Kirish. Mavzu: Xarakteristik funksiyalar. Reja

1-misol. Agar bo`lsa,
2- misol . bitta tajribada hodisa ro`y berishlar soni, hodisaning ro`y berish ehtimoli , ro`y bermaslik ehtimoli bo`lsin.

	0	1

U holda

3 – misol. ta bog`lanmagan tajribalarda hodisa ro`y berishlari soni, har bir tajribada hodisa ro`y berish ehtimoli , ro`y bermaslik ehtimoli bo`lsin
( ).
bilan tajribada hodisa ro`y berish sonini belgilasak, va xarakteristik funksiyaning xossasiga asosida

4. tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasini topamiz.
Bu tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va xarakteristik funksiya ta`rifiga asosan:

almashtirishdan keyin funksiya quyidagi ko`rinishni oladi.

ma`lumki, ixtiyoriy haqiqiy uchun
demak,
Agar bo`lsa, bo`ladi.
5 misol. parametrli Puasson qonuni bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi topilsin.
Ma`lumki,
tasodifiy miqdorning xaraktyerischtik funksiyasi

Xarakteristik funksiya logarifmi hosilasi yordamida matematik kutilma va dispyersiyani ifodalash mumkin.
deb olamiz.
va
ekanligini hisobga olsak, va

demak, va .
Xarakteristik funksiya logarifmining tartibli hosilasining nol nuqtadagi qiymatining ga ko`paytirilganiga tasodifiy miqdorning tartibli ettiinvarianti deyiladi.
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini bilgan holda uning xarakteristik funksiyasini topish mumkinligini bilamiz. Teskari tadqiq ham o`rinli.
2 – teorema. Agar va lar mos ravishda tasodifiy miqdorning xarakteristik va taqsimot funksiyalari bo`lsalar, hamda va lar taqsimot funksiyaning uzluksizlik nuqtalari bo`lsalar, u holda
(5)
o`rinli bo`ladi.
Teoremani isbotlash sxemasini keltiramiz.
Xarakteristik funksiya ta`rifi va kompleks o`zgaruvchining funksiyalari nazariyasidan olgan bilimlarimiz asosida


(6)
ga ega bo`lamiz.
Matematik analiz kursidan ma`lumki
(7)
deb olib integralni
(8)
ko`rinishda yozib olamiz, bu yerda
va , .
da limitiga o`tib, (7) va taqsimot funksiyaning xossalaridan foydalanib, teorema isbotiga ega bo`lamiz.
(5) formulaga teskarilash formulasi deyiladi.
Bu formuladan quyidagi yagonalik teoremasi kelib chiqadi.
Keyingi 3-qoydani ko’rib chiqadigan bo’lsak. Taqsimot funksiya o`z xarakteristik funksiyasi bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Haqiqatan, ham (5) formuladan funksiyaning uzluksizlik nuqtalarida

bo`ladi.
Endi biz markaziy limit teoremalarni isbotlashda muhim o`rin tutadigan uzluksiz moslik haqidagi teoremalarni keltiramiz:
, lar taqsimot funksiyalar va uzluksiz, chegaralangan funksiya bo`lsin, agar

bo`lsa, taqsimot funksiyalar ketma-ketligi taqsimot funksiyaga sust yaqinlashadi deyiladi.
4-qoyda. (to`g`ri limit qoydasi). Agar taqsimot funksiyalar ketma- ketligi biror taqsimot funksiyaga sust yaqinlashsa, ularga mos xarakteristik funksiyalar ketma- ketligi xarakteristik funksiyaga ning har bir cheki oralig`ida tekis yaqinlashadi.
5-qoyda (teskari limit qoyda). Agar xarakteristik funksiyalar ketma-ketligi uzluksiz bo`lgan biror funksiyaga intilsa, bu xarakyeristik funksiyalarga mos taqsimot funksiyalar ketma- ketligi taqsimot funksiyaga sust yaqinlashadi va

bo`ladi.