81). *E) n =(3,4,7).

5. 
   Quyidagi tenglamalardan qaysi biri koordinatalar boshidan o‘tuvchi tekislikni ifodalaydi ?
   
   1. 
      Ax+By+D=0. *B) Ax+By + Cz=0. C) By+Cz+D=0.
      

D) Ax+By+Cz+D=0. E) Ax+Cz+D=0.

5. 
   x+y−z=0 tenglamali P tekislik to’g’risidagi quyidagi tasdiqlardan qaysi biri o’rinli ?
   

*A) P koordinatalar boshidan o‘tadi. B) P OXY tekisligiga parallel.
C) P OXZ tekisligiga parallel . D) P OYZ tekisligiga parallel.
E) P tekislik OZ koordinata o’qiga perpendikulyar.

5. 
   Ax+By+Cz+D=0 tenglama A=D=0 holda qanday P tekislikni ifodalaydi ?
   
   1. 
      P OX o‘qiga parallel. B) P OX o‘qiga perpendikulyar.
      

*C) P OX o‘qi orqali o‘tadi. D) P OY o‘qiga perpendikulyar.
E) P OY o‘qiga parallel .

5. 
   Quyidagi tenglamalardan qaysi biri OZ koordinata o‘qidan o‘tuvchi tekislikni ifodalaydi ?
   
   1. 
      Ax+By+Cz=0. B) Ax+Cz+D=0. *C) Ax+By=0.
      

D) By+Cz+D=0. E) By +D=0.

5. 
   Quyidagi tenglamalardan qaysi biri OY koordinata o‘qiga parallel tekislikni ifodalaydi ?
   
   1. 
      Ax+By+Cz=0. *B) Ax+Cz+D=0. C) Ax+By+D=0.
      

D) By+Cz+D=0. E) Ax +D=0.

5. 
   Quyidagi tenglamalardan qaysi biri XOZ koordinata tekisligiga parallel tekislikni ifodalaydi ?
   
   1. 
      Ax+By+Cz=0. B) Ax+Cz+D=0. C) Ax+By=0.
      

D) By+Cz+D=0. *E) By +D=0.

5. 
   Quyidagi tenglamalardan qaysi biri YOZ koordinata tekisligini ifodalaydi ? A) By=0. B) Cz=0. *C) Ax=0. D) By+Cz=0. E) Ax +D=0.
   

5. 
   Tekislikning kesmalardagi tenglamasi qayerda to‘gr’ri yozilgan ?
   

1. 
   ^a + ^b + ^c = 1. B)
   

ax + bу + cz = 1. C)
^х + ^у + ^z = 0 .

x у z
*D)
х ₊ у ₊
^z = 1. E)
а b c
^х × ^у × ^z = 1.

а b c
а b c

5. 
   Tasdiqni yakunlang: Koordinata boshidan o’tmaydigan, koordinata o’qlariga parallel bo’lmagan va Ax+By+Cz+D=0 umumiy tenglama bilan berilgani tekislikning kesmalardagi tenglamasiga o‘tish uchun umumiy tenglama ∙∙∙ soniga bo‘linadi .
   

A) –C . B) –A . C) –B . *D) –D . E) −(A²+B²+C²) .

3. 
   x-4y+12z-24=0 tekislikning kesmalardagi tenglamasini toping.
   

1. 
   ^{x + y + z}
   

^{= 1} . B)
x ₊ y
^{+ z = 1}. C)
^{x - y - z = 1}.

8 6 12
4 - 6 1
3 2 4

D) ^{x + y - z = 1}. *E)
x ₊ y
^{+ z = 1}.

8 3 4
8 - 6 2

17. 
    Tekislikning normal tenglamasi qayerda to‘g’ri yozilgan ?
    

A) xcos⁻¹a+ycos⁻¹b+zcos⁻¹g-p=0. B) x⁻¹cosa+y⁻¹cosb+z⁻¹cosg-p=0 .
*C) xcosa+ycosb+zcosg-p=0 . D) x²cosa+y²cosb+z²cosg-p=0 .
E) xcosa-ycosb-zcosg+p=0 .

17. 
    Tasdiqni to‘ldiring: Tekislikning umumiy Ax+By+Cz+D=0 tenglamasidan uning normal tenglamasiga o‘tish uchun bu tenglama ∙∙∙ ifodaga bo‘linadi .
    

*A) ±
A² + B ²
+ C ² . B)
± ^{. C)} ± ^.

^D) ±
A² + B² + C² + D^{2 . E) ± .}

17. 
    Umumiy tenglamasi 2x+2y+z–18=0 bo‘lgan tekislikning normal tenglamasini toping .
    

*A)
x + y + z -
= 0 ^{. B)}
x + y +
¹ z -
3
= 0 ^.

C) ² x + ² y + ¹ z - 6 = 0. D)
² x + ² y + ¹ z - ¹⁸ = 0 .

3 3 3
5 5 5 5

E) x∙cos60⁰+ y∙cos30⁰+ z∙cos45⁰–9=0 .

17. 
    Quyidagilardan qaysi biri tekislikning normal tenglamasi bo’ladi?
    

1. 
   ² 13
   

x + ⁵
13
y + ⁷
13
z - 5 = 0 . B)
4 _{x -} 3
13 13
y - ⁶
13
z - 13 = 0 .

C) - ⁵
13
x + ¹
13
y + ⁸
13
z - 9 = 0 . *D)
3 _{x -} 4
13 13
y + ¹² z - 2 = 0 .
13

E) x∙cos60⁰+ y∙cos30⁰+ z∙cos45⁰–9=0 .