II. ASOSIY QISM. Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material Ma’lumki ikkinchi tartibli bir jinsli y p1(x)y p2(x)y 0 (1) tenglamaning bitta y1(x) xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi
y y1c1y12p1(x)dx dx c2
formula bilan aniqlanar edi. Bunda P1(x) ва P2(x) lar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir. d dy
p(x) q(x)y 0 (2) dx dx
differensial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.(2) ni ochib chiqsak:
d2y dx p(x) p'(x) q(x)y 0 dx2 dy bundan kurinadikim, o’ziga qo’shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio’zigaqo’shmabo’lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
P0(x)y"P1(x)y'P2(x)y 0 (3) differensial tenglama berilgan bo’lsin. P0(x) 0.
(3) tenglamaning xar ikkala tomonini (х) ga ko’paytirganda, o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga aylansin, ya’ni quyidagi shart bajarilsin.
(P0)'P1
1 e P0(x)dx
P0(x)
Po(x) 1 e P10(x)dx 1 PP10((xx))dx P2(x) e P1P(0x()xdx) y 0
P (x) y P1(x) e
P0(x) P0(x) P0(x)
d e PP10((xx))dx dy P2(x) e PP10((xx))dxy 0
dxdxP0(x)
P1(x)
dx
bunda p(x) e P0(x) (6)
P1(x)
P q(x) 2(x) e P0(x)dx P0(x) deb olsak (2) tenglamaga ega bo’lamiz (6) dan ko’rinadikim p(x) 0.
Misol-1 Bessel tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltiring. x2y xy (x2 n2)y 0
Bu yerda po(x) x2 p1(x) x p2(x) x2 n2 p(x) e p10(x) dx xx2 dx e dxx eln x x p (x) e
p1(x)
q(x) p2(x)e p0(x)dx x2 n2 x x n2 p0(x) x2 x
d x dy x n2 y 0
dx dx Bu Bessel tenglamasiga qo’shma bo’lgan differensial tenglamadir.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio’zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt
y Q(t)y 0 (8)
Ko’rinishga keltirish mumkin.
Bunda Q(t)C(I) I (a;b)
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o’ziga qo’shma xolga keltirilgan bo’lsin. d dy
p(x) q(x)y 0 (9) dx dx
dx Bunda t p(x) Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan
p(x) 0, p(x) 0bo’lgani uchun dt 1
0ga ega bo’lamiz.
dx p(x)
Bundan t o’zgaruvchi ning monotan o’suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi. Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida
I (a;b)interavalga mos kelgan I1 (,) interavalda aniqlanadi.
Uni x (t) (10) dy dy dt 1 dy desak bajariladi. dx dt dx p(x) dt
y c1et c2et c1e2 x c2e 2x Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma’lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z I(x)z 0
ko’rinishga keltirish mumkin. y p(x)y q(x)y 0 (12)
tenglamada y u(x)z (13) almashtirishni olamiz. Bundan
y uzuz y uz 2uzuz Bu qiymatlarni (12) ga qo’ysak uz 2uzuz p(x)(uzuz) q(x)uz 0
uz (2u p(x)u)z (u p(x)u q(x)u)z 0 (14)
z2u p(x)z 1(u p(x)u q(x)u)z 0
u u u(x) ixtiyoriyfunksiyabo’lganiuchununishundaytanlabolamizkim
2u
p(x) 0 bajarilsin. u d u 1 1 p(x)dx u 2 p(x)dx ln u 2 p(x)dx u e 1 p(x)dx bundan u p(x)e 2
1
u 1 p(x)dx 1 2(x)e2 p(x)dxp(x) e p 24
Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak
p(x)dx z e
1 p(x)dx 1 1 1 1
1 p(x)e 2 p2(x)e2P(x)dx p(x) 1 p(x)e2 p(x)dx q(x)e2 p(x)dx z 0
2 4 2
1 2(x))z z I(x)z 0 z (q(x) p(x) p 4
1 2(x)
I q(x) p(x) p 4
Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi. c Agar invariant o’zgarmas songa yoki I ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi (x a)2 tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.
2
Misol-3 xy 2y xy 0 y y y 0
x 2
q(x) 1; p(x)
x 1 2 1 2 2 1 1
I 2 2 2 4 x 1 x2 x2 1x z z 0 1,2 i z c1cos x c2 sin x 1 2
dx u e 2 x eln x 1 y uz 1 (c1cos x c2 sin x) x x Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi Koeffisiyentlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita ikkinchi tartibli y a2y 0 (1) y a2y 0 (2) differensial tenglamalar berilgan bo’lsin. Bunda a cost Ma’lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari y1 eax, y2 eax dan iborat bo’lib
Uning umumiy yechimi y c1eax c2eax dan iborat.
Uning nolini topamiz
1 c1 x ln
2a c2 ya’ni (1) tenglamaning yechimi (,) da bittadan ortiq nolga ega emas.
(1) tenglamaning umumiy yechimi yc1cosaxc2sinax Asin(ax) ning nolini topamiz:
Asin(ax) 0 axk k xk k xk1 xk (k 1) k a a a a a ya’ni (2) tenglama(,) oraliqdacheksizko’pnollargaegabo’lib, ketmaketikkitanolorasidagamasofa gateng. a Uzunligi dankattabo’lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechiminingbittanoliyetadi, a 2uzunligi dankattabo’lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi.
a Ta’rif. Agar differensial tenglamaning yechimi berilgan oraliqda bittadan ortiq nolga ega bo’lmasa, bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi.
Agar bu yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa, bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi.
Ma’lumki har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani. y p1(x)y P2(x)y 0
ni y p(x)y 0 (3) ko’rinishga keltirish mumkin.
Teorema1. Agar (a,b) oralig’ining barcha nuqtalarida p(x) 0bo’lsa u, xolda (3) tenglamaning xamma yechimlari bu oraliqda tebranmas bo’ladi.
Isbot.Aksincha faraz etaylik, (3) tenglamaning ixtiyoriy y1(x) yechimi ikkita nolga ega bo’lsin.Bu nollarni x0, x1 bilan belgilaymiz.
Masalaning aniqligi uchun x0 x1va(x0;x1) oraliqda y1(x) yechim boshqa nolga ega bo’lmasin.
U xolda uzluksiz y1(x) funksiya bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Hamma vaqt bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Xamma vaqt bu oraliqda y1(x) 0 deb olish mumkin
(aks xolda y1(x) yechimni olar edik). U xolda y1' (x) 0 chunki x0 ningo’ng tomonida y1(x) o’suvchi funksiya bo’lib, y1' (x0) 0 aks xolda y1(x) 0 bo’lar edi (3) tenglamadan.
y p(x)y y1'' p(x)y1 0
ya’niikkinchihosila (x0,x1) oraliqdamusbatbo’lganiuchun, y'1(x) buoraliqdakamayuvchidir
ya’ni
y1' (x) y1' (x0) (x0 x x1)
U xolda chekli ortirma haqidagi teoremaga asosan y1(x1) y1(x0) y1' ()(x1 x0)
Butenglikningchaptomoninolgatengbo’lib, o’ngtomoniesanoldanfarqlibuningbo’lishimumkinemas. Buqarama -qarshilikko’rsatidikim y1(x) yechimkurilayotganoraliqdatebranmasyechimdir.