Grin funksiyasi
(1)
(2)
(1), (2) chgaraviy masalaning Grin funksiyasi deb, uzluksiz shunday funksiyaga aytiladiki, ushbu shartlar bajarilsa, 1) ‘
(3)
tenglamani qanoatlantiradi;
va da funksiya (2) – chi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
da bo‘yicha uzluksiz uning xosilasi nuqtada chekli
uzulishga ega bo‘lsin ya’ni uning sakrashi,
(4)
Chegaraviy masalaga mos kelgan Grin funksiyasini aniqlash uchun, oldin bir jinsli (3) tenglamaning ikkita chiziqli erkli (trivialmas) yechimini topish kerak. Ular mos ravishda 1 – chi va 2 – chi chegaraviy (2) shartlarni qanoatlantirishi kerak. U vaqtda Grin funksiyasi movjud bo‘ladi va uni
shakilda izlash mumkin, lar ning funksiyalari bo‘lib, ularni (4) xossadan
foydalanib topamiz. Ushbu algebraic sestemadan
Grin funksiyasi mavjud bo‘lganda formula (1), (2) chegaraviy masala yechimi bo‘ladi.
1-Misol. Grin funksiyasini tuzing:
Yechilishi: tenglamaning umumiy yechimi Birinchi shartdan , demak Ikkinchi shartdan
diylik, ; . va chegaraviy
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlar chiziqli erkli ekanligini Vronskiy determinanti orqali ko‘rsatamiz. Haqiqatan
.
Demak, Grin funksiyasini ushbu shaklda izlash kerak
Bunda hozircha noma’lum. Ular ushbu tengliklarni qanoatlantirishi kerak
Bundan , demak
2-Misol. Grin funksiyasini tuzing bunday qo‘yilgan chegaraviy masala uchun chegaralangan bo‘lsin barcha larda
Yechilishi: tenglamaning xususiy yechimlari va , chiziqli erkli, umumiy yechimi
Birinchi xususiy yechim chegaralangan bo‘ladi da, ikkinchisi agar
. Grin funksiyasini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz
Bu yerda funksiyalarni shunday tanlab olamizki
Tengliklar bajarilsin, bizda oldidagi koefsent.
Bundan
III. XULOSA.
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, ikkinchi tartibli bir jinslitenglamaning umumiy ko’rinishi
y p1(x)y p2(x)y 0 (1) tenglamaning bitta y1(x) xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi
y y1c1y12p1(x)dx dx c2
formula bilan aniqlanar ekan. Bunda P1(x) ва P2(x)lar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.
d dy
p(x) q(x)y 0 (2) dx dx
differensial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.(2) ni ochib chiqsak:
d2y dx
p(x) p'(x) q(x)y 0 dx2 dy
bundan kurinadikim, o’ziga qo’shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio’zigaqo’shmabo’lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
P0(x)y"P1(x)y'P2(x)y 0 (3) differensial tenglama berilgan bo’lsin. P0(x) 0kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |