Kirish. Asosiy qism. Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslash teoremasi



Download 0,84 Mb.
bet2/8
Sana10.12.2022
Hajmi0,84 Mb.
#882919
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Kirish. Asosiy qism. Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar n

II. ASOSIY QISM.
Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi
haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material
Ma’lumki ikkinchi tartibli bir jinsli y p1(x)y p2(x)y  0 (1) tenglamaning bitta y1(x) xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi

y y1c1y12p1(x)dx dxc2
formula bilan aniqlanar edi. Bunda P1(x) ва P2(x) lar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir. d dy
p(x)   q(x)y  0 (2) dxdx
differensial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.(2) ni ochib chiqsak:
d2y dx
p(x)  p'(x)  q(x)y  0 dx2 dy
bundan kurinadikim, o’ziga qo’shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio’zigaqo’shmabo’lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
P0(x)y"P1(x)y'P2(x)y  0 (3) differensial tenglama berilgan bo’lsin. P0(x)  0.
(3) tenglamaning xar ikkala tomonini (х) ga ko’paytirganda, o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga aylansin, ya’ni quyidagi shart bajarilsin.
(P0)'P1

Bundan 'P0 P0'  P1, 'P0  (P1  P0' ) d  P1 P0 dx P0'(x) dx P1(x) dx
P0 P0(x) P0(x)
integrallasak

ln ln P0 PP10((xx)) dx C, C  0
P1(x)

1 eP0(x)dx

P0(x)
Po(x) 1 eP10(x)dx 1  PP10((xx))dx P2(x) eP1P(0x()xdx) y  0
P (x) y  P1(x) e
P0(x) P0(x) P0(x)

d ePP10((xx))dx dy  P2(x) ePP10((xx))dxy 0

dx dx P0(x)
 
P1(x)

 dx


bunda p(x)  e P0(x) (6)
P1(x)
P
q(x)  2(x) eP0(x)dx
P0(x) deb olsak (2) tenglamaga ega bo’lamiz (6) dan ko’rinadikim p(x)  0.
Misol-1 Bessel tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltiring. x2y xy (x2 n2)y  0
Bu yerda po(x)  x2 p1(x)  x p2(x)  x2 n2
p(x)  e p10(x) dx xx2 dx edxx eln x x
p (x) e

p1(x)

q(x)  p2(x)ep0(x)dx x2  n2  x x n2 p0(x) x2 x

d x dy   x n2 y 0
 
dxdx  
Bu Bessel tenglamasiga qo’shma bo’lgan differensial tenglamadir.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio’zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt
y Q(t)y  0 (8)
Ko’rinishga keltirish mumkin.
Bunda Q(t)C(I) I  (a;b)
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o’ziga qo’shma xolga keltirilgan bo’lsin. d dy
p(x)   q(x)y  0 (9) dxdx
dx
Bunda t p(x)
Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan
p(x)  0, p(x)  0bo’lgani uchun dt 1
  0ga ega bo’lamiz.
dx p(x)
Bundan t o’zgaruvchi ning monotan o’suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi. Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida
I (a;b)interavalga mos kelgan I1  (,) interavalda aniqlanadi.



Uni x (t) (10) dy dy dt 1 dy desak    bajariladi. dx dt dx p(x) dt

U xolda dxd  p dydx  dtd p(x)  p(1x) dydt  dxdt p(1x) dtd  dydt  (11)

(11) ga asosan (9) 1 d dy  q(x)y  0 (10)ni e’tiborga olsak keyingi tenglamani p(x) dt dt
d2y
Q(t)y  0 dt2
ko’rinishda yoza olamiz.
Bunda Q(t)  p((t))q((t))
Misol-2 xy y y  0
dx 1 1 1

1 2x  1 e2 ln(x)  1  x2  x2
 
x x 2
1

x 2 y 1 xy  xy  0
2
d  12 dy   x12 y  0
dx

  xy  0

dt2 1,2  1

y c1et c2et c1e2 x c2e 2x
Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma’lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z I(x)z  0
ko’rinishga keltirish mumkin. y p(x)y q(x)y  0 (12)
tenglamada y u(x)z (13) almashtirishni olamiz. Bundan
y  uzuz y  uz 2uzuz
Bu qiymatlarni (12) ga qo’ysak uz 2uzuz p(x)(uzuz)  q(x)uz  0
uz (2u p(x)u)z (u p(x)u q(x)u)z  0 (14)
z 2u p(x)z 1(u p(x)u q(x)u)z  0
u u
u(x) ixtiyoriyfunksiyabo’lganiuchununishundaytanlabolamizkim
2u
p(x)  0 bajarilsin. u
d u 1 1 p(x)dx
u   2 p(x)dx ln u   2 p(x)dx u e
1  p(x)dx
bundan u   p(x)e
2
1
u   1   p(x)dx 1 2(x)e2 p(x)dx p(x) e p
24
Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak
p(x)dx
z e
 1 p(x)dx 1 1 1 1
  1 p(x)e 2  p2(x)e2P(x)dx p(x) 1 p(x)e2 p(x)dx q(x)e2 p(x)dx z  0
 2 4  2  
 

1 2(x))z z I(x)z  0 z (q(x) p(x)  p
4

1 2(x)
I q(x) p(x)  p
4
Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi. c
Agar invariant o’zgarmas songa yoki I  ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi (x a)2
tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.
2
Misol-3 xy 2y xy  0 y y y  0
x
2
q(x)  1; p(x) 
x
1  2  1  2 2 1 1

I  2  2  2   4  x  1 x2  x2  1 x
z  z  0 1,2  i z c1cos x c2 sin x
1 2
  dx
u e 2 x eln x  1 y uz  1 (c1cos x c2 sin x) x x
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi
Koeffisiyentlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita ikkinchi tartibli y a2y  0 (1) y a2y  0 (2) differensial tenglamalar berilgan bo’lsin. Bunda a cost
Ma’lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari y1 eax, y2 eax dan iborat bo’lib
Uning umumiy yechimi y c1eax c2eax dan iborat.
Uning nolini topamiz

с1eax c2eax  0 a  0 c1c2  0 с1  c2e2ax  0 e2ax   c1 2ax  ln  c1
c2 c2

1 c1 x  ln 
2a c2
ya’ni (1) tenglamaning yechimi (,) da bittadan ortiq nolga ega emas.
(1) tenglamaning umumiy yechimi yc1cosaxc2sinaxAsin(ax) ning nolini topamiz:

Asin(ax)  0 axk k xk  k  xk1  xk  (k 1) k   a a a a a
ya’ni (2) tenglama(,) oraliqdacheksizko’pnollargaegabo’lib, ketmaketikkitanolorasidagamasofa gateng. a Uzunligi dankattabo’lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechiminingbittanoliyetadi, a
2 uzunligi dankattabo’lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi.
a
Ta’rif. Agar differensial tenglamaning yechimi berilgan oraliqda bittadan ortiq nolga ega bo’lmasa, bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi.
Agar bu yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa, bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi.
Ma’lumki har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani. y p1(x)y P2(x)y  0
ni y p(x)y  0 (3) ko’rinishga keltirish mumkin.
Teorema1. Agar (a,b) oralig’ining barcha nuqtalarida p(x)  0bo’lsa u, xolda (3) tenglamaning xamma yechimlari bu oraliqda tebranmas bo’ladi.
Isbot.Aksincha faraz etaylik, (3) tenglamaning ixtiyoriy y1(x) yechimi ikkita nolga ega bo’lsin.Bu nollarni x0, x1 bilan belgilaymiz.
Masalaning aniqligi uchun x0 x1va(x0;x1) oraliqda y1(x) yechim boshqa nolga ega bo’lmasin.
U xolda uzluksiz y1(x) funksiya bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Hamma vaqt bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Xamma vaqt bu oraliqda y1(x)  0 deb olish mumkin
(aks xolda  y1(x) yechimni olar edik). U xolda y1' (x)  0 chunki x0
ningo’ng tomonida y1(x) o’suvchi funksiya bo’lib, y1' (x0)  0 aks xolda y1(x)  0 bo’lar edi (3) tenglamadan.
y  p(x)y y1''  p(x)y1  0
ya’niikkinchihosila (x0,x1) oraliqdamusbatbo’lganiuchun, y'1(x) buoraliqdakamayuvchidir
ya’ni
y1' (x)  y1' (x0) (x0 xx1)
U xolda chekli ortirma haqidagi teoremaga asosan y1(x1)  y1(x0)  y1' ()(x1 x0)
Butenglikningchaptomoninolgatengbo’lib, o’ngtomoniesanoldanfarqlibuningbo’lishimumkinemas. Buqarama -qarshilikko’rsatidikim y1(x) yechimkurilayotganoraliqdatebranmasyechimdir.

Download 0,84 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish