Kirish. I bob. Tekislikda koordinatalar metodi

Tekislikda koordinatalarni almashtirish.
Bitta tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini turlicha tanlash mumkin.
Koordinata boshini ko`chirish.
Oxy koordinata sistemasini olamiz va unda nuqtani belgilaymiz. Bu nuqtadan va nuqtalarga mos ravishda parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Ulardagi yo’nalishlarni mos ravishda va o’qlar yo’nalishiga mos qilib olamiz. U holda birlik masshtabni Oxy sistemadagi kabi olsak, ikkinchi koordinatalar sistemasi ga ega bo’lamiz. sistema Oxy sistemadan koordinata boshini kuchirish natijasida hosil qilingan deyiladi. Koordinata tekisligida biror nuqta olamiz. Uning berilgan koordinatalar sistemasidagi koordinatalari x va y bo’lsin. Yangi koordinatalar sistemasida ular x` va y` bo’ladi

3-chizma
x` va y` larni x va y lar orqali ifodalaymiz, yani nuqtaning yangi sistemasidagi koordinatalarini topamiz. Buning uchun nuqtalardan koordinata o’qlariga perpendikulyar tushiramiz, yani bu nuqtalarni o’qlarga proyeksiyalaymiz. Abssissa o’qida nuqtalarga ega bo’lamiz. Ularning koordinatalari a va x ga teng. Chizmadan ko’rinib turibdiki, x=a+x` ni hisobga olsak x=x-a ga ega bo’lamiz. Xuddi shuningdek y=b+y` ni topamiz.
Demak, x` va y` larni x va y lar orqali ifodalovchi formulalar

dan iborat ekan. Bu tekislikda koordinatalarni almashtirish formulalaridir. a va b yangi koordinata sistemasi boshining koordinatalari bo’ladi.
B. O’qlar yo’nalishini o’zgartirish. Oxy koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Koordinata boshini o’zgartirmasdan o’qlar yo’nalishini teskarisiga o’zgartiramiz. Bu holda yangi Ox`y` sistema hosil bo’ladi (4-chizma).


Bu holda har ikkala x va y koordinatalar o’z ishoralarini o’zgartiradi.

C. Masshtabni o’zgartirish. Endi, koordinata o’qlarining yo’nalishini (holatini) va koordinata boshini o’zgartirmasdan birlik kesma uzunligini k marta o’zgartirishni qaraymiz.
Bunday o’zgartirishda nuqtaning yangi va eski koordinatalari ko’yidagicha bog’lanishda bo’ladi

1-misol. Koordinata boshi (4;-3) nuqtaga ko’chirilgan. (5;2) nuqtaning yangi sistemadagi koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish. larga ko’ra

Demak, nuqtaning yangi koordinatalari 1 va 5 bo’ladi.
2-misol. Agar koordinata boshi va o’qlarning yo’nalishi o’zgartirilmasdan birlik kesma (masshtab) 3 marta orttirilgan (yoki kamaytirilgan) bo’lsa, (9; -3) nuqtaning yangi koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish. a) K=3 bo’lgani uchun =3, =-1.
Demak, nuqtaning yangi koordinatalari 3 va –1 bo’ladi.
b) bo’lgan holda esa
=9: =27, =-3: =-9. Demak, bu holda nuqtaning yangi koordinatalari 27 va –9 bo’ladi.
3.Ikki nuqta orasidagi masofa

Faraz qilaylik to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida A(x₁,y₁) va B(x₂,x₂) nuqtalar berilgan bo’lib, bunda , bo’lsin (5-chizma).
y


x

5-chizma
A va B nuqtalar orasidagi masofani topish talab etiladi. Ko’rinib turibdiki, A va B nuqtalar orasidagi masofa, yo’nalgan kesma uzunligiga teng. Bu esa o’z navbatida to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga teng. Shu gipotenuza uzunligini topsak, masala yechilgan bo’ladi. Uchburchaknin o’qiga parallel tomonining uzunligi, kesmaning o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani ga teng. Xuddi shuningdek, uning o’qiga parallel tomonining uzunligi kesmaning Oy o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani ga teng.

To’g’ri burchakli uchburchakka Pifagor teoremasini tadbiq etib quyidagini topamiz:

Demak, nuqtalar orasidagi masofa
(1)
formula yordamida topiladi.
Garchi, nuqtalar orasidagi masofani beruvchi (1) formula , dan iborat farazda chiqarilgan bo’lsada, u boshqa hollarda ham o’z kuchini saqlaydi. Haqiqatdan ham, , bo’lsa, = ga teng. Agar , bo’lsa = ga teng , bo’lsa A va B nuqtalar ustma-ust tushadi va =0 bo’ladi (6-chizma).

6-chizma
Misol. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan (-1; 2), (5; 6), va (1;3). Uning tomonlari uzunliklarini toping (7-chizma).

y (5;6)
(-1;2)
(1;3)

Xuddi shunda AC uzunligini topamiz.

Xuddi shuningdek
2)

Kesmani berilgan nisbatda bo’lish

To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida A(x₁,y₁) va B(x₂,y₂) ikki nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazib, unda musbat yo’nalishni aniqlasak, bu to’g’ri chiziq o’qqa aylanadi. Bu o’q koordinata o’qlariga parallel emas deb olaylik. Olingan o’qda A va B nuqtalar yo’nalgan kesmani aniqlaydi.
Faraz qilaylik, nuqtadan farqli bo’lgan (aytilgan o’qdagi) nuqta bo’lsin. kesmani nisbatda bo’luvchi M nuqtaning koordinatasini topish talab etiladi.
Eslatma. Agar nuqta A va B nuqtalar orasida yotsa va kesmalarning yo’nalishi bir xil bo’lib, musbat son, nuqta kesmaning tashqarisida yotsa, va kesmalarning yo’nalishlari qarama-qarshi bo’lib manfiy sondir, va aksincha.

Quyilgan masalani hal etish uchun A, M va B nuqtalarni koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: Ular lardan iborat bo’ladi.
y
B
B_y

8-chizma
Ko’rinib turibdiki, nuqta yo’nalgan kesmani nisbatda bo’ladi, yani

Agar ekanligini nazarga olsak, tenglikdan ekanligini topamiz.
Xuddi shu yo’l bilan ni topamiz. Shunday qilib, berilgan kesmani nisbatda bo’luvchi nuqtaning koordinatalari
,
formulalar yordami bilan topiladi.
Agar nuqta yo’nalgan kesmaning o’rtasida bo’lsa bo’lib yuqoridagi formulalar quyidagi ko’rinishni oladi:
,

Kletenik tarjima (71,72,73 varaq)

522 Giperbolada nuqta berilgan . nuqtaning fokus radiusi yotadigan to`g`ri chiziqlar tenglamalarini tuzing .
523 nuqta giperbola ustida yotadi , nuqtaning fokal radiusini toping.
524 Giperbolaning ekssentrikligi , uning ma'lum bir fokusdan chizilgan M nuqtasining fokus radiusi 16 ga teng. Ushbu fokus bilan M nuqtadan bir tomonlama direktrisaga masofani hisoblang.
525 Giperbolaning ekssentrikligi , giperbolaning M nuqtasidan direktrisaga masofasi 4.. fokusga yo'naltirilgan M nuqta bu direktrissa bilan bir tomonlama masofani hisoblang.
526 Giperbolaning ekssentrikligi , uning markazi boshida joylashgan, fokuslardan biri . Absissasi 13 ga teng bo'lgan giperbolaning nuqtasidan berilgan fokusga mos keladigan direktriasagacha masofani hisoblang
527 Giperbolaning ekssentrikligi ga teng, uning markazi boshida yotadi, direktivalardan biri tenglama bilan berilgan. Absissasi 10 ga teng bo'lgan giperbolaning nuqtasidan berilgan direktrissaga mos keladigan fokusgacha bo'lgan masofani hisoblang.
528 To'g'ri fokusgacha bo'lgan masofa 4,5 ga teng bo'lgan giperbolaning nuqtalarini aniqlang .
529 Chap fokusgacha bo'lgan masofa 7 ga teng bo'lgan giperbolaning nuqtalarini aniqlang .
530 Giperbolaning chap fokusi orqali o'z o'qiga vertikallar joylashgan perpendikulyar chizilgan. Fokuslardan ushbu perpendikulyarning giperbola bilan kesishish nuqtalarigacha bo'lgan masofani aniqlang.
531 Bitta kompasdan foydalanib, giperbolaning fokuslarini tuzing ( koordinata o'qlari ko'rsatilgan va shkala birligi o'rnatilgan deb taxmin qiling).
532 Fokuslari kelib chiqishiga nisbatan nosimmetrik ravishda abssissa o'qida yotadigan giperbolaning tenglamasini tuzing:
1.nuqtalar giperbolada;
2.nuqta giperbolada va ekssentriklik ;
3.asimptotalar tenglamasi bilan giperbolaning nuqtasi ;
4.giperbola va direktrisali tenglamalarni
5.asimptota tenglamalari va direktrisali tenglamalar .
533 Teng tomonli giperbolaning ekssentrisetligini aniqlang.
534 Giperbolaning ekssentrisetligini aniqlang, agar uning tepalari orasidagi segment burchak ostida giperbola fokuslaridan ko'rinib tursa .
535 Giperbolaning fokuslari ellips fokuslariga to'g'ri keladi . agar uning ekssentrisiteti ga teng bo'lsa, giperbolaning tenglamasini tuzing,
536 Giperbola tenglamasini tuzing, fokuslari ellips uchlarida yotadigan , va direktrisa ellips orqali o'tadi.
537 Giperbola fokusidan uning asimptotasigacha bo'lgan masofa b ga teng ekanligini isbotlang .
538 Giperbolaning istalgan nuqtasidan uning ikkita asimptotasigacha bo'lgan masofalar ko'paytmasi doimiy qiymatga teng ekanligini isbotlang
539 Giperbolaning asimptotalari bilan chegaralangan parallelogramma maydoni va uning har qanday nuqtalari bilan parallel asimptotlar tomonidan chizilgan chiziqlar ga teng doimiy qiymat ekanligini isbotlang .
540 Giperbolaning tenglamasini tuzing, agar uning a va b yarim burchaklari ma'lum bo'lsa, markaz va fokuslar to'g'ri chiziqda joylashgan:
1)Ox o'qiga parallel;
2)Oy o'qiga parallel.
541 Quyidagi tenglamalarning har biri giperbolani aniqlaganligini aniqlang va uning markazining koordinatalarini, yarim ekssentriklik, asimptota tenglamalari va direktrisali tenglamalarni toping:
1.
2.
3.
542. Qaysi chiziqlar quyidagi tenglamalar bilan aniqlanganligini aniqlang. Ushbu chiziqlarni rasmga soling.

543 Giperbola tenglamasini tuzing:
1.uning tepalari orasidagi masofa 24 ga teng va fokuslar 2.fokuslar va direktrissalar orasidagi masofa 3,6;
3.asimptotlar orasidagi burchak va fokuslar 544.Giperbolaning tenglamasini tuzing, agar uning ekssentrisiteti bo'lsa, fokus va tegishli direktrisaning tenglamasi ma'lum .
545 Giperbolaning tenglamasini tuzing, agar uning ekssentrisiteti bo'lsa fokus va tegishli direktrisaning tenglamasi ma'lum .
546 nuqta giperbolada yotadi, uning fokusi ga teng va tegishli direktrisa tenglama bilan berilgan . Ushbu giperbola uchun tenglama tuzing.
547 Giperbolaning tenglamasini tuzing, agar uning eksantrikligi bo'lsa , fokus va tegishli direktrisaning tenglamasi ma'lum .
548 nuqta giperbolada yotadi, uning fokusi ga teng va tegishli direktrisa tenglama bilan berilgan . Ushbu giperbola uchun tenglama tuzing.
549.Teng tomonli giperbola uchun tenglama berilgan . Asimptotalarini koordinata o'qlari sifatida olib, yangi tizimda uning tenglamasini toping.
550 Quyidagi tenglamalarning har biri giperbolani belgilashini aniqlab, ularning har biri uchun markazni, yarim o'qlarni va asimptotalarning tenglamalarini toping

551.To’g’ri chiziq va giperbolaning kesishish nuqtasini toping:

Foydalanilgan adabiyotlar:

1.Vilenkin N.Ya. Matematika. –M.: Prosveщyeniye. 1985.
2.Rajabov F., Nurmetov A. Analitik geometriya va chiziqli algebra. –T.: O’qituvchi. 1990.
3.A.V.Pogorelov. Analitik geometriya. –T.: o`qituvchi. 1983.
4.Ilin V.I., Poznyak E.G. Analiticheskaya geometriya. –M.: Nauka. 1988.
5.Ibrogimov M. Matematikadan masalalar tœplami. –T.: o’qituvchi 1994.
6А.А Гусак Справочник по высшей математике / А.А Гусак, Г.М.Гусак, Е.А. Бричикова. – 9-е изд. – Минск: ТеатрСистема, 2009. - 640с.
7.Л.С.Атанасян Геометрия: Учеб.для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б Кадомцев и др. - 13-е изд. – М.:Просвещение, 2004. – 255с.
8.Погорелов А. В. Геометрия 10-11 кл. / Погорелов А. В. - M:Просвещение
2005. – 324.