Kirish. Bir jinsli va umumlashgan bir jinsli differensial tenglamalar Asosiy qism

2.4 Rikkati tenglamasi.
Rikkati tenglamasining umumiy ko’rinishi
(1) dan iborat. Bunda va lar ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir.
Rikkati tenglamasining xossalari.
1-xossa. Rikkati tenglamasida erkli o’zgaruvchini almashtirsak, yana Rikkati tenglamasiga ega bo’lamiz. - differensiallanuvchi funksiya.
2- xossa. Rikkati tenglamasida noma’lum funksiyani kasr-chiziqli funksiya shaklida almashtirsak, xosil bo’lgan tenglama yana Rikkati tenglamasi bo’ladi.

bunda lar ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo’lib sharti bajarilishi kerak.
Teorema1 Agar Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi berilgan bo’lsa, uning umumiy yechimi 2 ta kvadratura yordamida aniqlanadi.
Isbot. (1) tenglamaning yechimi bo’lsin ya’ni
(2)
almashtirishini olamiz. (3)
almashtirishini olamiz. (3)
yangi noma’lum funksiya. Bu almashtirish Rikkati tenglamasining chiziqli tenglamaga aylantiradi.
Haqiqatan ham (3) dan.
(4)
(3)va (4) ga asosan (1) tenglamani

(2) ni e’tiborga olsak, keyingi tenglamani
(5)
Ko’rinishga keltirish mumkin. Bu esa chiziqli differensial tenglama bo’lib uning
umumiy yechimi ikkita kvadratura yordamida aniqlanadi.
(5) tenglamadan aniqlangan qiymatini (3) ga olib borib qo’ysak, Rikkati
tenglamasining umumiy yechimiga ega bo’lamiz.
Teorema2. Agar Rikkati tenglamasining ikkita xususiy yechimlari berilgan bo’lsa, u holda tenglamaning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida aniqlanadi.
Isbot. (3) dan
Agar y₁, y₂ Rikkati tenglamasining xususuiy yechimlari bo’lsa, u holda (5) tenglamaning bitta xususiy yechimi
dan iborat .
Ma’lumki (5) ning bitta xususiy yechimi berilgan bo’lsa, uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida aniqlanadi.