Kirish. I bob. Tekislikda koordinatalar metodi

Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi
Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi ikkita o’zaro perpendikulyar o’qlar va chizikli birlik masshtab berilishi bilan aniqlanadi. O’qlarning kesishish nuqtasi – 0 koordinatalar boshi, birinchi o’q – yoki abssissalar o’qi, ikkinchisini esa – yoki ordinatalar o’qi deb ataladi. Tekislikda ixtiyoriy nuqta olamiz. nuqtaning va o’qlarga proyeksiyalarini mos ravishda va deb belgilaymiz. va yo’nalgan kesmalarning kattaliklari va sonlar, nuqtaning to’g’ri burchakli dekart koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi (1-chizma):

1-chizma 2-chizma
nuqtaning absissasi nuqtaning ordinatasi deyiladi. Koordinata o’qlari tekislikni 4 ta kvadrantga bo’ladi (2-chizma). Chizmada har bir kvadrantga mos nuqta koordinatalarining ishoralari ham ko’rsatilgan.
Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
Tekislikda dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lib, uni koordinatalar boshi O nuqta atrofida burchakka burishni qaraylik.
Tasdiq. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog‘lanish

tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi.
Isbot. Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo‘lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga va ortonormal bazislar berilgan bo‘lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda Oxy va bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog‘lanishni topamiz. “Yangi» koordinatalar sistemasi markazining «eski» koordinata sistemasidagi koordinatalarini bilan belgilaylik.
Tekislikda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va sistemalardagi koordinatalari mos ravishda juftliklardan iborat bo‘lsin.

Biz quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:

Har bir vektorni bazis orqali ifodalash mumkin:

munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni

tengliklarga qo‘yib

tenglikni hosil qilamiz. Bazis vektorlari chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan

formulalarni olamiz. Endi koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz
Birinchi hol: va bazislar bir xil orientatsiyaga ega. Bu holda agar  bilan vektorlar orasidagi burchakni belgilasak , vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib

Formulalarni yozamiz.Agar va bazislar har xil orientatsiyaga ega bo’lsa orasidagi burchak ga teng bo’ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini vektorlarga skalyar ko‘paytirib

formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‘yib mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz:

Bu holda o‘tish determinanti uchun

Tenglik o`rinli.
Ikkinchi holda bazislarning orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari

ko‘rinishda bo‘ladi.

Bu holda o‘tish determinanti uchun

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak koordinatalar sistemasini almashtirganimizda o‘tish matritsasinig determinanti musbat bo‘lsa, orientatsiya o‘zgarmaydi. Agar o‘tish matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, orientatsiya qarama-qarshi orientatsiyaga o‘zgaradi. Ikkita D va Q tekislikni qaraylik. D tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi hamda Q tekislikda koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin. D va Q tekisliklar ustma-ust keltirilishi mumkin. Shuningdek, koordinatalar sistemalari ham ustma-ust keltirilishi mumkin.