|
1
Mundarija.
Kirish……………………………………………………….. …2
I BOB. Signallar va ularning xarakteristikalari……………………..6
1. Signallarga raqamli ishlov berish va uning imkoniyatlari..........6
2. Qo‘llanilish sohalari …………..………………..………………9
3. Signallarga raqamli ishlov berish, signalni raqamlashtiish …..11
II BOB. Interpolyasiyalash nazariyasi asoslari……………………...19
1. Aniq tugunlardagi interpolyatsiya.............................................19
1. Lagranj interpolyatsiya formulasi…………………...........20
2. Nyuton interpolyatsi formulasi......…………………….....22
2. Tugunlarga yaqinlashish interpolyatsiyasi................................32
1. Eng kichik kvadratlar usuli………………………………..32
2. Splayn–funksiyalar yordamida approksimatsiyalash …….39
III BOB. Matlab tizimida signallarni interpolyatsiyalash va
approksimatsiyalash masalalarini yechish ………………...46
1. Matlab tizimi va uning imkoniyatlari…………………………46
2. Matlab tizimida signallarni approksimatsiyalashning dasturiy
qismini tashkil etish………………………………………...…59
3. Aloqa tizimlarida mehnat muhofazasiga oid ishlarni tashkil
etish…………….………………………………………………69
Xulosa……………………………...…………………………..74
Adabiyotlar ro’yxati……………………..…………………...75
Ilovalar…….……………………………………………………
2
KIRISH
Bizga ma’lumki, axborot-kommunikasiya texnologiyalari salohiyati o’zaro
muomala qilish va axborot ayirboshlashning prinsipial jihatdan yangi shakllari va
imkoniyatlarini ochadi, fuqarolik jamiyati barpo etilishi va mustahkamlanishiga
ko’maklashadi, iqtisodiy islohotlar va mamlakatning demokratik rivojlanishi
jarayonlarini jadallashtirish imkonini beradi.
O’zbekiston Respublikasi shakllanayotgan global axborot jamiyatida
munosib o’rinni egallashga intilmoqda. Ushbu maqsadlarga erishish uchun
mamlakat hukumati tomonidan O’zbekistonda axborotlashtirish jarayonlarini
faollashtirish, zamonaviy axborot-kommunikasiya texnologiyalarini tez sur’atlarda
rivojlantirish, ularni iqtisodiyot va jamiyatning barcha sohalarida joriy etish hamda
foydalanishning strategik ustuvorliklari belgilandi.
Davlat boshqaruvida axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish
va rivojlantirish jamiyatni axborot jihatidan keng ko’lamli qayta o’zgartirishning
ajralmas qismi hisoblanadi.
Bu davlat boshqaruvi samaradorligini jiddiy ravishda oshirish, davlatning
umuman jamiyat bilan hamda uning ayrim institutlari va fuqarolar bilan o’zaro
munosabatlarini optimallashtirish imkonini beradi.
Axborotlashtirish sohasidagi islohotlar izchil olib borilayotgani natijasida
respublikamizning barcha tarmoqlari va davlat boshqaruvi organlari oldiga
qo’yilgan vazifalardan kelib chiqib, zamonaviy axborot-kommunikatsion
texnologiyalari va telekommunikatsiya tizimlarini rivojlantirish va ularni hayotga
keng joriy qilinishiga erishilmoqda [1,2].
Jumladan, mamlakatimizda o’tish davrini boshidan kechirayotgan bozor
iqtisodiyotining ijtimoiy yo’naltirilgan, ko’p tarmoqli axborot industriyasini tashkil
etish, AKTni iqtisodiyotning turli sohalarida keng joriy qilish orqali
jamiyatimizning ichki mustahkamligi va ijtimoiy birligini tashkil etish, rivojlangan
davlatlar hayoti standartlariga chiqish maqsadida O’zbekiston Respublikasi
3
Prezidenti tomonidan bir qancha farmonlari va hukumat qarorlari qabul qilinib,
ular amalda tadbiq qilinmoqda.
Mavzuning dolzarbligi. Bugungi kunda tezkor rivojlanayotgan axborot
kommunikatsiya texnologiyalarini jamiyatning barcha sohalarida qo’llash ayniqsa
real vaqt tizimlarida, raqamli televedeniyada, videokonferensiyalarni tashkil
etishda(auvdeo-video signallarni qayta ishlash), video ko’zatuvlarni masofaga
jo’natishda kichik vaqt davomiyligida tezkor taqdim etish muhim sanaladi.
Masofaga uzatilayotgan barcha axborotlar signal ko’rinishda ifodalanadi.
Signallarni masofaga jo’natishda yoki qabul qilishda signallarga vaqt sohasida
dastlabki ishlov berish (filtrlash, siqish) masalalarining sonli usullarini Matlab
tizimining imkoniyatlaridan foydalangan holda qayta ishlash uzatilayotgan
axborotlarning sifatini oshirishga xizmat qiladi.
Hozirgi vaqtda signallarga raqamli ishlov berish qo‘yidagi sohalarda:
raqamli televedeniya, radiolokatsiya, aloqa, meditsina, multimediya, nutqni
analizlash va IR telefoniya da qo‘llash prinsipial qiymatga egadir. Bugungi
kundagi zamonaviy IP tarmoqlarda ma’lumotlar trafigini asosiy tashkil
etuvchilari sifatida kommutatsiya paketlari rejimida nutqni jo‘natishdir. Shunday
ekan real vaqt rejimida talab darajasidagi sifatli nutqni jo‘natishni tashkil etish
ancha qiyinchiliklarni to‘g‘diradi. Ayniqsa ovozli va audio signallarni siqish va
filtrlash qo‘yidagi sohalarda qo‘llanilishi muhim ahamiyat kasb etadi. Bularga:
- biometriya;
- qurilmalarni ovozli boshqarish;
- logopediya;
- telekommunikatsiya;
- IP telefoniya.
Ishdan maqsad: Matlab tizimida signallarni identifikatsiyalashning
zamonaviy usullari o’rganiladi hamda signallarni identifikatsiyalashda aniq
tugunlardagi interpolyatsiyalashning klassik usullari(Lagranj interpolyatsiya,
Nyuton formulasi yordamida interpolyatsiya) va tugunlarga yaqinlashish
4
interpolyatsiyasining usullari (splayn funksiyalar, eng kichik kvadratlar usuli)
hamda nochiziqli funksiyalarni polinomli approksimatsiyalashning sonli usullarini
o’rganish va signallarni raqamli qayta ishlashda qo’llashni o’rganishdir.
Masalaning qo‘yilishi. Ushbu bitiruv malakaviy ishda qo‘yilgan masalaning
yechimini to‘g‘ri topish maqsadida ularni quyidagi bosqichlarda bajaramiz.
Interpolyatsiyalshning nazariy asoslarini o’rganish.
Aniq tugunlardagi interpolyatsiyalsh usullari (Lagranj interpolyatsiyalsh
funksiyasi, Nyuton interpolyatsiyalsh funksiyasi) ni o’rganish.
Tugunlarga yaqinlashish interpolyatsiyasi usullari (eng kichik kvadratlar
usuli, kubik splaynlar) ni o’rganish.
Matlab tizimini o’rganish.
Bu yuqorida keltirilgan sonli usullarni hisoblashda Matlab tizimining
imkoniyatlaridan foydalanish va bu usullarni signallarga raqamli ishlov
berish masalalariga qo’llash
Olingan natijalarni baholash va ularni qiyosiy tahlil qilish
Bitiruv malakaviy ishning tuzilishi va hajmi. Ishning matni kompyuterda
yozilgan __ bet hajmidan iborat bo’lib, uning strukturasini kirish, 3 ta bob, xulosa,
foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va __ ta ilova tashkil qiladi.
Birinchi bobda signallar tushunchasi va ularning xarakteristikasi, signallarga
raqamli ishlov berishning imkoniyatlari, qo’llanilish sohalari, signallarga raqamli
ishlov berish, signalni raqamlashtirish haqidagi bilimlarga bag’ishlangan.
Ikkinchi bob Interpolyatsiyalsh nazariyasi asoslari deb nomlanib bu bobda
aniq tugunlardagi interpolyatsiya, Lagranj interpolyatsiya formulasi, Nyuton
interpolyatsiya formulasi, splayn funksiyalari yordamida approksimatsiyalash,
tugunlarga yaqinlashish interpolyatsiyasi (Eng kichik kvadratlar usuli) haqida
bilimlar bayon etilgan.
Uchinchi bob Signallarni interpolyatsiyalash va approksimatsiyalash
masalalarini Matlab tizimida yechish deb nomlangan bo‘lib bu bobda Matlab
5
tizimi va uning imkoniyatlari, Matlab tizimida signallarni approksimatsiyalashning
dasturiy qismini tashkil etish va aloqa tizimlarida mehnat muhofazasiga oid
ishlarni tashkil etish talablari bayon etilgan.
Xulosa qismida bitiruv malakaviy ishida olingan asosiy natijalar keltirilgan.
Adabiyotlar qismida bitiruv malakaviy ishini bajarishda foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxati keltirilgan.
Ilovalarda yaratilgan dasturiy majmuaning kodi va modullari keltirilgan.
6
I.bob. Signallar va ularning xarakteristikalari
1.1. Signallarga raqamli ishlov berish va uning imkoniyatlari
Axborotlani chiqarish, qayta ishlash va uzatish ko’p masalalarni mohiyatini
maxsuslashtirilgan axborot hisoblash tizimlarida turli xil vazifalarga tayinlaydi.
Fizik tashuvchilardan axborotni chiqarib olish uchun asosiy vosita bu signal
hisoblanadi. Signallarga misol sifatida telefon so’zlashuvini tashkil qiladigan
mikrofon zanjiridagi tok, tasvirlani nurining yorqinligi orqali telivezordan qabul
qilish, radiouzatgish antennasidagi tok va boshqa ko’pgina misollarni keltirish
mumkin.
Shundan kelib chiqgan holda, signal bu – amaliy jihatdan ko’p hollatlarda
vaqt ichida oquvchi obektiv jarayondir. Axborot hisoblash tizimlarida o’zi
tomonidagi jarayonning nazariyasini emas balki, signalning analitik ta’rifini
matematik modellar yordamida amalga oshirish qaraladi. Ko’pgina hollarda barcha
signallar aniq fizik koordinatalarda qiymatlari berilgan funksiya sifatida qaralib
kelinadi.
Bu ma’noda signallarni bir o’chovli (vaqtga bog’liq holda), tekislikda
berilgan ikki o’lchovli (misol uchun xar xil tipdagi tasvirlarni), uch o’lchovli (
misol uchun fazodagi ob’ektlar) ni keltirish mumkin.
Bunday signallarni matematik tavsiflanishi tegishli ravishda bir, ikki, va uch
o’zgaruvchi bo’ladi. Albatta bu erda nafaqat skalyar funksiyalarni sifatida
foydalanish emas balki ancha qiyin modellarini kompleks va vektor funksiyalarni
qulay foydalanish mumkin.
Signallarga raqamli ishlov berishdan maqsad turli o’zgartirishlar orqali ularni
samaradorlik bilan uzatish, saqlash va axborotni ajratib olishdan iborat. Keying
vaqtlarda keng rivojlangan signallarga raqamli ishlov berish usullari bir qator
afzalliklarga ega:
- umuman olganda signallarga ishlov berishning xar qanday murakkab
algoritmlarini amalga oshirish mumkinligini amalga oshirish mumkinligini va
7
ushbu signallarga ishlov berish algoritmlarini real vaqtda amalga oshirish
imkoniyatini beruvchi elementlar bazasi borligi;
- raqamli qurilmalar yuqori aniqlikda ishlov imkoniyatini beruvchi algoritmlarning
yaratilganligi va mavjudligi;
- nazariy jixatdan uzatilayotgan xabarlarni xalaqitbardosh kodlardan foydalanib
uzatish va saqlash saqlash natijasida xatosiz qayta tiklash imkoniyatining borligi
raqamli signallarga xosdir.
Yuqoridagi afzalliklarni amalga oshirish diskret signallar va elementar
zanjirlar xaqidagi asosiy ma’lumotlarga ega bo’lish darajasiga bog’liq.
Real siganallar har doim aniqlangan interval oralig’ida funksiya sifatida
aniqlanadi. Misol uchun bir o’lchovli signal funksiya sifatida t vaqtda poydo
bo’lsa, chegaralangan intervalni qo’yidagicha yozish mumkin. xt,t tmin ,tmax , bu
erda tmax va tmax - aniqlash intervalining nisbatan pastki va yuqori chegaralaridir.
Agar tmax va tmax - qiymati bir ishorali bo’lsa, unda bu interval bir ta’rafli , aks
holda interval ikki tarafli deyiladi. tmin tmax da interval simmetrik deyiladi.
Siganl kauzal deyiladi qachonki u barcha real signallar vaqt boshlanishida
paydo bo’ladigan signallarga aytiladi. Agar signalning qiymati qaysidir vaqt
oralig’ida qaytarilsa bunday signallar davriy signallar deyiladi.
Bugungi kunda qo‘yidagi tipdagi signallarga asosiy e’tibor qaratilmoqda:
Nutqiy signallar, misol uchun kundalik hayotda ishlatiladigan (telefonda
gaplashish, radio eshitish );
Beomedik signallar (elektroensefalogramma, miya signallari );
Ovozli va audiosignallar;
Video va telerasmlar;
Radar signallari (berilgan diapazonda ma’lum bir maqsadga yo‘naltirilgan
izlanishlarda qo‘llaniladigan ).
Tabiatda uchraydigan ko‘pgina signallar o‘zining analogli formasiga
ega bo‘lib, vaqt bo‘yicha uzliksiz o‘zgaradigan va misol uchun ovozli to‘lqin
ko‘rinishida fizik kattaligi bo‘yicha ta’riflanadi. Odatda raqamli signallarni
8
qayta ishlashda ishlatiladigan anolog signallar bir xil oraliqli vaqt intervalida
raqamli ko‘rinishga keltiriladi.
Ko‘pincha raqamli signallarni spektr qiymatlarini olib yoki qo‘lay
formaga keltirish orqali qayta ishlash interferensiyalardan yoki shumlardan
bartaraf etish, signallarni siliqlash, siqish, tanishda katta yordam beradi.
Bugungi vaqtda signallarga raqamli ishlov berish ko‘pgina, avval anologli
usullarda ishlatiladigan sohalarda tashqari yangi anologli qurilmalarda bajarib
bo‘lmaydigan sohalarda qo‘llanilmoqda. Signallarga raqamli ishlov berishning
jozibaliligi quyidagi asosiy qulayliklarga bog‘langan.
Aniqlilikning kafolatlanganligi. Aniqlilik ishlatilgan bitlar soniga qarab
aniqlanadi.
Mutloqo aks ettirish. Raqamli yozuvga signallarga raqamli ishlov
berish usullarin qo‘llash orqali signal sifatiga zarar etkazmagan holda ko‘p
marta nusxalash yoki aks ettirish mumkinligi [9].
Moslashuvchanlik. Signallarga raqamli ishlov berish tizimi orqali
qurilmani o‘zgartirmasdan xar xil funksiyalarni bajarilishini qayta
dasturlashtirish mumkinligi.
Yuqori darajadagi unumdorlik. Signallarga raqamli ishlov berishni
signallarni analogli qayta ishlab bo‘lmaydigan vazifalarini bajarilishida
qo‘llash mumkin. Misol uchun chiziqli fazoviy xarakteristikalarini olgan holda
murakkab adaptiv filtrlashlarni amalga oshirish masalalarida qo‘llanilishi.
Tezlik va xarajatlar. Keng polosali signal uchun signallarga raqamli
ishlov berishning loyihalari qimmat bo‘lishi mumkin. Hozirgi vaqtda keng
polosali signallarni qayta ishlashda ishlatiladigan tezkor ATSP
(analograqamli/raqamlianalogli keltirgichlar) lar yo qimmat yoki keng polosali
signallarga kerakligicha ishlov berishning imkoniyatining etishmasligidadir.
Ishlov berish vaqti. Signallarga raqamli ishlov berish metodikasi yoki
raqamli ishlov berishning dasturiy vositalaridan foydalanish bilan tanish
9
bo‘lmaslik qo‘yilgan vazifalarni sifatli bajarish juda ko‘p vaqtni yoki umuman
bajarib bo‘lmasligi mumkin.
Signallarga raqamli ishlov berishdan maqsad turli o‘zgartirishlar
orqali ularni samaradorlik bilan uzatish, saqlash va axborotni ajratib
olishdan iborat. Keyingi vaqtlarda keng rivojlangan signallarga raqamli ishlov
berish usullari bir qator afzalliklarga ega:
- umuman olganda signallarga ishlov berishning har qanday murakkab
algoritmlarini amalga oshirish mumkinligi va ushbu signallarga ishlov berish
algoritmlarini real vaqtda amalga oshirish imkoniyatini beruvchi elementlar
bazasi borligi;
- raqamli qurilmalar yuqori aniqlikda ishlash imkoniyatini beruvchi
algoritmlarning yaratilganligi va mavjudligi;
- nazariy jihatdan uzatilayotgan xabarlarni halaqitbardosh kodlardan
foydalanib uzatish va saqlash natijasida xatosiz qayta tiklash imkoniyatining
borligi raqamli signallarga xosdir [17].
Yuqoridagi afzalliklarni amalga oshirish diskret signallar va
elementar zanjirlar haqidagi asosiy ma’lumotlarga ega bo‘lish darajasiga
bog‘liq [8,9].
1.2. Qo‘llanilish sohalari
Signallarga raqamli ishlov berish (SRIB)– bu zamonaviy elektronikada
sohasida tezkor rivojlanayotgan va raqamli protsessorda boshqariluvchi raqamli
ko‘rinishdagi axborotlardan tashkil topgan barcha sohalarda qo‘llaniladi. SRIBning
qo‘llanilish sohalariga qo‘yidagilarni keltirish mumkin
Rasmlarni qayta ishlash
- tasvirlarni tanish;
- mashinali ko‘rish;
- rasmlarni sifatini yaxshilash;
- faksimile;
- sputnikli kartalar;
10
- animatsiya.
Insturmental vositalar
- spekral analiz;
- vaziyatni boshqarish va tezlik;
- shumni pasaytirish;
- axborotni siqish.
Ovoz/audio
- ovozni tanish;
- ovozni sintez qilish;
- raqamli audiotizimlar;
- tenglashtirish.
Harbiy maqsadda
- xavfsiz aloqa;
- radarlar bilan ishlash;
- raketalarni boshqarish.
Telekommunikatsiya
- exolarni bartaraf etish;
- adaptivli tenglashtirish;
- videokonferensiya – aloqa;
- ma’lumotlarni uzatish.
Biomeditsina
- bemorlarni kuzatish;
- skanerlash;
- elektroensefalogrammani analiz qilish;
- rentgen tasvirlarini saqlash va yaxshilash.
Istemolchi maqsadida
- raqamli mobil telefonlar;
- universal mobil aloqa tizimlari;
- raqamli televedeniya;
11
- raqamli kameralar;
- telefon aloqa, internet orqali musiqa va video;
- raqamli faks va modemlar;
- ovozli pochta tizimlari;
- interaktiv ko‘ngil ochar tizimlar.
Bir qarashda SRIB ning qo‘llanilish sohasini yuqorida keltirilganlardan
tashqari boshqa sohalarni ham keltirish mumkin [9].
1.3.Signallarga raqamli ishlov berish, signalni raqamlashtiish
Signallarning raqamli qayta ishlanishi signallarni diskret o’zgartirish va
berilgan signallarni qayta ishlaydigan tizimlar bilan operatsiyalar bajaradi. Diskret
o’zgartirishlarning matematikasi analogli matematikasi qa’rida hali 18-asrdayoq
qatorlar teoriyasi doirasida va ularning funksiyalar interpolyatsiya va
approksimatsiyasi uchun qo’llanilishida paydo bo’lgan, biroq tezlashgan
rivojlanishga u 20-asrda, birinchi hisoblash mashinalari paydo bo’lganidan keyin
ega bo’ldi. Umuman olganda, o’zining asosiy mazmunida diskret qayta ishlashning
matematik apparati qayta ishlashi bo’yicha analogli signal va tizimlarga o’xshash.
Lekin ma’lumotlar diskretliligi bu holatni hisobga olishni talab qiladi, va uning
e’tiboga olinmasligi jiddiy xatoliklarga olib kelishi mumkin. Bundan tashqari,
diskret matematikasining qator metodlari analitik matematikada analoglarga ega
emas. Oxirgi o’n yilliklarda hisoblash tehnikalari tez avj olib o’sib borayotgan
jarayon hisoblanadi. Asosan xalq-xo’jaligi va barcha ilmiy o’rganish sohalarida
malumotlarga raqamli ishlov berish amaliy usullariga o’tishi katta sakrash bo’ldi.
Bularni xar xil hisoblash ya’ni kerakli o’rinlarda turuvchi signallarga raqamli
ishlov berish (SRIB) tizimlari tehnikalarida qo’llash, keyingisi malumotlarni qayta
ishlash jarayonida masofadan turib zondlashda foydalanish, med - biologik
tadqiqotlarda, aerokosmik va dengiz kemalari qatnovi : aloqa, radiofizika, raqamli
optika va bir qator raqamli sohalari masalalarini hal qilishda ishlatiladi. Signallarga
raqamli ishlov berish (SRIB) – bu hisoblash tehnika (HT) larida tehnik sifatida va
dasturli vositalarda ko’chishlarni dinamik yozuvchisidir. Signallarga raqamli
12
ishlov berish uchun va shu sohaga tegishlilar xabarlar nazariyasidan
foydalanadilar. Jumladan signalni optimal qabul qilish nazariyasidan va
ko’rinishini bilish nazariyalari kiradi. Bu jarayonda asosiy vazifasi birinchidan
fondagi shovqinlarni va tabiatdagi turli xil tovush signallarini belgilaydi,
ikkinchidan signallarni sinflanishini, tenglashtirish va avtomatik aniqlashdan
iborat. Signallarga ishlov berishni tasirini quyidagi tehnologiyalarida ya’ni
telekommunikatsiya , raqamli TV va ovoz yozish, biometrika, mobil aloqa va
videosistemalarda kuzatishimiz mumkin. Bular asosan hisoblash qurilmalarida
qo’llaniladi.
Signallarga ishlov berishdan maqsad:
- Signal parametrlarini o’lchash yo’li, ob’ekt haqida malumot qabul qilish –
amplituda, faza, chastota, spektr;
- Fondagi xalaqitlarni foydali belgilab olish;
- Signallarni siqish (kompressiya);
- Signal formatini o’zgartirish.
1.1-rasm Signallarni ishlov berishni oddiy strukturaviy ko’rinishi.
Signallarga raqamli ishlov berishni asosiy elementlari:
– D – analog signal ko’rsatkichi ;
– Filtr – past chastotali filtr ;
– ARO’ – analog raqamli o’zgartirgich ;
– SRIB – signallarga raqamli ishlov berish ;
– RAO’ – raqamli analog o’zgartirish ;
– OF – oxirgi foydalanuvchi ;
– Qurilmalarni alohida vazifalari:
ARO’ SRIB RAO’ Filtr
D Filtr
13
– Ko’rsatkich – elektr signaliga proporsianol ravishda fizik parametrlarni
o’zgartirish qurilmasi;
– Analog filtr – analog signal pulsini tekislovchi reaktiv elementlardagi (L,C,R)
elektr sxema;
SRIB (DSP- Digital Signal Processing) – signal protsessori, raqamli signallarga
ishlov berish algoritmlarini reallashtiradi. Asosan kuchli protsessorlar kerak
bo’ladi. Signalni o’zgartirish quydagi rasmda ko’rib o’tamiz.
1.2-rasm.ADC – analig –raqam o’zgartirgich, DAC -raqam –analig
o’zgartirgich.
Signalni raqamlashtirish 3 – bosqichda amalga oshiriladi:
1. Vaqt bo’yicha diskretlash (funksiya argumenti).
2. Amplituda bo’yicha kvatlash(funksiya qiymati).
3. Kodlash.
Diskretizatsiya – bu diskret funksiyalarni to’xtamasdan o’zgartirishdir. U
gibridli hisoblash tizimlarida va ma’lumotlarni uzatish tizimlarida raqamli
qurilmalarda signallarni impuls- kod modulyatsiyasida foydalaniladi. tasvirni
uzatish jarayonida to’xtovsiz analog signalni diskretga o’zgartirishda yoki diskret
to’xtovsiz signal uchun foydalaniladi. Bunga teskari jarayon qayta tiklash deb
nomlanadi. Vaqt bo’yicha diskretlash jarayonida to’xtovsiz analog signal ketma –
ket sanab chiqilib almashtiriladi, shu paytni o’zida kattalik belgilab qo’yiladi.
Kotelnikov teoremasi: Diskretlash chastotasi asosiy signal chastotasidan ikki
marta katta bo'lishi kerak
14
Umumiy ko’rinishda analog signal amplituda funksiyalarini ko’rsata oladi
(masalan: trigonometric va yetarli osonlikdagi), argument vaqt t bilan aniqlik
hududini ko’rsatadi.
Biz raqamli signalni qayta ishlayotganda, shubxasiz, analog signal
cheklangan xotira hajmli va tezkor hisoblashv qurilmali qayta ishlash uchun
yaroqli ko’rinishga keltiriladi. Shubxasiz tartibli chisel tanlashga majburmiz.
Raqamli signallarga ishlov berishda to’g’ri vaqt intervali orqali analog signal
kattaligi tanlanib ijro etiladi. Bu jarayon vaqt bo’yicha diskretizatsiya deyiladi.
Diskretizatsiya davri vaqt T deyiladi, diskret chastotasi F esa unga teskari
proporsional:
Matematik diskretizatsiya jarayoniga quyidagi formulani yozish mumkin:
Bu yerda, δ(t) – delta funksiya, matematik abstraktsiyalarida foydalaniladi.
Delta funksiya 1/dt → ∞ da t=0 va 0da t odan farqli qiymatlarni qabul qiladi.
Shubxasiz δ(0)·dt=1 bo’ladi. Bu qiymat intervali t=k·T , 0 va tning boshqa
nuqtalarida bu funksiya qabul qilinadi. diskretizatsiya jarayoni 1.3-rasmda
tasvirlangan:
1.3– rasm. Diskretizatsiya jarayoni
15
Kvantlash (signalni qayta ishlash). Kvantlash (ing, quantization ) –
informatikada to’xtovsiz belgili diapazonni ochish yoki diskret kattaliklarni chekli
oraliq soniga aytiladi. Yana vektor kvantlash mavjud bo’lib – fazoga oid vektor
kattaliklarni chekli sonlar to’plamida ochish imkoniyati mavjud. Kvantlash
signalni qayta ishlash jarayonida tez-tez ishlatiladi, shu bilan birga ovoz va
tasvirlarni siqishda ishlatiladi. Kvantlashni oddiy ko’rinishi natural sonlarga butun
sonlarga bo’linishini bildiradi va kvant koffiysentlarida nomlanadi.
1.4- rasm. Kvantlangan signal.
Bir tomonlama (chiziqli) kvantlash – qirqilgan to’gri uzunlikdagi
diapazonni ochishini anglatadi. Uni doimiy kattalik(kvantlash qadami)da va butun
qismidan bir qismini olib taqdim etish mumkinligi, chiqishning bo’linishi
tushuniladi:
1.5- rasm. Diskret vaqtdagi kvantlanmagan signal.
Diskret bilan kvantlashdan keyin chalkashtirmaydi (mos ravishda, kvant
qadami bilan diskret chastotasi). Diskretizatsiya paytida vaqt kattaligi(signal)
16
o’zgaradi, berilgan chastota bilan o’lchanadi(diskretizatsiya chastotasi), bunday
shakl, diskretizatsiya signalni hosil qilish vaqt tuzish (grafikda - gorizontal
bo’yicha). Kvantlash ham berilgan manoli signal holiga olib keladi, yana signal
balandligini quradi (grafikda – vertikal bo’yicha).
Signal- har bir diskretizatsya va kvantlashdan keyin raqamli deb ataladi.
1.6– rasm. Raqamli signal.
Raqamlash jarayonida signalning uroveni diskret glubina yoki bitnost deb
ataladi. Glubina diskretizatsiya bitlarda o’lchanadi va uning kichik birligi bit,
amplitudaviy signal ekanini bildiradi. Shuningdek glubina diskretizatsiya, analog
signalni raqamli aniqligi mos keladi. Mabodo bir xil glubina diskretizatsiya
kvantlash dinamik diapazon deb ataladi va detsiBellarda o’lchanadi(1 bit ≈ 6 dB ).
Uroven bo’yicha kvantlash – raqamli signalni hisoblab kattaliklarini taqdim
etadi. Kvantlash uchun diapazon kuchlanishi signalini 2ta kodidan Umin dan
Umax gacha 2n intervalida taqsimlanadi. Qabul qiluvchi interval kattaligi
(kvantlash qadami):
Har bir interval n – razryadli ikkilik kod – interval nomeri, yozilgan ikkilik
raqamni o’zlashtirib oladi.Har bir hisoblashda interval kodini o’zlashtiradi, o’sha
hisoblash kuchlanishni bildiradi. Bunday ko’rinishdagi analog signal oxigi ikkilik
chiselni taqdim etadi, aniq vaqt davriga mos ravishda signal kattaligi- raqamli
signaldir. Har bir ikkilik raqam oxirgi impulsni – yuqori(1) va past(0) urovenni
17
taqdim etadi. Anallog signallarni kodlashda asosiy ikkita koddan tashkil topgan
bo'lib bular: 0 va 1 hisoblanadi ya'ni signal yo'q bo'lsa 0, signal bor bo'lsa 1 bo'ladi.
Raqamli audio signalning parametrlari. Raqamli signal razryadi- diskret
signalning kvantlash qismlari soni. professional audio qayta ishlashlarda 16,20 va
24 bit li razryadlardan foydalaniladi
Diskiritlash chastotasi-chastota , analog signalni qaysi diskret signalda
diskretlashni ko'rsatadi. Audioga professional ishlov berishda uzatilayotgan
diskrezatsiya chastotasi 44100 hz yoki 48000hz bo'ladi. Asosiy signal chastotasi 2
yoki 4 marta katta----88200/96000 yoki 176400/192000 bo'ladi.
Format tushunchasi- butun (to'g'ri kod) yoki haqiqiy(nuqtali kod) sanaladi.
Kanallar soni-signallar bir , ikki, yoki ko'p kanalli bo'lishi mumkin (3...8 kanalli)
qaysi audio ga ishlov berilayotgan bo'lsa o'sha kanal o'qiladi. Shular raqamli signal
parametrlariga kirsa anolog signal parametrlariga –signal kuchi chastrota
diapazoni,dinamik diapason kiradi. Ovoz sifatli yani yoqimli bo'lishini ish oxirida :
usilitel, kolonka, mikrofon, ovoz yozish va ijro etish apparaturalari ta'minlayda.
Signal kuchi- bu signal amplitudasining qanchalik kattaligi kichikligi bilan
baholanadi. Chastota oralig’i-inson qulog'i eshitadigan chastota 20hz dan 20000hz
gacha hisoblanadi.Bir muncha ko'p ishlatiladigan chastotalar ro'yxati:
– 8000hz-- telefon
– 11025--- telefon
– 16000---telefon
– 22050 ---radio
– 32000---radio
– 44100--- audio CD
– 48000----DVD
– 96000---DVD(MLP5.1)
– 192000---DVD(MLP2,1)
Diskretlash natijasida raqamli tovush paydo bo'ladi. Raqamli tovush bu
bitlar ketma-ketligi ko'rinishidagi anolog signal hisoblanadi. Raqamli signalning
18
afzalligi shundaki, kodlangan signallarni masofaga uzatilgandagi yo'qotishlarni
kriptografik usullar yordamida tiklash imkonini beradi. Ya'ni, shifrlarni,
yo'qotishlarni tiklash, shovqinlardan tozalash imkonini beradi.
19
II.Bob. Interpolyatsiyalash nazariyasi asoslari
2.2.1. Aniq tugunlardagi interpolyatsiya
Amaliyotda jarayonning parametrlari tajriba asosida jadval ko‘rinishida
aniqlangan bo‘lishi mumkin. Xususan jarayonning X va U parametrlari ustida
o‘tkazilgan kuzatuvlar quyidagi jadval ko‘rinishida ifodalangan bo‘lsin.
……
…
……
…
Ana shu jadval qiymatlar asosida X va U o‘zgaruvchilar orasidagi
funksional bog‘lanishni Y=P(x) aniqlash masalasi approksimatsiya masalasi
deyiladi. Bu erda ikkita savol hal qilinishi kerak. Birinchidan P(x) funksiya
ko‘rinishini tanlash, ikkinchisi esa uning jadvalga muvofiq yoki yaqinligini
ta’minlash. Birinchi savol javobi sifatida funksiyalar to‘plamidan hisoblash va
tahlil qilish nuqtai nazaridan eng qulayi, ya’ni ko‘pxadlarni tanlaymiz. Ikkinchi
savol ya’ni jadvalga muvofiqlik belgisi sifatida tenglikni talab qilamiz.
Natijada quyidagi matematik masalani xosil qilamiz.
+an (2.1)
ko‘pxadlar orasidan shundayi topilsinki, jadval tugunlari nuqtalarda
noma’lum funksiya jadval qiymatlariga teng bo‘lsin.
Bu talabni barcha nuqtalar uchun yoyib yozsak, noma’lum koeffitsentlar
larni aniqlash uchun quyidagi sistemani xosil qilamiz.
20
(2.2)
Bu sistema n ta noma’lumli n chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bo‘lib
uning determinanti
interpolyatsiyalash tugunlari turli bo‘lgan xolda noldan farqli
ekanligi isbotlangan. Demak (2.2) sistema echimi mavjud va yagona bo‘ladi.
Uning echimi a0,a1,….,an qiymatlarini (2.1) formulaga qo‘yilsa izlanayotgan
interpolyatsion ko‘phadni hosil qilamiz.
2.1.1.Lagranj interpolyatsiya formulasi
Interpolyatsion ko‘phad tuzishning original usuli Lagranj tomonidan kashf
qilingan. Interpolyatsion ko‘pxadni (2.1) ko‘rinishda emas
n(x) (2.3)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu erda lar funksiyaning jadval qiymatlari lar
esa xar biri darajali ko‘pxad. U xolda (2.3) ifoda xam darajali ko‘pxad
bo‘ladi. ko‘pxadlarni esa
shartga ko‘ra aniqlaymiz. Boshqacha qilib aytganda ildizlari
bo‘lgan darajali ko‘phad bo‘lar ekan. Demak uni
xn) ko‘rinishda
21
ifodalash mumkin. Pin(xi)=1 shartga ko‘ra esa
topiladi. Bu ifodalarni (2.3) formulaga qo‘yilsa
(2.4)
ko‘rinishdagi ko‘phadni hosil qilamiz. (2.4) ko‘phad tengmas oraliqlar uchun
Lagranj interpolyasion ko‘phadi deyiladi.
Lagranj interpolyatsion ko‘phadini tuzishni quyidagi misolda ko‘rib
chiqamiz.
-1 0 1 2
5 3 5 17
Jadval bilan berilgan funksiya uchun Lagranj interpolyatsion ko‘phadi
tuzilsin deyilgan bo‘lsa,(2.4) formula bo‘yicha quyidagi ko‘phadni hosil qilamiz.
Bu erda
Demak +3 berilgan masala echimi bo‘lar ekan.
Bevosita tekshirish bilan bu ko‘phad jadvalga to‘la mosligini ko‘ramiz.
Interpolyatsion ko‘phadning qoldiq hadi
22
Interpolyatsion ko‘phadning qoldiq hadi, yoki xatoligi
deyiladi. SHartga ko‘ra barcha …n nuqtalarda =0
bo‘ladi. SHuning uchun uni
xn) (2.5)
Ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lar ekan. Bu erda ;Xn) Roll
teoremasi bo‘yicha kelib chiqadigan nuqta. Agar 1) xosilalar chegaralangan
bo‘lsa, ortgan sari xatolik nolga intilib borishi ko‘rinadi.
Agar ,xn nuqtalar teng oraliqlar bo‘yicha joylashgan bo‘lsa, ya’ni
formulaga muvofiq kelsa, Lagranj interpolyatsion ko‘pxadi ko‘rinishini
soddalashtirish mumkin bo‘lar ekan. Haqiqatdan xam t*h formula
bo‘yicha yangi o‘zgaruvchi t ga o‘tadigan bo‘lsak va
munosabatlarni e’tiborga olsak yangi t o‘zgaruvchilarda (2.4) ko‘pxad quyidagi
ko‘rinishni oladi.
(2.6)
(2.6) formula teng oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion ko‘pxadi deyiladi.
Uning qulayligi, (2.6) formulada qiymatlar umuman qatnashmaydi va (2.4) ga
qaraganda soddaligi va universalligi bor. Bu almashtirish(2.5) xatolik formulasiga
qo‘yilsa xatolik tartibi bo‘yicha n+1) bo‘lishini ko‘ramiz.
2.1.2.Nyuton interpolyatsi formulasi
Lagranj interpolyatsion ko‘phadi universal va sodda bo‘lishi bilan ayrim
kamchiliklarga ham ega ekan. Xususan interpolyatsion ko‘pxadi bo‘yicha funksiya
qiymatini hisoblash uchun bajarilishi kerak bo‘lgan amallar juda ko‘p.
23
Shuninigdek, funksiya qiymatlar jadvaliga yana bir qiymat qo‘shilsa
barcha ishni qaytadan bajarish kerak bo‘ladi. Bu kamchiliklardan xoli bo‘lgan
interpolyatsion ko‘phad Nyuton tomonidan kashf qilingan. Biz bu erda bevosita
ko‘pxadni tuzish bosqichlari va jarayonini keltiramiz. Avvalo, bo‘lingan ayirmalar
tushunchasini kiritamiz. Funksiya qiymatlar jadvali berilgan
bo‘lsa birinchi tartibli bo‘lingan ayirmalar
-1 (2.7)
Formulalar bo‘yicha xisoblanadi. xn) ta
birinchi tartibli bo‘linganayirmalar topilgach, ikkinchi tartibli bo‘lingan
ayirmalar
i+k+1) (2.8)
Formula bo‘yicha kiritiladi. (2.7) va (2.8) formulalar shu tartibda davom
ettirilsa, 3-,4-,... tartibli bo‘lingan ayirmalar ham topiladi. Umumiy formula
sifatida agar k-tartibli bo‘lingan ayirmalar ma’lum bo‘lsa k+1 –tatibli bo‘lingan
ayirmalar
+k+1) (2.9)
Formula bo‘yicha topiladi. Bo‘lingan ayirmalar quyidagi jadval ko‘rinishda
to‘ldiriladi.
1-tartibli
bo‘lgan
ayirma
2- tartibli
bo‘lgan ayirma
3- tartibli
bo‘lgan
ayirma
........
......
n-tartibli
bo‘lgan ayirma
…
…..
24
…
…..
…
…
…….
……..
………
………
………
………
……….
……..
Jadvaldan ko‘rinadiki, 1-tartibli bo‘lingan ayirmalar soni ta , ya’ni qiymatlar
sonidan bitta kam, 2-tartibli ayirmalar soni n bo‘lar ekan. Tartibi ortgan sari
bo‘lingan ayirmalar soni bittadan kamayib boradi. SHu tariqa tartibli bo‘lingan
ayirma bitta bo‘lar ekan. Jadval esa uchburchak ko‘rinishda bo‘ladi. Bu jadvalni
yuqori qismida, jadvalda tagiga chizilgan, Nyuton interpolyatsion ko‘phadi
koeffitsentlari hosil bo‘lar ekan. Ular asosida Nyuton interpolyatsion ko‘phadi
quyidagicha ifodalanar ekan.
(2.10)
Keltirilgan qoidani quyidagi misolda ko‘ramiz.
1-tartibli
bo‘lgan
2- tartibli
bo‘lgan ayirma
3- tartibli
bo‘lgan
4-
tartibli
25
ayirma ayirma bo‘lgan
ayirma
-1
2
0 3
1 3
2 23
3
10
5
Bu jadval asosida (2.10) formulaga ko‘ra Nyuton interpolyasion ko‘phadini
tuzamiz.
Hosil bo‘lgan ko‘phad funksiya qiymatlar jadvaliga to‘la mos keladi.
Bu ko‘phad asosida funksiyaning istalgan nuqtadagi qiymatini topish
mumkin. Masalan nuqtadagi qiymati so‘ralgan bo‘lsa
26
qiymatini topamiz.
Nyuton va Lagranj interpolyatsion ko‘phadlari aslida bitta masala echimi
bo‘lganligi uchun ular faqat tuzilish usulidagina farq qilinadi, aslida esa ular aynan
bir xil chiqadi. SHuning uchun topilgan qiymat xatoligini baxolashda xam Lagranj
ko‘pxadi qoldiq hadi formulasidan foydalanish mumkin. Bizdagi misolda soddalik
uchun olingan, xatolik tartibi qoida unchalik yaxshi natija emas. Aslida
xatolik
Tengsizlik bo‘yicha baxolansa xamda chegaralangan desak xatolik
tartibi uchun
munosabatdan foydalansa xam bo‘ladi.
Nyuton interpolyatsion ko‘phadining Lagranj interpolyatsion ko‘phadini
avzal tarafi jadvalga biror yangi ma’lumot qo‘shilsa ko‘phadga yangi bitta had
qo‘shilar ekan xolos. Soddalik yuqoridagi misolda bu xolatni taxlil qilamiz. Agar
jadvalda faqat qiymatlargina bo‘lsa
kelib chiqqan bo‘lar edi. Agar dagi ma’lumot xam qo‘shilsa
ko‘phad xosil bo‘ladi. Keltirilgan muloxazalar o‘rinli ekanligini ko‘ramiz.
Eslatma: Interpolyatsion ko‘phadlar funksiyaning ,xn .
nuqtalardagi qiymatlari asosida tuziladi. Bu ko‘phad xatoligi n+1) tartibda
bo‘ladi deyiladi. Faqat bu xulosa ;xn) oraliqdagina o‘rinli. Bu oraliqdan
tashqaridagi qiymatlar uchun hech qanday xulosa qilib bo‘lmaydi. Bu xolat
ekstrapolyatsiya masalasi bo‘lib uning echimini topishning ishonarli usullari yo‘q.
27
Interpolyatsiya masalasida yana bir usulni ko‘ramiz. Teng oraliqlar uchun
Nyuton interpolyatsion ko‘pxadi. Agar interpolyatsiyalash tugunlari bir xil
masofada joylashgan bo‘lsa, ya’ni munosabat o‘rinli
bo‘lsa, =th almashtirish kiritiladi, xamda funksiya qiymatlar jadvali
asosida chekli ayirmalar jadvali tuziladi. Birinchi tartibli chekli ayirmalar
(2.11)
Birinchi tartibli chekli ayirmalar asosida 2-tartibli chekli ayirmalar hisoblanadi.
(2.12)
Xuddi shunday tartibda 3-,4-, tartibli chekli ayirmalar aniqlanadi. Hisoblash
tartibi va jadval ko‘rinishi quyida aks ettirilgan.
1-tartibli 2-tartibli n-
tartibli
…
..
…
…
..
…
…
…
..
… …. ………. …
28
…
… ….. ……….. …
…
…
…
…
..
Jadvalning yuqori dioganali bo‘ylab hosil bo‘lgan (tagiga chizilgan)
koeffitsientlar asosida interpolyatsion ko‘pxad quyidagicha ifodalanadi.
(2.13)
(2.13) formula teng oraliqlar uchun Nyuton interpolyatsion ko‘pxadi
deyiladi.(2.13) ko‘phad asosida biror qiymatni aniqlash uchun avval =t
formulaga ko‘ra t topiladi va (2.13) formulaga qo‘yib topiladi.
Quyidagi misolni ko‘ramiz. Funksiyaning
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
2 2,3 2,5 2,3 2,2
qiymatlar jadvaliga ko‘ra Nyuton interpolyasion ko‘phadini tuzing va
qiymatini aniqlang. Avvalo chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz.
1- tartibli
2-
tartibli
3-
tartibli
4-
tartibli
29
0
,2
0
,3
2,3
0,2+
0
,4
2,5+ -0,4-2
-0,2- 0,5+3
0
,5
2,3 0,1+
-0,1
0
,6
2,2
Bu jadval asosida Nyuton interpolyatsion ko‘phadi
tuziladi.x=0,25 qiymatga ko‘ra topiladi. Bu qiymat
bo‘yicha funksiya taqribiy qiymati topiladi. Jadvalda
shuningdek funksiya qiymatlarida bartaraf qilib bo‘lmas xatolik mavjud bo‘lsa
uning chekli ayirmalar jadvali bo‘yicha yoyilishi va natijaga ta’siri sxematik tarzda
ifodalangan. Bu erda qiymatda tartibdagi xatolik bo‘lgan xol
namoyish qilingan.
Amaliyotda approksimatsiya masalasini echishda quyidagi usuldan
foydalanishni tavsiya qilish mumkin. Funksiyaning qiymatlar jadvalidagi bartaraf
qilib bo‘lmas xatolik tartibiga ko‘ra, hamda jadval qadami ga ko‘ra
30
interpolyasion ko‘phadning samarali darajasi tanlanadi. So‘ngra kerakli qiymatga
qarab jadval qismi tanlanadi va interpolyatsion ko‘phadni jadvalning aynan
tanlangan qismi bo‘yicha tuziladi. Tuzilgan ko‘phad yordamida funksiyaning
izlanayotgan qiymati hisoblanadi.
Bu qoidani quyidagi misolda tadbiq qilish namunasini ko‘ramiz. Funksiya
qiymatlar jadvali
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
2,71 2,65 2,53 2,45 2,37 2,5 2,61 2,75 2,9 3,21
ko‘rinishda berilgan bo‘lib, bu qiymatlar tarkibida o‘lchov vositalari shkala
ko‘rsatkichlarini yaxlitlash hisobiga 0,005 tartibida yaxlitlash xatoligi mavjud
bo‘lsin. SHu ma’lumotlar asosida ) qiymatini topish talab qilinayotgan
bo‘lsin.
Vaziyatdan ko‘rinib turibdiki bartaraf qilib bo‘lmas xatolik
bo‘lgan jadval qiymatlar asosida funksiya qiymatini undan aniqroq topishning iloji
yo‘q. Berilgan jadvalda bo‘lib, to‘liq jadval asosida tuzilgan interpolyatsion
ko‘pxad darajasi 9 bo‘lib, 0.1 bo‘lganligi uchun xatolik tartibi
110) bo‘ladi. Mantiqan bunday aniqlikka erishish mumkin emas.
CHunki jadval qiymatlarida xatolik bor. SHuning uchun interpolyatsion ko‘pxad
samarali darajasini aniqlash kerak bo‘ladi. Buning uchun
Tenglikni tavsiya qilish mumkin. Bundan =2 etarli ekanligi ko‘rinadi.
Demak 2-darajali interpolyatsion ko‘pxad tuzsak xam etarli bo‘lar ekan. Buning
uchun esa 3 ta jadval qiymat etarli bo‘ladi. Jadvaldan 0,45 o‘z ichiga
oladigan ;0,6 qiymatlarga mos qismini olish mumkin. Quyida
31
amaliy xisoblar tartibi ko‘rsatilgan. =2 bo‘lganligi uchun chekli ayirmalar
jadvalini 2-tartibgacha olib borish etarli.
0 2,71
-0,06
0,1 2,65 -0,06
-0,12 0,1
0,2 2,53 0,04
-0,08 -0,04
0,3 2,45 0
-0,08 0,21
0,4 2,37 0,21
0,13 -0,23
0,5 2,5 -0,02
0,11 0,05
0,6 2,61 0,03
0,14 -0,02
0,7 2,75 0,01
0,15 0,15
0,8 2,9 0,16
0,31
0,9 3,21
Jadvalni ajratilgan qismi va belgilangan koeffitsentlar asosida Nyuton
interpolyatsion ko‘pxadini tuzamiz.
32
Bu erda =0,1 bo‘lgani uchun 0,5
bo‘ladi va
Odatda natijalar ishonchli raqamlar bilan ifodalanganligi ma’qul. Bizda
interpolyatsion ko‘pxad xatoligi tartibda bo‘lganligi uchun natija
yaxlitlangan.
Agar jadvaldagi yaxlitlash yoki aniqlash xatoliklari 005
tartibda bo‘lsa ya’ni 3-darajali ko‘phad tuzilgan bo‘lar edi. Umumiy qoida
sifatida to‘liq jadval uchta qismga ajratilsa
0,9} va har biri uchun aloxida
interpolyatsion ko‘phadlar tuzilsa, butun jadval qamrab olinadi. Tuzilgan
ko‘phadlarni )(X) deb belgilasak istalgan 0,9)
qiymat uchun jadval qismiga qarab kerakli ko‘phad tanlanib funksiya
qiymatini aniqlash mumkin.
2.2.Tugunlarga yaqinlashish interpolyatsiyasi
2.2.1 Eng kichik kvadratlar usuli
Avval ko‘rganimizdek jadval ko‘rinishda berilgan funksiyalar qiymatlarida
o‘lchov vositalari imkoniyati, yaxlitlash va boshqa ob’ektiv sabablarga ko‘ra
vujudga keladigan xatoliklar bo‘lishi mumkin. Approksimatsiya masalasini
echishda bu xatoliklarni yo‘qotib bo‘lmaydi. Ular natijaga o‘z ta’sirini o‘tkazadi.
SHuning uchun berilgan nuqtadagi qiymatlar bo‘yicha darajali
interpolyatsion ko‘phad tuzaman va tartibdagi aniqlikka erishaman degan
orzu xom xayolga aylanib qolar ekan. Natija xatoligi jadvaldagi bartaraf qilib
bo‘lmas xatolik tartibida bo‘lar ekan. Buning uchun esa darajali ko‘phad
ham etarli bo‘lar ekan, ning qiymati ga ko‘ra
33
tengsizlikdan topiladi va aksariyat xollarda bo‘ladi. Lekin darajali
ko‘pxad tuzish uchun esa ta nuqta etarli bo‘ladi. Bunda funksiya jadval
qiymatlarining faqat bir qismigina jalb qilinadi. Butun jadvalni ta qiymatli
bo‘laklarga bo‘lib aloxida-aloxida ko‘phadlar tuzishga to‘g‘ri keladi. Bunda,
tabiiy, mehnat ko‘payadi, hamda bartaraf qilib bo‘lmas xatoliklar ham funksiya
qiymatining aniq qismi deb xisoblangan bo‘ladi. Keltirilgan muloxazalar
interpolyasiya usuli kamchiliklarini namoyon qilayapti. Bu kamchiliklardan xoli
usul yaratish zarurati paydo bo‘ladi. Yana bir muloxaza tabiiy yoki texnik
jarayonlarda uchraydigan bog‘lanishlar aksariyat xolda sodda ko‘rinishga ega
bo‘lib biz ham ana shu tabiiy soddalikka intilishimiz kerak.
bo‘lsa darajali interpolyatsion ko‘phad tuzish mumkin ekan deb
berilib ketish keragi yo‘q ekan. Sababi, ko‘rinishdagi bog‘lanish qanday
jarayonda bo‘lishi mumkin? Tabiatda ham, texnikada ham uchraydigan bog‘lanish
modellari, Nьyuton qonunlari, Om qonuni, Guk qonuni barchasi sodda, chiziqli
ko‘rinishga ega. Biz topmoqchi bo‘lgan bog‘lanish modeli ham sodda bo‘lsa kerak
degan umid va ishonch hamshunga mos usul tanlashni talab qiladi.
Eng kichik kvadratlar usuli
…
…
Jadval ko‘rinishida berilgan x va u o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanishni k-
darajali ko‘phad ko‘rinishida izlaymiz.
(2.14)
Bu erda bo‘lib avvalgidek jadval qiymatlarga teng bo‘lishligini talab
qilishga imkoniyat bo‘lmas ekan. SHuning uchun ko‘pxadning nuqtalardagi
qiymatlari lar qiymatlariga iloji boricha yaqin bo‘lishini talab qilamiz.
Bu talab esabizga koeffitsentlarni aniqlash uchun shartlarni
beradi. Buning uchun yig‘ma xatolikni hisoblaymiz.
34
(2.15)
Biz shartga mos keladigan larni topishimiz
kerak. Ekstremum shartlariga ko‘ra, biror nuqtada ekstremumga erishsa bu
nuqtada barcha birinchi tartibli xususiy xosilalar nolga teng bo‘lishi kerak.(2.15)
tenglikdan hosila olib
2 ga bo‘lib yuborsak va ma’lumlarni o‘ng tarafga o‘tkazsak, quyidagi
ko‘rinishdagi sistema hosil bo‘ladi.
(2.16)
(2.16) sistema (k+1) ta noma’lumli (k+1) ta chiziqli algebraik tenlamalar
sistemasi bo‘lib, uning koeffitsentlarini
deb belgilasak (2.16) sistema quyidagi qo‘rinishda yozilishi mumkin.
(2.17)
(2.17) sistemaning determinanti Gramm determinanti deyiladi va noldan farqli
ekanligi isbotlangan. Demak (2.17) sistema doimo echimga ega. Ayrim xususiy
xollarn ko‘ramiz.
CHiziqli bog‘lanish modelini tuzish.
bo‘lgan xolda approksimatsiyalovchi ko‘pxad
ko‘rinishini oladi. Uning uchun (2.17) sistema
yoki
35
ko‘rinishini oladi. Bu sistemadan larni topib chiziqli bog‘lanish modeli,
ya’ni
chiziqli funksiyani topamiz. Bu funksiyaning jadval funksiya bilan farqlari
larni hisoblaymiz. Bu farqlar qanchalik kichik bo‘lsa, tanlangan model
shunchalik o‘rinli bo‘lishga haqli, ya’ni to‘g‘ri deyishimiz mumkin ekan. Bu
farqlar katta bo‘lib ketsa, chiziqli modelь mos emas ekan degan xulosaga kelamiz
va 2- yoki 3- darajali modellarga o‘tamiz.
EKKU bo‘yicha xatolikni baxolashda yig‘ma xarakteristika, ya’ni
olinadi. Xulosa aynan shu qiymatiga qarab chiqariladi. Amaliyotda Fisher
kriteriysi degan kriteriyga xam rioya qilishadi. Uning ma’nosini quyidagicha
ifodalash mumkin. Xisob kitoblarga ko‘ra xolat kuzatilsa
eng maqbul variant darajali ko‘phad ekan deb ko‘phadda to‘xtaladi.
EKKU ning yana bir avzal tarafi, u jadval qiymatlaridagi sistematik xatolarni
silliqlash, xattoki tasodifiy xatolarni payqash va aniqlash imkoniyatini berar ekan.
Buni quyidagicha ifodalash mumkin. Barcha larni xisoblaymiz.
SHunda qaysidir qolganlaridan bir necha barobar ortiq chiqqani ko‘rilsa, aynan
shu nuqtada, qiymatida, o‘lchash vositalarining nosozligi, yoki kuzatuvchining
e’tiborsizligi tufayli tasodifiy xatolikka yo‘l qo‘yilgan bo‘lishi mumkin degan
xulosaga kelamiz. Bu xolatdan chiqish uchun jadvaldan aynan shu qiymatni
chiqarib tashlab qaytadan tuzatilgan modelni tuzishni tavsiya qilish mumkin ekan.
Ortiqcha izoxsiz kvadratik model tuzish jarayonini xam ifodalash mumkin.
Bu erda noma’lum koeffitsentlar larni aniqlash uchun
36
ko‘rinishdagi sistema hosil bo‘ladi. Bu sistemadan koeffitsentlarni
aniqlab kvadratik bog‘lanish modelini topishimiz mumkin.
Amaliy misol sifatida chiziqli bog‘lanish modelini topish, jadvalda bo‘lishi
mumkin bo‘lgan tasodifiy xatoni aniqlash hamda bu qiymatni jadvaldan chiqarib
tashlab tuzatilgan modelni aniqlash jarayonini quyidagi misolda namoyish qilamiz.
Qulaylik uchun yagona jadvalda boshlang‘ich qiymatlar va chiziqli
model tuzish uchun kerak bo‘ladigan barcha qiymatlarni kiritilgan. SHuningdek
jadvalda aniqlangan chiziqli model qiymatlari , uning xatoligi
qiymatlar xam xisoblangan.
R R
0 0,7 0 0 0,7057 0,0057 0,7032 0,0032
0,1 0,752 0,0752 0,01 0,7453 0,0067 0,7428 0,0092
0,2 0,778 0,1556 0,04 0,7849 0,0069 0,7824 0,0044
0,3 0,82 0,246 0,09 0,8245 0,0045 0,822 0,002
0,4 0,861 0,3444 0,16 0,8641 0,0031 0,8616 0,0006
0,5 0,93 0,405 0,25 0,9037 0,0263
0,6 0,939 0,5634 0,36 0,9433 0,0043 0,9407 0,0017
0,7 0,982 0,6874 0,49 0,9829 0,0009 0,9803 0,0017
0,8 1,02 0,816 0,64 1,0225 0,0025 1,0199 -0,0001
0,9 1,061 0,9549 0,81 1,0621 0,0011 1,0595 -0,0015
1,0 1,098 1,098 1 1,1017 0,0037 1,0991 0,0011
5,5 9,941 5,4059 3,85 ∑
0,5 0,9037 0,4914 0,35 ∑/(n-1)
Bu jadval asosida chiziqli modelь koeffitsentlari larni topish uchun
37
sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan va xamda
ko‘rinishda chiziqli bog‘lanish modelini topamiz. CHiziqli
bog‘lanish modeliga ko‘ra xisoblangan qiymatlar jadvalda ustunida xisoblab
yozilgan. Model va jadval qiymatlar farqi formula bo‘yicha
xisoblanib u xam jadvalga kiritilgan.
Xatoliklar tahlili shuni ko‘rsatadiki, jadvalning ga mos satrida xatolik
qolganlaridan 5-10 barobar kattaroq. Demak shu qiymatda tasodifiy xatolik bo‘lish
ehtimoli bor. Bu qiymatni jadvaldan chiqarib tashlasak 10 ta qiymat qoladi va bu
qolgan qiymatlar bo‘yicha chiziqli modelni xisoblash uchun
sistema hosil bo‘ladi. Bu sistemadan
va hamda
chiziqli model tuzatilgan varianti topiladi. Bu model bo‘yicha hisoblangan
qiymatlari va uning xatoligi xam jadvalga kiritilgan.
Tuzatilgan model qiymatlari jadval qiymatlariga nisbatan yaqinroq ekanligi
va bu xolda tasodifiy xatoliklar yo‘q ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Albatta bu
xolda ham dagi qiymat shubxali deb uni xam jadvaldan chiqarib tashlab
yanada tuzatilgan modelni tuzishimiz mumkin. Avvalgidek muloxaza va
hisoblashlar yordamida bu xolda chiziqli model
ko‘rinishini oladi. Bu formula bo‘yicha xisoblangan qiymatlar jadval
qiymatlarga yanada yaqin bo‘lishini ko‘rishimiz mukin. SHuningdek tasodifiy
xatoligi bo‘lgan qiymatlari haqida ham tasavvur hosil qilishimiz mukin. Bizning
misolda
qiymatlar tuzatilgan qiymatlar tasodifiy xatolar tartibi
haqida ham ma’lumot beradi.
38
O‘rganilayotgan jarayon xususiyatiga ko‘ra ba’zi xollarda
ko‘rinishidagi ko‘phadlar bog‘lanish modelini ifodalash uchun to‘g‘ri kelmasligi
mumkin. Ko‘phad darajasi ni orttirganimiz bilan xatolik kamaymaydi. Bunda
bog‘lanish modelini o‘zgartirishga to‘g‘ri keladi. Lekin asosiy mezon sifatida
EKKU talablari qolaveradi. Biz bu erda amaliyotda uchraydigan ana shunday
xollarning ba’zilari haqida ma’lumot berib ketamiz. SHuningdek bu xollarda
modelь parametrlarini topish algoritmlari ham keltiriladi.
Jarayon parametrlari o‘zgarishiga qarab ular orasida teskari proporsional
bog‘lanish bo‘lsa kerak degan fikr kelsa,bog‘lanish modelini
ko‘rinishida izlashimiz mumkin. Bu erda ham noma’lum parametrlar
larni topish uchun EKKU dan foydalanamiz. Xatolik funksiyasi
shartdan ekstremum nuqta uchun birinchi tartibli xususiy hosilalar nolga teng
bo‘lish sharti kelib chiqadi. Unga ko‘ra larni topish uchun
sistemani hosil qilamiz. Uni shakl almashtirib
ikkita noma’lumli ikkita chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil
qilamiz. Bog‘lanish ko‘rsatkichli qonuniyatga bo‘ysunadi degan taxmin mavjud
bo‘lsa bog‘lanishni ko‘rinishda izlash mumkin.
Noma’lum parametrlar larni topish uchun bu formulani
39
ko‘rinishda ifodalaymiz. Xatolik funksiyasini ham shu ko‘rinishga qarab
tuzamiz.
belgilashlar kiritsak
Bu sistemadan topiladi va ularga ko‘ra parametrlar va
ko‘rsatkichli bog‘lanish modeli topiladi.
2.2.2. Splayn – funksiyalar yordamida approksimagtsiyalash
Splayn – funksiyalar bilan bir va ko’p o’lchovli singnallarni va tajriba
malumotlarni qayta ishlash metodlari va ularning tahlili keltirilgan hamda splayn –
funksiyalar asosidagi tiklash metodlarini tadbiq qilish uchun singnallarni raqamli
qayta ishlash sinflari tahlil qilingan keyingi yillarda singnallarni tahlil qilish va
tiklash masalalarining yechimini topish uchun splayn –funksiyalar metodlari va
umumlashgan spektral usullar keng qo’llanilmoqda. Bazisli splaynlar va spektral
usullar nazariyasi imkoniyatllarining birliga yo’qori samaradorlik va aniqlik
talablariga javob bera oladigan, yangi singnalni qayta ishlash va tiklash
algoritmlarni ishlab chiqish imkoniyatini beradi. Mavjud adabiyotlarning tahlili
shuni ko’rsatadiki , yaqinlashtirish usuli bo’yicha interpolyatsion va siliqlovchi
splaynlar , tasvirlash turi bo’yicha esa polynomial va bazisli splaynlar ishlatiladi.
Interpolyatsion splaynlar shunday splaynlarki , ular berilgan chegara shartlari
40
to’plamlarini va funksiyaning aniqlanish sohasi ichki nuqtalaridagi shartlarni
qanoatlantiradi,silliqlovchi splaynlar esa turli ko’rinishdagi funksiyalarning
optimizasiya masalalarini yechish bilan bog’liqdir. Bu o’z navbatida ko’plab
hisoblash resurslari sarfini talab qiladi hamda ular asosida olingan algoritmlar
esa murrakkab hisoblanadi. Ushbu holatda bazisli splaynlar local
yaqinlashtirishning samarali vositasi hisoblanadi, qachonki ular berilgan
o’zgarmas oraliqda qurilsa va faqat yaqinlashtiriladigan funksiyaning ushbu
oraliqdagi qiymatlariga bog’liq bo’lsa. Kubik bazisli splaynlarning xususiyatlarini
o’rganadigan bo’lsak kubik splaynlar juda katta matematik afzallikka ega.
Ular berilgan nuqtalarni interpolyatsiyalovchi va kvadrat bilan
integrallanuvchi ikkinchi hosilasi mavjud bo’lgan barcha funksiyalar ichida
minimal yassilik xususiyatiga ega bo’lgan yagona funksiyadir . d=1 defektli
kubik bazisli splaynlar dasturlarda ancha kengroq tarqalgan. Bunday splaynlar[xi
,xi+1] oraliqlarning har birida kubik ko’phadlar bilan mos keladi. f(x) funksiyasini
yaqinlashtirish uchun kubik bazisli splaynlar to’rta juft ko’paytmalarning yig’indisi
ko’rinishida tasvirlanadi. Amaliyotda splayn-funksiyalar yordamida singnallarni
tiklash uchun kubik bazisli splaynlar tizimadan foydaliniladi. Kubik bazisli
splaynlar to’rta bazisli splayndan tarkib topgan bo’lib, ular B3,-
1(x),B3,0(x),B3,1(x),B3,2(x). Aniqlanish sohasining [0,1] intervalida har bir
splayn qiymatlarining bir qismi joylashgan va bu qiymatlar qolgan intervallar
uchun bazis bo’lib xisoblanadi. Splayn-funksiyalar asosidagi tiklash metodlarini
joriy qilish uchun singnallarni raqamli qayta ishlash ham tahlil qilingan. Splayn-
funksiyalari metodlari shunisi bilan qulayki ,ular jamlovchi parallel ko’paytirish
ammallarini bajarishga asoslangan singnallarni tiklash va parrallellashlashtirish
prinsplarini keng qo’llash imkoniyatini beradi. Splayn-funksiyalar metodlarining
bu avzalliklari ularni singnallarni raqamli qayta ishlash masalalarida qo’llash
imkoniyatini yaratadi.
Splayn-funksiyalar metodlari asosida singnallarni tiklash koefsentlarini
hisoblanadi .Kubik splaynlar asosida tiklash koefsentlarini hisoblash modellari va
41
algoritmlarini hamda kubik bazisli splayn asosida parallel hisoblash strukturasi
ishlab chiqiladi. Signallarga raqamli ishlov bеrishning kеng tarqalgan
masalalaridan biri kiruvchi signalini matеmatik ifodasini olishdan iborat.
Axborot tizimlarida dinamik jarayonlarning o’zi emas, balki uning analitik
tavsifi ko’rinishidagi kiruvchi signalingi matеmatik modеli ko’riladi. Shuning
uchun gapni taxlil qilish, filtrlash, obrazlarni idrok etish, tasvirlarga ishlov
bеrish, siqish masalalarini еchish uchun unumli apparatli amalga oshirishni,
talab qilingan tеzlik va aniqlikni ta'minlovchi ishlov bеrishning algеbraik
usullardan foydalaniladi. Amaliyotda signalda shovqinli tashkil etuvchilar
bo’lganida yoki jadval ko’rinishidagi qiymatlar bеrilganda algеbraik usulli
ishlov bеrish masalasi paydo bo’ladi.
Masalani еchishni soddalashtirish uchun signal yoki uning qismlarini bir
muncha oddiy signallar (funktsiyalar) yoki umumiy ko’bxadlarning chiziqli
kombinatsiyasi ko’rinishida taxminan tasvirlash mumkin. Bunda soddaroq
bo’lishi uchun ishlov bеrilayotgan signal rеal dinamik jarayonni tavsiflovchi
va chеgaralangan intеrvalga ega vaqt funktsiyasi f(t) kabi ifodalanadi. qo’yilgan
bitta masala doirasida signal (vaqt funktsiyasi) f(t) ga qo’yidagi chеklovlar
o’rnatilgan: signal chastotasi 50 kGts atrofida bo’ladi, signal va shovqin nisbati
birga ung nisbatda bo’lishi kеrak. Taxlil natijalari shuni ko’rsatadiki, kiruvchi
signalni analitik ifodasini olish uchun ko’rinishidagi algеbraik ko’bhadlardan
foydalanish bir muncha qulay qisoblanadi. Bunda ular amalda umumiy
struktura va algoritmni o’zgartirmasdan faqat Ak koeffitsiеntning qiymatini
almashtirish evaziga barcha ko’rinishdagi funktsiyalarni va ko’plab signallarni
xosil qilish imkoniyatini ta'minlaydi. Ko’rsatilgan masalalarni rеal vaqt tizimida
еchish uchun yuqori tеzlikni ta'minlovchi, algoritmli va apparat vositali amalga
oshirishda soddalik, aniqlik bo’yicha esa ananaviy usullardan qolishmaydigan
usullar talab qilinadi. Shovqinli signallarga ishlov bеrish masalalarida klassik
intеrpolyatsion ko’bhadlar imkoniyati chеklangan bo’ladi.
42
Bu klassik intеrpolyatsion ko’bhadlardan foydalanganda shovqin tashkil
etuvchilari foydali signalni approksimatsiyalash xatoligidan oshib tеkmasligi
kеrakligini bildiradi. Aks qolda ishlov bеrish sifati shovqin kattaligini
ortishiga proportsional ravishda ortadi. Shovqinli rеal signallarga ishlov bеrish
uchun bir muncha ma'quli o’rtacha kvadratik yaqinlashtirish usuli, ya'ni eng
kichik kvadratlar usuli, Chеbo`shеv ortogonal tizimi bo’yicha signallarni yoyish
usuli va boshqalar. Bu usullar amalda qo’llash uchun murakkab qisoblanadi,
qamda ko’p sonli ko’paytirish amallarini bajarilishini talab qiladi. Splayn-
approksimatsiya yuqori aniqlikni talab qiluvchi signallar va tasvirlarga ishlov
bеrish uchun qulay intrumеnt hisoblanadi, biroq u qo’yidagi bir qator
kamchiliklarga ega: butun egri chizik uchun umumiy ifodaning mavjud
emasligi, uzеl nuqtalar oraliqidagi turli intеrvallar unun splayn-funktsiyalar
to’plamidan foydalanish zarurligi, algoritmning o’zi esa murakkabligi. Ishda
Adamara (W), arrasimon funktsiya (P) va Xaara vеyvlеt-o’zgartirish sistеmasi
(V) diskrеt bazis sistеmalarining o’ratilgan minimum xatolik va yaqinlashish
elеmеntlarini qidirishda maksimum soddalik shartlar nuqtai nazaridan afzalliklari
ko’rsatib bеrilgan. Rеal vaqt masshtablari uchun signallarni bir muncha unumli
formada tasvirlash imkoniyatini bеruvchi algoritmlar zarur.
Signallarga ko’bhadli ishlov bеrishning approksimatsiyalovchi
strukturalarini olishining ikkita usuli taklif qilingan. Birinchisi tеnglama
еchishga asoslangan to’qri usul.Ikkinchisi spеktrlarni ko’paytirish (svеrtka) usuli
Chеbishеv ko’bhadlaridan foydalanishga asoslangan. Ikkala usulda xam maqsad
umumiy ko’rinishdagi ko’bhad ifodasi ko’rinishida signallarning matеmatik
modеlini olish bo’lgan masala ko’riladi. Signalni f(t) qiymatlar kеtma-kеtligi
ko’rinishidan (1.3.1) ko’rinishdagi algеbraik ko’bhad ko’rinishiga o’tkazish
uchun asos sifatida ikkilik-ortogonal bazis sistеmalari Adamar, arrasimon R-
bazis, vеyvlеt-funktsiyasi olinadi.
Approksimatsiyalovchi strukturalarni shakllantirishning to’g’ri usuli.
Algеbraik ko’phad koeffitsiеntlarini hisoblashda klassik usullarda kiruvchi
43
o’zgaruvchi sifatida kiruvchi signal qiymatlari emas, balki uning spеktral
koeffitsiеntalidan foydalanish taklif qilinadi. Bu esa ko’bhadning katta
bo’lmagan darajasida tеnglamalar sistеmasidan approksimatsiyalovchi
strukturaga o’tish imkoniyatini bеradi. Tadqiqot natijalari shuni ko’rsatadiki,
qiymatlarini spеktral tasvirlash yordamida olishni umumiy xolda Furе-
analizining barcha ikkilik-ortogonal bazis tizimlarida amalga oshirish mumkin.
Peli bo’yicha tartiblangan Xaara bazis funktsiyasi misolida shunday misolning
еchilishini ko’rib chiqamiz.
(2.18)
formulaga tеz o’zgartirish algoritmini qo’llab, f(t) signal qiymatlari
massivini W bazis spеktriga aylantirilib, shu bazis bo’yicha algеbraik polinom
qatorga yoyilib tеnglashtiriladi:
Spеktrlarni ko’paytirish (svеrtka) usuli. Spеktrlarni ko’paytirish (svеrtka) usuli
signalni tasvirlashning yana bir unumli usuli qisoblanadi. Taklif qilinayotgan
usul asosida kiruvchi signal spеktri orqali ko’phad koeffitsiеntlarini tеz
hosil qilish algoritmlarini yaratish yotadi. Approksimatsiyalovchi strukturalarni
xosil qilishning taniqli usullari klassik ko’bhadlardan foydalanish hisoblanadi,
biroq tеz o’zgartirish algoritmlarining yo’qligi va anlitik yozuvlarni olishning
murakkabligi ko’bhadlarning bu turini kеng qo’llanilishini qiyinlashtiradi.
Hisoblash algoritmini soddalashtirish uchun kiruvchi signal spеktrini va
klassik ko’bqadni shu ikkilik-ortogonal W, P va V bazislardagi
koeffitsiеntlarini ko’paytirishga asoslangan usul taklif qilinadi. N=8, k=2 xolat
uchun W bazisida approksimatsiyalovchi strukturalarni olishni ko’rib chiqamiz.
Qidirilayotgan ko’phadni qo’ydagi ko’rinishda tasvirlash mumkin.
(2.19)
bu еrda (u) - tеng oraliq masofali argumеnt uchun Chеbishеv ko’bhadlari;
- qo’yidagi formula bilan qisoblanuvchi ko’bhad koeffitsiеntlari:
44
(2.20)
Chеbishеv ko’bhadlari darajali ko’bqad bo’lgani uchun tanlangan.yuqoridagi
tеnglik kiruvchi signal f( ) va mos ( ) Chеbishеv ko’phadlarining bir-biriga
nisbatan quvvatini aniqlaydi. Agar yuqoridagi formulaga umumiy holdagi
Parsеval tеngligini qo’llasak va ularning spеktrlari quvvatini tеnglasak, u holda
qo’yidagi ifodani olish mumkin:
(2.21)
bu еrda – tanlangan W bazisda Chеbishеv ko’bhadlarining spеktral
koeffitsiеntlari, –W bazisda kiruvchi signalning spеktral koeffitsiеntlari.
Yuqoridagi ifodani qisobga oladigan bo’lsak, W bazisda signalning va klassik
ko’bhadning spеktral koeffitsiеntlari orqali - paramеtrlarni hisoblash
formulasi olinadi:
(2.22)
Bu formulada kattaligi qo’yidagi ifoda bilan qisoblanadi:
(2.23)
(u) ko’bhadni W bazis bo’yicha yoygandan so’ng spеktral koeffitsiеntlar
aniqlanadi. Topilgan va - qiymatlarni ni hisoblash formulasiga qo’yib
-qiymatlari topilib C kattalik koeffitsiеntlar bilan kiruvchi signalning
spеktral koeffitsiеntlarini bog’lovchi analitik ifodani olish mumkin. Xuddi shunday
o’xshash amallarini bajarib boshqa bazislarda ham approksimatsiyalovchi
strukturalarni olish mumkin. Approksimatsiyalovchi ifodalarni olish signal
protsеssorlarida (SP) unumli amalga oshiriluvchi amallarni o’zida ask ettiradi.
45
Bu amallar ikkita-ikkita qilib ko’paytirish bilan qo’shish, bunda
ko’paytiruvchilardan biri oldindan ma'lum son (o’zgarmas) bo’ladi.
Taklif qilinayotgan signalni qo’bhad ko’rinishiga o’tkazishda foydalanish
bitta amaliy dastur yordamida bir vaqtning o’zida silliqlash (filtrlash), siqish va
intеrpolyatsiya masalalarini еchish imkonini bеradi.
46
III. Bob. Matlab tizimida signallarni interpolyatsiyalash va
approksimatsiyalash masalalarini yechish
3.1. Matlab tizimi va uning imkoniyatlari
MATLABning asosiy quyidagi vazifalarini bajarish uchun ishlatiladi:
- matematik hisoblashlar;
- algoritmlarni yaratish;
- modullash;
- ma’lumotlarni tahlil qilish, taqdim qilingan va vizuallashtirish;
- ilmiy va injinerlik grafikasi;
- ilovalarni ishlab chiqarish va boshqalar;
MATLAB 4.x versiyalarining imkoniyatlari
Matematik hisoblashlar sohasida:
- matrisaviy, vektor va mantiqiy operatorlar;
- elementlar va maxsus funksiyalar;
- polinomial arifmetikalar;
- ko’p o’lchamli massivlar;
- yozuvlar massivlari;
- yacheykalar massivlari;
- sonli usullarni amalga oshirish sohasida;
- differensial tenglamalar;
- chiziqli bo’lmagan algebrik tenglamalarning ildizlarini aniqlash;
- bir necha o’zgaruvchili funksiyalarni optimallash;
- bir o’lchamli va ko’p o’lchamli interpolizasiya;
- signallarni qayta ishlash.
Dasturlash sohasida:
- 700 dan ortiq biriktirilgan funksiyalar;
- ikkilik va matnli fayllarni kiritish, chiqarish;
- C va FORTRANda yozilgan dasturlarni qo’llash;
47
- MATLAB amallarni C va C++ tillaridagi dastur matlarini avtomatik ravishda
qayta kodlash
- tipik boshqaruvchi tizimlar;
Vizuallashtirish va grafik sohasida:
- ikki va uch o’lchamli grafikani yaratish imkoniyatlarining mavjudligi;
- ma’lumotlarni vizual tahlil qilishni amalga oshirish;
Yuqorida keltirilganlarga qo’shimcha ravishda MATLAB ochiq
arxitekturaga ega, ya’ni mavjud funksiyalarni o’zgartirish va yaratilgan xususiy
funksiyalarni qo’shish mumkin. MATLAB tarkibiga kiruvchi simulink dasturiy
real tizim va qurilmalarni funksional bloklardan tuzilgan. Modullar ko’rinishida
kiritib imitasiya qilish imkoniyatini beradi. Simulink juda katta va
foydalanuvchilar tomonidan yanada kengaytirilishi mumkin bo’lgan bloklarning
kutubxonasiga ega. Bloklarning parametrlari sodda vositalar yordamida kiritiladi
va o’zgartiriladi.
MATLAB 5.x versiyasining imkoniyatlari
MATLAB 5.x tizimida yangi vositalar kiritilgan va dasturlash muhiti
takomillashtirilgan:
• dastur fragmentlarining bajarilish vaqtini baholash uchun m-fayllarning
profillovchisi;
• t-fayllar uchun qulay interfeysga ega bo’lgan taxrirlagich/ sozlagich;
• obyektga mo’ljallangan dasturlash;
• ishchi soxa tarkibini kuzatish vositalari;
• funksiyalarning m-fayllarini oraliq. r-kodga konvertasiya qilish.
• foydalanuvchining grafik interfeysini xosil qilishning interaktiv vositalari —
GUI;
• grafik obyektlar xossalarining yangi taxrirlagichi— Handle Graphics
Property Editor (deskriptor grafika xossalarining taxrirlagichi);
• ruyxatlar panellari;
• dialog va xabarlar panellari;
48
• matnni taxrirlashning kup satrli rejimi;
• grafik boshqarish elementlarining ketma-ketligini xotiraga olish;
• boshqarish elementlari parametrlarining kupaytirilganligi;
• foydalanuvchi tomonidan aniqlanadigan kursor;
• 5.3-versiyadan boshlab xujjatlarni HTML (gipermatnni belgilash tili —
Hypertext Mark Up Language) formatida taysrlash.
Ma’lumotlarning yangi turlari:
• kup ulchamli massivlar;
• tarkib massivlari (yozuvlar);
• xar-xil turdagi ma’lumotlar yacheykalarining massivlari;
• 16-razryadga kodlangan simvollar massivlari;
• elementlari 8-razryadga kodlangan massivlar. Dasturlash vositalari:
• uzunligi uzgaruvchi argumentlar ruyxati;
• funksiya va operatorlarning vazifasini uzgartirish;
• m-fayllarda lokal funksiyalarni kullash;
• uzgartirib ulovchi operator- switch...case...end;
• wait for operatori;
• bitlarni kayta ishlovchi funksiya.
Matematik xisoblashlar va ma’lumotlarning taxlili:
• oddiy differensial tenglamalar (ODT) ni yechishning beshta yangi usuli
(solver);
• Bessel funksiyasini tezkorlik bilan xisoblash;
• siyraklashgan tarkibli matrisalar uchun xususiy qiymatlar va singulyar
sonlarni xisoblash;
• ikki ulchamli kvadraturali formulalar;
• kup ulchamli interpolyasiya;
• triangulyasiya va ma’lumotlarni terminalga chiqarish;
• kup ulchamli massivlarni taxlil qilish va qayta ishlash;
49
• vakt va sana funksiyalarini kayta ishlash. Odatdagi grafikaning yangi
imkoniyatlari:
• tez va aniq uch ulchamli vizuallash uchun Z-buferlash;
• RGBra 24-bitli yordam;
• katta uch ulchamli modellar uchun vektorlashtirilgan poligonlar;
• to’plam obyektlar uchun deskriptorli grafika;
• 8-razryadli tasvirlarni terminalga chiqarish, saqlash va import qilish;
• grafik obyektlarning qo’shimcha formatlari. Prezentasiya uchun grafika va
ovoz:
• ikkilangan x- va u-uklar;
• legenda — grafikning ichiga yoki yoniga joylashtiriladigan bildirgich
yozuvli chiziq bulaklari shaklidagi izoxlar;
• matnli obyektlarning shriftlarini boshqarish;
• satr usti, satr osti va grek simvollari;
. • uch ulchamli diagrammalar, yo’nalish maydonlari, lentali va sterjenli
grafiklar;
• 16-bitli sterso ovoz. Interaktiv xujjatlar:
• Netscape Navigator yoki Microsoft Internet Explorer yordamida ko’rish
imkoniyati;
• HTML va PDF formatlarda to’liq bildirgich xujjatlar;
• maxsus ilova Notebook yordamida «jonli» kitoblarni yaratish imkoniyati.
MATLAB 5.3.1 versiyasi o’z tarkibida 42 ta dasturiy maxsulotni jamlagan.
Ularning asosini MATABning tayanch tizimi va yangi amalga oshirilgan Simulink
3.1 kengaytmaning paketi tashkil qiladi. Tizimga yangi komponentlar qo’shilgan.
Ular orasida qo’yidagilar ham bor:
• Data Analysis, Visualization and Application Development — ma’-
lumotlarni tahlil qilish, vizuallash va qo’llash;
• Control Design —boshqarish qurilmalarini loyihalash;
50
• DSP and Communications System Design — kommunikasion va signallarni
raqamli qayta ishlash qurilmalarini loyihalash;
• Financial Engineering — moliyaviy hisoblar va boshqalar.
MATLAB 7 versiyasining imkoniyatlari
MATLAB 7 yukorida keltirilganlardan tashqari qator yangi imkoniyatlar bilan
ham xarakterlanadi:
• o’rnatilgan funksiya va buyruqlar soni 700 dan ortiq;
• buyruqlar oynasi (Command Window), buyruqlar tarixi oynasi (Command
History), ishchi soxaning brauzeri (Workspace Browser) va massivlar taxrirlagichi
(Array Editor)larning o’z ichiga oluvchi muhitni boshqarish uchun asboblar
to’plamiga ega bo’lgan yangi interfeys;
• sichqoncha yordamida interaktiv yo’l bilan grafiklarni taxrirlovchi va
formatlovchi, grafik buyruqlar va atributlar uchun ularning kodlarini va xotira
sarfini optimallovchi yangi asboblar;
• optimallashtirilgan LAPACK bibliotekasi asosida mukammallashtirilgan
algoritmlar;
• Kembrij universiteti (AQSH) Massachuset texnologiya institutining yangi
FFTW bibliotekasi (Furye tez almashtirishlari);
• integral almashtirishlarning tezkor usullari;
• differensial tenglamalarni integrallashning yangi, kuchliroq va aniqroq
algoritmlari;
• ikki o’lchamli tasvirlarni, sirtlarni va xajmga ega bo’lgan figuralarni shaffof
obyektlar sifatida ekranga chiqarish; yangi zamonaviy vizuallash funksiyalari;
• perspektivani boshqarish va OpenGL yordamida grafikani tezkor chiqarish
uchun yangi Camera asboblar paneli;
• Java proseduralarni chaqirish uchun yangi interfeys va bevosita
MATLABdan turib Java-obyektlardan foydalanish;
• foydalaniluvchi grafik interfeysini loyihalash uchun yangi, zamonaviy
asboblar;
51
• grafik ma’lumotlarni bevosita grafika oynasida qayta ishlash (regressiya,
interpolyasiya, approksimasiya va asosiy statistik parametrlarni hisoblash);
• Visual Studio tizimi uchun MATLABning yangi ilovasi, uning yordamida
bevosita Microsoft Visual Studio dan C va C ++ kodlarni bajariluvchi MATLAB
fayllariga (MEX-fayllar) aylantirish mumkin;
• Visual Source Safe kabi kodning versiyalarini nazorat qiluvchi versiyalar
bilan integrasiyalashgan;
• MATLABdan tashki qurilmalar bilan ma’lumot almashish uchun yangi
interfeys (ketma-ket port);
Simulink yuzdan ortiq, biriktirilgan bloklarga ega. Bloklar vazifalariga mos
holda guruxlarga bo’lingan: signallar manbalari, qabul qilgichlar, diskret, uzluksiz,
chiziqli bo’lmagan, matematik funksiyalar va jadvallar, signallar va tizimlar.
Foydalaniluvchi blok va bibliotekalar yaratish funksiyasiga ega bulganligi sababli
Simulinkda qo’shimcha ravishda kengayuvchi bloklar bibliotekasini hosil qilish
mumkin. Biriktirilgan va foydalaniluvchi bloklarning funksionalligini sozlashdan
tashqari belgi(znachok) va dialoglardan foydalanib foydalaniluvchi interfeys hosil
qilish xam mumkin. Maxsus mexanik, elektr va dasturiy komponentlarning
(motorlar, uzgartkichlar, servo-klapanlar, ta’minlash manbalari, energetik
qurilmalar, filtrlar, shinalar, modemlar va boshqa dinamik kompanentlar) ishlashini
modellashtiruvchi bloklar yaratish mumkin. Yaratilgan blokni kelajakda
foydalanish uchun kutubxonada saqlab qo’yish mumkin.
Boshqa dasturiy tizimlar bilan integratsiyalashuvi
Keyingi yillarda loyixachilar matematik tizimlarning integrasiyalashuviga va
ulardan birgalikda foydalanishga katta e’tibor bermoqdalar. Murakkab matematik
masalalarni bir necha tizimlar yerdamida yechish eng yaxshi vositalarni tanlash
imkoniyatini beradi va olinadigan natijalarning ishonchliligini orttiradi.
MATLAB tizimi bilan keng tarqalgan matematik tizimlar (Mathcad, Maple V
va Mathemati) integrallashuvi mumkin. Matematik tizimlarni zamonaviy matnli
prosessorlar bilan birlashtirishga intilish xam mavjud. Masalan, MATLAB yangi
52
versiyalarining vositasi — Notebook — Word 95/97/2000/XR matn
prosessorlarida tayyorlanayotgan xujjatning kerakli joylariga MATLAB xujjatlari
va sonli, jadval yoki grafik ko’rinishdagi xisoblash natijalarini qo’yish
imkoniyatini beradi. Natijada «jonli» elektron kitoblarni tayyorlash mumkin.
Ularda namoyish qilinayotgan misollarni operativ tarzda uzgartirish mumkin.
Masalan, boshlangich shartlarni uzgartirib, masalani yechish natijalarining
uzgarishini ko’zatish mumkin. MATLAB 7 da grafiklarni Microsoft PowerPoint
slaydlariga eksport qilishning takomillashgan vositalari xam ko’zda tutilgan.
MATLABda tizimni kengaytirish masalalari maxsus kengaytirish paketlari —
Toolbox asboblar to’plami yordamida hal qilinadi. Ularning ko’plari boshqa
dasturlar bilan integrasiyalashuv uchun maxsus vositalarga ega. MATLAB tizimi
bloklar ko’rinishida berilgan, dinamik tizim va qurilmalarni modellash uchun
yaratilgan Simulink dasturiy tizimi bilan xam integrasiyalashgan. Vizual-
yo’naltirilgan dasturlash prinsiplariga asoslangan Simulink murakkab qurilmalarni
yuqori aniqlikda modellash imkoniyatini beradi. O’z navbatida boshqa ko’plab
matematik tizimlar, masalan, Mathcad va Maple MATLAB bilan obyektli va
dinamik bog’lanishi mumkin. Natijada ular MATLABda matrisalar bilan
ishlashning effektiv vositalaridan foydalanishlari mumkin. Kompyuter matematik
tizimlarining bunday integrasiyalashuv tendensiyasi shubhasiz, keyinchalik ham
davom etadi.
Matrisaviy amallarga yunaltirilganligi
MATLAB tizimi vektorlar va matrisalar ustida murakkab amal-larni bajaradi.
Undan arifmetik va algebraik amallardan tashkari matrisalarni invertirlash,
ularning xususiy kiymatlarini MATLAB tizimining tili matematik xisoblashlarni
dasturlash soxasida x,ar kanday mavjud yukori darajadagi universal dasturlash
tillaridan boyrokdir. U xozirgi vaqtda mavjud bo’lgan deyarli hamma dasturlash
vositalarini amalga oshiradi, jumladan, obyektga mo’ljallangan va vizual
dasturlashni (Simulink vositalari yordamida) ham. Umuman olganda, MATLAB
53
tizimidan foydalanish tajribali dasturlovchilar uchun uz fikrlari va g’oyalarini
amalga oshirish uchun cheksiz imkoniyatlar beradi.
Asоsiy buyruqlar оynasi matlab dagi barcha buyruqlarni paketlarni va
kutubхоnalani e’lоn qilish оynasi hisоblanadi. O’zgaruvchilar оynasi dastur
tarkibida e’lоn qilingan o’zgaruvchilarni daraхt ko’rinishida ifоdalab bоradi.
Buyruqlar tariхi оynasida esa dasturda bajarilayotgan buyruqlar ketma-ketligi
saqlanib qоladi. Matlabda seans ishi tushunchasi sessiya (session) deb yuritiladi,
ya’ni fоydalanuvchi ayni vaqtda fоydalanayotgan hujjat – bu sessiyadir. Unda
kiritish-chiqarish satrlari va хatоliklar haqida aхbоrоt jоylashgan bo’ladi. Matlab
sessiyaga kiruvchi barcha o’zgaruvchi va funksiyalar qiymatlari хоtiraning ishchi
qismida jоylashgan bo’ladi. Save (saqlash) kоmandasi yordamida ularni
(matlab.mat) – da saqlash mumkin. Load (yuklash) kоmandasi esa ma’lumоtlarni
diskdan ishchi sоhaga kiritish imkоnini beradi. Diary (kundalik) kоmandasi оrqali
ma’lumоtlarni ayrim qismlarini kundalik ko’rinishida saqlash mumkin.
Buyruqlar оynasini bоshqarish kоmandalaridan eng muхimlarini keltiramiz:
- Clc – ekranni tоzalaydi va kursоrni bo’sh ekranning yuqоri chap qismiga
jоylashtiradi;
- Home – kursоrni ekranning yuqоri chap qismiga qaytaradi. Jadal so’ratlar
bilan rivоjlanib bоrayotgan kоmpyuterlashgan matematik tizimlar, ayniqsa, sоnli
hisоblashlarga yo’naltirilgan tizimlar оrasida matlab matrisali matematik tizim
alоhida ajralib turadi. MATLAB tizimini tashkil qiluvchi paketlar sоni ko’pligi
uning juda ko’plab sоha masalalarini hal qilishga jоriy etish imkоniyatini beradi.
hоzirgi kunga kelib matlab tizimi zamоnaviy matematik va ilmiy-teхnikaviy
dasturiy ta’minоti sоhasida deyarli jahоn standarti bo’lib qоldi [10,13].
Dastlab Matlab dasturini ochganimizda qo’yida oyna ochiladi va biz undan
Start –Desktop tools – Editor buyrug‘i orqali dasturning ishchi stolini ochib
olamiz. Dastur ishchi stolini o‘zingiz hohishingizga qarab turli holatga keltirish
mumkin.
54
3.1 – rasm. Matlab dasturining dastlabki oynasi.
Yuqoridagi buyruq berilgandan so‘ng Matlab muhitining dastur kirituvchi
oynasi ochiladi va unga dasturni Editor qismiga kiritish mumkin. Dasturni
kiritishda faqat lotin alifbosidagi harflar va raqamlardan foydalaniladi
3.2 – rasm. Matlab dasturining ishchi oynasi.
Bazi matematik kattaliklarni qiymati dastur ichiga joylashtirilgan. Dastur
ishchi oynasiga kiritilgan dastuning natijalarini tekshirish uchun Run yoki F5
tugmasi yordamida amalga oshiriladi. Dastur natijalari ekraningizni chap
tamonidagi Command Window oynasiga chiqariladi.
55
3.3 – rasm. Matlab dasturining dastur natijasini bosmaga chiqarish.
Dastur ishga tushirish jarayonida algoritmni bosqichma – bosqich amalga
oshirish kerak bo‘ladi. Birinchi bosqich bajarilayotganda qolganlari belgilab olinib
Ctrl+R yoki Commentga olib qo’yilsa dastur ishlashiga halaqit bermaydi.
Dasturning commentdagi qismi kerak bo‘lganida o’sha qism belgilab Ctrl+T yoki
Uncomment buyrug‘i orqali bajariladi.
3.4– rasm. Matlab dasturida Comment vaUncomment buyrug‘i bilan ishlash.
Matlab muhitida approksimatsiyalovchi strukturaning boshqa tuzilgan
formula va algoritmlari kerak bo‘lib qolganda File – Open yoki Ctrl + O orqali
yuklab olinadi.
56
3.5– rasm. Matlab dasturida kerakli bo‘lgan faylni yuklash.
Matlab dasturida hisoblashlarni olib borish davomida natijalarni grafik
ko‘rinishda bosmaga chiqarishga to‘g‘ri kelganda biz plot buyrug‘iga murojat
qilamiz.
Bu buyruq yordamida natijalarni grafik ko‘rinishda olish va taqqoslash
mumkin bo‘ladi.
3.6– rasm. Matlab dasturida natijani grafik ko‘rinishda chop qilish.
Matlab dasturi orqali funksilarning signal ko’rinishida juda yaxshi tasvirlanadi
57
3.7– rasm. Matlab dasturida natijani grafik ko‘rinishda taqqoslash
Grafik natijalarni taqqoslash bilan birga qiymatlarni ham transponerlash
orqali taqqoslash mumkin. Buning uchun bosmaga chiqarilayotgan natijadan keyin
apostrf ( ’ ) belgisini qo‘yish kerak. Masalan natija = [f’ y’ abs(f-y)’] shunda
bosmaga ustun bo’yicha emas qator bo’yicha natija chiqadi. Natijalarni quydagi
ko’rinishda olish mumkin.
3.8– rasm. Matlab dasturida natijalarni transponerlash.
Agar siz dasturda ishlash davomida kasr sonlar yoki ratsional sonlar bilan
ishlashga to‘g‘ri kelsa Command Window oynasiga format rat buyrug‘ini
kiritib Enter tugmasini bossangiz natijani ratsional ko‘rinishda chiqaradi. Natural
ko‘rinishga qaytish uchun format buyrug‘i va Enter tugmasi bosiladi.
58
3.9– rasm. Matlab dasturida natijalarni kasr ko‘rinishda olish.
Dasturdan foydalanish vaqtida natijalar oynasida keraksiz va foydalanib
bo‘lingan qiymatlar ko‘payib ketganda ularni o‘chirishga to‘g‘ri keladi. Bu ishni
esa Command Window oynasiga sichqonchaning o‘ng tugmasi bosiladi va Clear
Command Window buyrug‘i ustiga bosiladi.
Matlab dasturida bajarilgan ishlar va o‘chirilgan buyruqlarni qayta tiklash
va kerakli bo‘lgan bajarilgan buyruqlarni chaqirib olish uchun buyruqlar tarixi
bilan ishlash katta samara beradi. Bu dasturchining ish unumini va oldin ishlagan
dasturlarni qayta taxrirlash uchun ketadigan vaqtini tejaydi.
3.10– rasm. Matlab dasturida buyruqlar tarixi bilan ishlash.
Matlab dasturida bajarilgan ishlar tugatilgandan so‘ng natijani saqlash kerak
bo‘ladi. Buning uchun File – Save amallari ketma – ket bajariladi. Shundan so‘ng
dasturga nom beriladi va saqlanish formati va joyi ko‘rsatiladi.
59
3.11– rasm. Matlab muhitida natijalar va dasturni saqlash.
3.2. Matlab tizimida signallarni approksimatsiyalashning
dasturiy qismini tashkil etish
Endi esa bu algoritmlarni ishlash jaroyonini ko’rib chiqamiz. Buning uchun
matlab dasturidan foydalanamiz va matlab dasturining quydagi oynasini ochib
olamiz.
3.12 -rasm. Matlab dasturining daslabki ko’rinishi.
Keyin esa kerakli algoritmni Editor-Untitlet oynasiga tashlaymiz.
60
3.13-rasm.Ishchi oynasi
Kiruvchi signallarni identifikatsiyalashning aniq tugunlardagi Lagranj
interpolyasiyalash formulasi yordamida amlaga oshirish qo’yidagi tartibda amalaga
oshiriladi:
1) Interpolyatsiyalsh oralig’i keltiriladi bunda biz bu oralig’ni qo’yidagicha
keltiramiz;
a=0.0; b=1.0;
2) Vektor interpolyatsiyalsh nuqtalarini aniqlaymiz buni biz Matlab tizimida
qo’yidagicha amalga oshiramiz.
x=[0 0.1 0.2 0.3 0.35 0.6 0.7 0.9 0.95 1];
3) Funksiya interpolyatsiyasining qiymatlarini tasodifiy qiymatlari
yordamida qo’yidagicha aniqlaymiz.
y=[];
for i=1:length(x)
y=[y randn];
end
3) Interpolyatsiyalash oralig’ining qadimini keltiramiz.
xv=a:0.01:b;
4) Yaratilgan sikl yordamida Lagranj interpolyatsiyasining qiymatlari
hisoblanadi.
for i=1:length(xv)
yv(i)=lagrange(x,y,xv(i),a,b);
end
5) Quyidagi funksiya yordamida Lagranj polinomi chiziladi.
plot(x,y,'*',xv,yv);
61
6) Quyida keltirilgan funksiya orqali Lagranj polinomining qiymatlari
hisoblanadi.
function yz=lagrange(x,y,xz,a,b)
L=0;
for i=1:length(x)
numerator=1.0; denumerator=1.0;
for j=1:length(x)
if i~=j
numerator=numerator*(xz-x(j));
denumerator=denumerator*(x(i)-x(j));
end
end
L=L+(numerator/denumerator)*y(i);
end
yz=L;
3.14-rasm. Signalni Lagranj formulasi yordamida interpolyatsiyalash
Kubik splaynlar yordamida signalni interpolyatsiyalash qo’yidagicha amalga
oshiriladi.
1) Interpolyatsiya vektor nuqtalarini quyidagi ko’rinishda aniqlanadi.
x=0:0.025:1; qadamni o’rnatish
y=[];
for i=1:length(x) sikl chegarasi
y=[y randn]; tasodifiy sonlar bilan to’ldirish
end
62
2) Oraliq interpolyatsiyani kiritish.
xv=0:0.001:1.0;
3) Matlabning standart prosedurasiga murojaat qilamiz.
yv=interp1(x,y,xv,'cubic');
4) Splaynni chizish.
plot(x,y,'*',xv,yv);
3.15-rasm. Kubik splayn yordamida interpolyatsiyalash
63
3.16-rasm. Splayn interpolyatsiyalashni Matlab muhitining standart prosedurasi
bilan solishtirish
Eng kichik kvadratlar usuli yordamida signallarni approksimatsiyalash
jarayonini Matlab tizimining polyfit funksiyasini qo’llagan holda kiruvchi
ma’lumotlarga polinom yordamida yaqinlashish hamda polyval funksiyasini
qo’llagan holda natijani vizuallashtirish va yaqinlashish xatoligini aniqlaymiz.
Bir necha turdagi uzluksiz funksiyaga yaqinlashishning usullaridan biri
polinomli yaqinlashishning eng kichik kvadratlar usulidir. Ma’lumotlar to’plami
uchun qo’yidagi ifoda urinli bo’lib:
N chi darajali polinomni toppish talab qiladi.
Uning koeffisiyentlari qo’yidagi minimizatsiya masalasini yechadi.
64
Eng kichik kvadratlar usuli yordamida signalni approksimatsiyalashni
bir nechta usulda ko’rib chiqamiz.
1-usul
1) N ta nuqtaninig sonini aniqlash.
N=11;
2) Teng o'lchovli setka ko'rinishida approksimatsiyalash funksiyasining
argumentlarini sikl yordamida aniqlaymiz.
for i=1:N
x(i)=(i-1.0)/(N-1);
end
3) Tasodifiy sonlar yordamida approksimatsiyalovchi funksiyanining
qiymatlarini modellashtiramiz.
y=[];
for i=1:length(x)
y=[y randn];
end
4) Skalyar ko'paytirishning vesini 1 qilib olamiz.
ro=ones(size(x));
5) n ta keltirishning noma'lum koeffitsientlari sonini aniqlash.
n=10;
6) n-1 darajali approksimatsiyalanuvchi polinomi eng kichik kvadratni usulida
qurish.
sp=spap2(1,n-2,x,y,ro);
7) approksimatsiaylanuvchi polinomni chizish.
fnplt(sp);
hold on;
plot(x,y,'-*');
65
3.17-rasm. Eng kichik kvadratlar usuli yordamida kiruvchi signalni
approksimatsiyalash
2-usul
1) x va y massivlarda berilgan qiymatlarga polinomning 1chi, 3chi, 5chi
darajalari bo’yicha yaqinlashish qiymatlarini topamiz. Buning uchun
tizimga 2 ta x va y massivni kiritamiz.
x = [0.1 0.3 0.45 0.5 0.79 1.1 1.89 2.4 2.45];
y = [-3 -1 0.9 2.4 2.5 1.9 0.1 -1.3 -2.6];
2) Kiruvchi argumentlar uchun polyfit funksiyasini qo’llab 1ch, 3ch, 5chi
darajalar uchun koeffitsiyentlarini topamiz.
>>p1 = polyfit(x, y, 1)
p1 =
-0.6191 0.6755
>> p3 = polyfit(x, y, 3)
p3 =
2.2872 -12.1553 17.0969 -4.5273
>> p5 = polyfit(x, y, 5)
p5 =
-6.0193 33.9475 -62.4220 35.9698 4.7121 -3.8631
va bundan polinom ko’phadlarini topamiz.
66
Ushbu polinomlarning grafigini chizish uchun qo’yidag ketma-ketliklardan
foydalanamiz.
>> xx = linspace(x(1), x(end), 100);
>>yy1 = polyval(p1, xx);
>> yy3 = polyval(p3, xx);
>> yy5 = polyval(p5, xx);
>> plot(x, y, 'o', xx, yy1, xx, yy3, xx, yy5)
>> legend('DATA', '{\itp}^{(1)}({\itx})', '{\itp}^{(3)}({\itx})',
'{\itp}^{(5)}({\itx})',-1)
3.18-rasm. 1,3,5 darajali polinom grafigi
Polinom grafigining berilgan nuqtalardan qanchalik uzoqligini ya’ni qanchalik
yaqinlashish xatoligi bilish uchun ikki argumentli polyfit funksiyasini chaqiramiz.
Birinchi argument qurilgan polinom koeffisiyentlari, ikkinchisi esa yaqinlashish
xaqidagi axborot strukturasi. Masalan:
>> [p3, S3] = polyfit(x, y, 3)
p3 =
2.2872 -12.1553 17.0969 -4.5273
67
S3 =
R: [4x4 double]
df: 5
normr: 1.7201
Bu erda norm o’rta kvadratik norma xatoligi sanaladi quyidagi formula singari.
Yoki Eng kichik kvadratlar usuli bo’yicha
polinomli yaqinlashishni 4 darajasini quyidagicha keltirish ham mumkin.
x = [51 52 53 54 55 56 57];
y = [1.2 3.4 2.9 4.4 4.5 5.1 4.2]
[p, S, mu] = polyfit(x, y, 4)
xx = linspace(x(1), x(end), 200);
yy = polyval(p, xx, [], mu);
plot(x, y, 'o', xx, yy)
3.19-rasm. 4 darajali polinom grafigi
68
Bundan ko’rinib turibdiki, Interpolyatsiyalash usullarini signallarni vaqt
sohasida qayta ishlash ya’ni implusli shumlarni filtrlashda ayniqsa eng kichik
kvadratlar usuli juda yaxshi natijalarni beradi. Bundan tashqari Matlab muhitida bu
usullarni hisoblash qulay,oson va tez amalga oshiriladi.
69
3.3 Hayot faoliyati xavfsizligi masalalari
Barcha sohalarda elektr energiyasidan keng ko’lamda foydalanish yo’lga
qo’yilganligi sabali elektr toki ta’sirida ro’y berishi mumkin bo’lgan baxtsiz
hodisalar va ulardan saqlanish masalalari muhim masalalar qatoriga kirib
bormoqda. Elektr toki ta’sirining yeng xavfli tomoni shundaki, bu xavfni oldindan
sezish imkoni yo’q. Shuning uchun ham elektr toki xavfiga qarshi tashkiliy va
texnik chora tadbirlar belgilash, to’siq vositalari bilan ta’minlash, shaxsiy va
kollektiv muhofaza tizimlarini o’rnatish nihoyatda muhim. Umuman elektr toki
ta’siri faqat birgina biologik ta’sir bilan chegaralanib qolmasdan, balki elektr yoyi
ta’siri, magnit maydoni ta’siri va statik elektr ta’sirlariga bo’linadiki, bularni bilish
har bir kishi uchun kerakli va zaruriy ma’lumotlar jumlasiga kiradi [16].
Elektr tokidan inson organizmida termik ya’ni issiqlik, elektrolitik va
biologik ta’sir kuzatiladi. Elektr tokining termik ta’siri inson tanasining ba’zi
uchastkalarida kuyish, qon tomirlari, nerv va xujayralarning qizishi sifatida
kuzatiladi. Elektrolitik ta’sir esa, qon tarkibidagi yoki xujayralar tarkibidagi
tuzlarning parchalanishi natijasida qonning fizik va kimyoviy xususiyatlarini
o’zgarishiga olib keladigan holat tushuniladi. Bunda elektr toki markaziy nerv
sistemasi va yurak sistemasini kesib o’tmasdan tananing ba’zi bir
uchastkalaridagina ta’sir ko’rsatishda ro’y beradi [16] .
Elektr tokining biologik ta’siri bu tirik organizm uchun xos bo’lgan
xususiyat hisoblanadi. Bu ta’sir natijasida inson organizmidagi tirik xujayralar
muskullarning keskin qisqarishi natijasida to’lqinlanadi, bu asosan organizmdagi
bioelektrik jarayonlarning buzilishi natijasida ro’y beradi. Ya’ni inson organizmi
asosan bioelektrik toklar yordamida boshqariladi. Bunga tashqi muhitdan yuqori
kuchlanishdagi elektr tokining ta’siri, bu biotoklar rejimini buzib yuboradi va
buning natijasi sifatida inson organizmida tok urish hodisasi vujudga keladi. Ya’ni
boshqarilmay qolgan organizmda hayot faoliyatining ba’zi bir funksiyalari
bajarilmay qoladi: nafas olih tizimlarida ishlarning buzilishi, qon aylanish
sistemasining ishlamay qolishi va hokazo.
70
Elektr tokining inson organizmida ta’sirining xilma-xilligidan kelib chiqib,
umuman elektr ta’sirini 2 guruhga bo’lib qarash mumkin: mahalliy elektr ta’siri va
tok urishi.
Mahalliy elektr ta’siriga elektr ta’siri natijasida kuyib qolish, elektr
belgilari hosil bo’lishi, terining metallashib qolishi hollarini ko’rsatish mumkin.
Elektr ta’siridan kuyish, asosan organizm bilan elektr o’tkazgich o’rtasida
volta yoyi hosil bo’lganda sodir bo’ladi. Elektr o’tkazgichdagi kuchlanishinig
ta’siriga qarab bunday kuyish turlicha bo’lishi umukin. Yengili faqat yallig’lanish
bilan chegaralanishi, o’rtacha og’irlikdagi kuyish pufakchalar hosil bo’lishi va
og’ir kuyish - xujayra va terilarning ko’mirga aylanishi bilan o’tib, og’ir
asoratlarga olib kelishi mumkin. Elektr belgilari-bu terining ustki qismida aniq
kulrang yoki och-sarg’ish rangli 1-5 mm diametrdagi belgi paydo bo’lishi bilan
ifodalanadi. Bunday belgilar odatda xavfli emas. Terining metallashib qolishi ham
odatda erib mayda zarrachalarga parchalanib ketgan metall teri ichiga kirib qoladi.
Bu holat ham elektr yoyi hosil bo’lganda ro’y beradi. Ma’lum vaqt o’tgandan
keyin bu teri ko’chib tushib ketadi va hech qanday asorat qoldirmaydi.
Elektr urishi (yoki tok urishi deb ham yuritiladi) to’rt darajaga bo’lib
qaraladi.
I-muskullar keskin qisqarishi natijasida odam ta’siridan chiqib ketadi va
hushini yo’qotmaydi.
II-muskullar keskin qisqarishi natijasida odam hushini yo’qotadi, ammo
yurak va nafas olish faoliyati ishlab turadi.
III-hushini yo’qotib, nafas olish tizimi yoki yurak urishi to’xtab qoladi.
IV-klinik o’lim holati, bunda insonda hech qanday hayot alomatlari
ko’rinmay qoladi.
Klinik o’lim holati bu hayot bilan o’lim orasidagi ma’lum oraliq bo’lib,
ma’lum vaqtgacha inson ichki imkoniyatlar hisobiga yashab turadi. Bu vaqtda
unda hayot belgilari: ya’ni nafas olish, qon aylanish bo’lmaydi, tashqi ta’sirlarga
farqsiz bo’ladi, og’riq sezmaydi, ko’z qorachig’i kengaygan va yorug’likni
71
sezmaydi. Ammo bu davrda hali undagi hayot butunlay so’nmagan, xujayralarda
ma’lum modda almashinuv jarayonlari davom etadi va bu organizmning minimal
hayot faoliyatini davom ettirishga yetarli bo’ladi, shuning uchun tashqi ta’sir
natijasida hayot faoliyatini yo’qotgan organizmning ba’zi bir qismlarini tiklash
natijasida uni hayotga qaytarish imkoniyati bor. Klinik o’lim holati 5-8 minut
davom etadi. Hech qanday yordam bo’lmagan taqdirda eng oldin bosh miya
qobig’idagi xujayralar parchalanadi va klinik o’lim holati biologik o’lim holatiga
o’tadi.
Biologik o’lim – qaytarib bo’lmaydigan jarayon bo’lib, organizmdagi
biologik jarayonlar butunlay to’xtashi bilan xarakterlanadi, shuningdek
organizmdagi oqsil strukturalari parchalanadi. Bu klinik o’lim vaqti tugagandan
keyin ro’y beradi. Tokning inson organizmiga ta’siri bir necha omillarga bog’liq.
Asosiy omillardan biri insonga tok ta’sirining davomliligi, ya’ni odam tok
ta’sirida qancha ko’p qolib ketsa, u shuncha ko’p zararlanadi. 2-omil sifatida odam
organizmining shaxsiy xususiyatlari va shuningdek tokning turi va chastotasi katta
rol o’ynaydi.
Inson organizmining tok ta’sirida ma’lum qarshiligi, shuningdek tokning
kuchlanishi ma’lum ta’sir darajasini belgilaydi, chunki inson organizmining
qarshiligi o’zgarmagan holda, kuchlanish ko’payishi natijasida organizmdan oqib
o’tgan tok miqdori oshib ketadi.
Inson organizmining qarshiligi teri qalinligi va ichki organlar qarshiliklari
yig’indisi sifatida olinadi.
Organizm ichki organlarining qarshiligi uncha katta emas. Odamning quruq,
zararlanmagan terisi 2000 dan 20000 Om gacha va undan yuqori qarshilikka ega
bo’lgani holda, namlangan, zararlangan teri qarshiligi 40-5000 Om qarshilikka ega
bo’ladi va bu qarshilik inson ichki organlari qarshiligiga teng hisoblanadi.
Aytilganlarni hisobga olgan holda umuman texnik hisoblar uchun inson organizmi
qarshiligi 1000 Om deb qabul qilingan.
72
Inson organizmi orqali oqib o’tgan tokning miqdori uning asoratini
belgalaydi, ya’ni oqib o’tgan tok qancha katta bo’lsa, uning asorati ham shuncha
katta bo’ladi.
Inson organimzmi orqali 50 Gs li sanoat elektr tokining 0,6-1,5 mA oqib
o’tsa, buni u sezadi va bu miqdordagi tok sezish chegarasidagi elektr toki deb
ataladi.
Agar inson organizmi orqali oqib o’tgan tokning miqdori 10-15 mA ga
yetsa, unda organizmdagi muskullar tartibsiz qisqarib, inson o’z organizmi
qismlarini boshqarish qobiliyatidan mahrum bo’ladi, ya’ni elektr toki bo’lgan
simni ushlab turgan bo’lsa, panjalarini ocha olmaydi, shuningdek unga ta’sir
ko’rsatayotgan elektr simini olib tashlayolmaydi. Bunday tok chegara miqdordagi
ushlab qoluvchi tok deyiladi.
Sun’iy nafas oldirish jarohatlangan kishini tok ta’siridan qutqazibolish bilan,
uning holatini aniqlash bilanoq boshlanishi kerak. Sun’iy nafas oldirish “og’izdan-
og’ziga” deb ataluvchi usul bilan, ya’ni yordam ko’rsatuvchi kishi o’z o’pkasini
havoga to’ldirib, jarohatlangan kishi og’ziga havoni haydaydi. Odam o’pkasidan
chiqqan havo, 2-odam o’pkasi ishlashi uchun yetarli miqdorda kislorodga ega
bo’lishi aniqlangan. Bu usulda jarohatlangan kishi chalqancha yotkiziladi, og’zi
ochib tozalanadi, havo o’tish yo’lini tozalash uchun boshini bir qo’li bilan
dahanidan tortib, dahanini bo’yni bilan taxminan bir chiziqqa keltiriladi. Shundan
keyin ko’krak qafasini to’ldirib nafas olib, kuch bilan bu havoni jarohatlangan
kishinig og’zi orqali puflanadi. Bunda yordam ko’rsatayotgan kishi og’zi bilan
jarohatlangan kishining og’zini butunlay berkitishi va yuzi yoki panjalari
yordamida uning burnini berkitishi kerak.
Shundan keyin yordam ko’rsatuvchi boshini ko’rsatib yanya o’pkasini
havoga to’ldiradi. Bu vaqtda jarohatlangan kishi passiv ravishda nafas chiqaradi.
Bir minutda taxminan 10-12 marta puflashni doka, dastro’mol va trubka
orqaliham bajarish mumkin. Agar jarohatlangan kishi mustaqil nafas olishini
tiklagan taqdirda ham sun’iy nafas oldirishni uning nafas olishiga bemor o’ziga
73
kelgunicha davom ettiriladi.Yurakni tashqaridan massaj qilishi jarohatlangan kishi
organizmidagi qon aylanish funksiyasini sun’iy ravishda tiklab turish maqsadida
amalga oshiriladi.
74
Xulosa
Ushbu bitiruv malakaviy ishda Matlab tizimida signallarni
identifikatsiyalashda interpolyatsiyalash va polinomli approksimatsiyalash
usullarini qo’llash Signallarga spektrial ishlov berishning tezkor algoritmlari va
dasturiy vositasini yaratish va dasturini tahlil qilish, o’rganish va amaliyotga
qo’llash bo’yicha masalalar qaraladi. Bitiruv malakaviy ishda qo’yilgan ushbu
masalaning yechimini olish uchun qo’yidagilar amalga oshirildi:
1. Interpolyatsiyalshning nazariy asoslarini o’rganildi.
2. Aniq tugunlardagi interpolyatsiyalsh usullari(Lagranj interpolyatsiyalsh
funksiyasi, Nyuton interpolyatsiyalsh funksiyasi)ni o’rganildi.
3. Tugunlarga yaqinlashish interpolyatsiyasi usullari(eng kichik kvadratlar
usuli, kubik splaynlar) ni o’rganildi.
4. Matlab tizimini tizimi o’rganildi.
5. Bu yuqorida keltirilgan sonli usullarni hisoblashda Matlab tizimining
imkoniyatlaridan foydalanish va bu usullarni signallarga raqamli ishlov
berish masalalariga qo’llash
6. Yuqorida keltirilgan algoritmlarining dasturiy vositasi Matlab tizimida
yaratildi.
Bugungi kunda tezkor rivojlanayotgan axborot kommunikatsiya
texnologiyalarini jamiyatning barcha sohalarida qo’llash ayniqsa real vaqt
tizimlarida, raqamli televedeniyada, videokonferensiyalarni tashkil etishda(auvdeo-
video signallarni qayta ishlash), video ko’zatuvlarni masofaga jo’natishda paydo
bo’ladigan implusli pomexlarni filtirlash juda muhim sanaladi. Masofaga
uzatilayotgan barcha axborotlar signal ko’rinishda ifodalanadi. Signallarni
masofaga jo’natishda yoki qabul qilishda signallarga vaqt sohasida dastlabki ishlov
berish (filtrlash, siqish) masalalarining sonli usullarini Matlab tizimining
imkoniyatlaridan foydalangan holda qayta ishlash uzatilayotgan axborotlarning
sifatini oshirishga xizmat qiladi.
-
75
Adabiyotlar ro’yxati
1. Karimov I.A. Bosh maqsadimiz – keng ko’lamli islohatlar va
modernizasiya yo’lini qat’iyat bilan davom ettirish: 2012-yilda mamlakatimizni
ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirish yakunlari hamda 2013-yilga mo’ljallangan
iqtisodiy dasturning eng mihim ustivor yo’nalishlariga bag’ishlangan O’zbekiston
Respublikasi VMning majlisidagi ma’ruza. –T.: O’zbekiston, 2013. -64 b.
2. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining Axborotlashtirish sohasiga oid
hujjatlari.
http://lex.uz/pages/?sort_id=3985.
3. Oliy ta’lim me’yoriy-huquqiy hujjatlar to’plami. 1-2-tom. Toshkent, «Niso
Poligraf» ShK bosmaxonasi, 2013.
4. Axborot va axborotlashtirishga oid normativ-huquqiy hujjatlar to’plami.
//To’plovchilar: A.I.O’ralov, M.I.Ishbekov, D.S.Sa’dullayev. –Toshkent, “Adolat”
nashriyoti, 2008. -464 b.
5. Aholini va hududlarni favqulotda vaziyatlardan himoyalash. O’quv
qo’llanma. GSChS, Toshkent, 2003.
6. Hayot faoliyati xavfsizligi. A. Qudratov, T. G’aniyev va boshqalar.
Toshkent, Aloqachi, 2005.
7. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер.
с. Англ./ Под ред. С.Я. Шаца.-М.: Связь, 1979. - 416 с.
8.Уидроу Б., Стириз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ-
М.: Радио и связь, 1989.- 440 с.
9. Айфичер, Эммануил С., Джервис, Барри У. Цифровая обработка
сигналов: Практический подход , 2-е издание.: Пер. с англ.- М.:
Издательский дом «Вильямс», 2004. – 992 с.
10. Р. Богнера, А. Константинидиса. Введение в цифровую фильтрацию:
Пер. с англ. – М.: Издательский дом «МИР», 1976 – 108 с.
11. Зверев В.А., Стомков А.А. Выделение сигналов из помех численными
методоми. Нижний Новгород. ИПФ РАН, 2001. 188 с.
76
12. Лэй Э. Цифровая обработка сигналов для инженеров и технических
специалистов: практическое руководство / Э. Лэй ; [перевод с англ.
ООО «Пропартнер», преводчик Соголюб Н.С.].- М.: ООО «Группа
ИДТ», 2007.-336 с.:
13. Поршнев С. Вычислительная математика. Учебное пособие. 5-94157-
400-2 . БХБ-Петербург. 320 с.
14. Флеянов М.Е. «Библия Delphi.» – СПб.: БХB - Петербург, 2004. – 880
стр.
15. Гофман В.Е., Хомоненко А.Д. «Delphi 6». – СПб, Петербург, 1152 стр.
16. Н.П. Корнейчук. Сплайны в теории приближения.-М.: Наука, Главная
редакция фпзико-математической литературы, 1984.— 352 с.
17. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н., Главная редакция физико-
математической литературы издательства «Наука», М., 1976, 248 стр.
18. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы.—
Новосибирск: Наука, 1983.
18. Половка А.М., Бутусов П.Н. Интерполяция. Методы и компьютерные
технологии их реализации.- СПб.: БХБ-Петербург, 2004. – 320 с.:ил.
19. Сибаров К.Г., Сколотнев Н.Н., Васин В.К., Начинаев В.Н. Охрана
труда в вычислительных центрах: учебное пособие, М.:
Машиностроение, 1995. – 342 с.
20. www.it-ebooks.info
21. http://www.dspa.ru
22. http://www.intuit.ru
23. http://www.ziyonet.uz
Maple Dasturi
Haqida
Qo’llanma
Xurshidjon Yunusov
3
Kirish
O„zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan ta‟lim sohasidagi islohatlar
respublikaning ravnaqini ta‟minlaydigan istiqboldagi rejalarini amalga oshirishda
muhim o„rin tutadi. Jamiyatning ijtimoiy – iqtisodiy, ma‟naviy – madaniy
taraqqiyotining asosi, bugungi kunda ta‟lim muassasalarida tahsil olayotgan
o„quvchi-talabalarning bilim darajasi va egallagan ko„nikmalariga bog„liq
ekanligini e‟tirof etmoqda. Hozirgi zamon yoshlari bilimi va tarbiyasi davr talabiga
javob beradigan hamda umuminsoniy ta‟lim-tarbiya shakl-tamoyillari bilan hamohang
bo„lishi zarur.
O„zbekiston Respublikasi Prezidenti Islom Karimovning 2001 yil Oliy Majlisning
5-sessiyasida so„zlagan nutqida: kompyuterlashtirish va axborot texnologiyalarini
ishlab chiqarishga, umumiy ta‟lim muassasalari va oliy o„quv yurtlari dasturlariga,
odamlarning kundalik turmushiga joriy etish bo„yicha O„zbekistonning yuksak
darajalarga erishishi yuzasidan aniq vazifalar belgilangan. «Qadrlar tayyorlash milliy
dasturi» va O„zbekiston Respublikasi Prezidentini «2001-2005 yillarda kompyuter va
axborot texnologiyalarini rivojlantirish, «INTERNET»ning xalqaro axborot tizimlariga
keng kirib borishini ta‟minlash dasturini ishlab chiqishni tashkil etish chora tadbirlari
to„g„risida»gi qarori, «Kompyuterlashtirishni yanada rivojlantirish va axborotkom-
munikatsiya texnologiyalarini joriy etish to„g„risida»gi farmoni ta‟lim jarayonini sifat
va samaradorligini oshirishga qaratilgan. Shu munosabat bilan, nafaqat umumta‟lim
maktablarda, o„rta maxsus, kasb-hunar ta‟limi va oliy ta‟lim muassasalarida, balki har
bir oilaning hayotida zamonaviy axborot va kompyuter texnologiyalari, raqamli hamda
keng formatli telekommunikatsiya aloqa vositalari, Internet tizimini tatbiq etish,
o„zlashtirish yanada rivojlanmoqda. Hozirgi texnika rivojlangan asrda hayotimizni
axborot texnologiyalarisiz tasavvur etish qiyin. Axborot texnologiyalari rivojlangan
davrda kompyuter texnologiyalari yordamida darslarni o„tkazish o‟quvchilarni darsda
befarq bo„lmaslikka, mustaqil fikrlash, ijod etish va izlanishga majbur etishi,
kompyuter savodxonligini oshirish hamda o„zi tanlagan
4
kasbiga bo„lgan qiziqishlarini kuchaytirish bugungi kunning dolzarb
masalalaridandir.
Ushbu metodik qo‟llanma matematika fanlarida kompyuter
texnologiyalarining matematik paket dasturlaridan foydalanishga qaratilgan.
Hozirgi vaqtda ko‟plab matematik paketlar yaratilgan va ulardan keng
foydalanilmoqda. Ulardan eng ko‟p tarqalganlari – bu Maple, Matlab,
Mathlab,MicroSoft matematice,Derive, Eureka, Mathematika, Maple paketlari
hisoblanadi. Bu paketlar ko‟p funksional paketlar hisoblanadi.
Bugungi kunda matematik paketlarning o‟quv jarayonidagi o‟rni va roli
ancha sezilarli va samaraliroqdir. O‟quvchi-talabalarda matematik paketlardan
foydalanish ko‟nikmalari va malakalarini shakllantirish matematika va informatika
fanlarining asosiy komponentalaridan biridir. Murakkab matematik
masalalarni yechishni osonlashtirish orqali matematikani o‟rganishda asabiy
siqilishni oldini oladi hamda uni qiziqarli va juda oddiy jarayonga aylantiradi.
Dars jarayonida Axborot kommunikatsiya texnologiyalarining matematik
paket dasturlaridan foydalanishning yutuqlari
Ta‟lim oluvchilarning mashg„ulotlardagi faollashuvi va bundan kelib
chiqib bilim olish samarasining oshishi;
O„qituvchi va ta‟lim oluvchi vaqtdan to„g„ri va unumli foydalanishi;
Barcha oliy o„quv yurtlar adabiyotlar bilan ta‟minlanadi va ular asosida
bilim olish imkoniyati yaratiladi;
Kompyuter yordamida dars jarayoni davomida nazariyani amaliyotga
bog„lab olib borishiga sharoit yaratilishi;
Yangi mavzuning keng xajmda o„rganilishi va o„zlashtirish
samaradorligining oshishi;
Axborotning tez-tez yangilanib turishi;
Ta‟lim oluvchilarning bilim darajalarini har tomonlama va majmuali
tekshirib ko„rishi imkoni mavjudligi;
Ta‟lim oluvchilarning faolligi oshib, fanga, ilmga bo„lgan e‟tibori va
5
qiziqishining kuchayishi;
Amaliy ish topshiriqlariini ilmiy-amaliy tekshirib ko„rishi va vazifani
bajarishga ijodiy yondashishi.
Ta‟lim oluvchining o„zini qiziqtirgan savollarga javob topishga harakat
qilishi, ilmiy izlanishi va ijodiy yondashishi.
Bilimi past ta‟lim oluvchilarning bilimdon ta‟lim oluvchilarga ergashishi;
O„qituvchining muammolarni yechish ko„nikmalariga, vaziyatni tezda
baholay olish, hozirjavob bo„lish ko„nikmalariga ega bo„lishni talab
etishi;
Mustaqil fikrlay oladigan Ta‟lim oluvchilarning shakllanishiga yordam
berishi;
Maple paketining asosiy maqsadi va uning imkoniyatlari.
Maple muhiti 1980 yilda Waterloo, Inc (Kanada) firmasi tomonidan
yaratilgan. Bugungi kunda uning quyidagi versiyalari mavjud: Maple 5, Maple 6,
Maple 7 va hokoza.
Maple da belgili ifodalashlar bilan ishlash uchun asosiysini sxema yadrosi
tashkil qiladi. U belgili ifodalashlarning yuzlab bazaviy funksiya va
algoritmlaridan iborat. Shu bilan birga operator, buyruq va funksiyalarning asosiy
kutubxonasidan iborat.
Umumiy hisobda Maple 5 da 2500 ta, Maple 6 da 2700 ta, Maple 7 da 3000
ga yaqin funksiyalar mavjud. Bu shu narsani anglatadiki, ko‟plab masalalarni
sistema bilan to‟g‟ridan-to‟g‟ri muloqot tarzida yechish mumkin bo‟ladi.
Maple dasturlashsiz katta hajmdagi masalalarni yechish imkoniyatiga ega.
Faqat masalalarni yechish algoritmini yozish va uni bir necha bo‟laklarga bo‟lish
kerak. Bundan tashqari yechish algoritmlari funksiya va sistema buyruqlari
ko‟rinishida hal qilingan minglab masalalar mavjud. Maple uch xil shaxsiy tilga
ega: kirish, hal qilish va dasturlash. Maple matematik va injener-texnik
hisoblashlarni o‟tkazishga mo‟ljallangan dasturlashning integrallashgan tizimi
6
hisoblanadi. U formula, son, matn va grafika bilan ishlash uchun keng imkoniyatli
tizimdir.
Paket foydalanish uchun ancha qulaydir. Uning interfeysi shunchalik qulay
qilinganki, undan foydalanuvchi dastur varag‟i bilan xuddi qog‟oz varag‟i singari
ishlaydi. Unga sonlar, formulalar, matematik ifodalar va hokozalarni yozadi.
Maple tizimi matn muharriri, kuchli hisoblash va grafik prosessoriga ega.
Matn muharriri matnlarni kiritish va muharrirlash uchun ishlatiladi. Matnlar
izohlardan iborat bo‟lib unga kiritilgan matematik ifodalar bajarilmaydi. Matn
so‟zlar, matematik ifoda va formulalar, maxsus belgilar va hokozalardan iborat
bo‟lishi mumkin. Maplening asosiy xususiyati matematikada umumiy qabul
qilingan belgilarning ishlatilishidadir.
Hisoblash prosessori keng imkoniyatga ega. U murakkab matematik
formulalar boyicha hisoblashlarni bajaradi. Ko‟plab matematik funksiyalarga ega
bo‟lish bilan birga, qatorlar, yig‟indi, ko‟paytma, hosila va aniq integrallarni
hisoblash, kompleks sonlar bilan ishlash, hamda chiziqli va chiziqli bo‟lmagan
tenglamalarni yechish, vektor va matrisilar ustida amallar bajarish imkoniyatini
yaratadi.
Grafik prosessor gafiklar yaratish va uni ekranga chiqarish uchun ishlatiladi.
Grafik prosessor foydalanuvchini grafik vositalarining eng qulay va sodda
imkoniyatlari bilan ta‟minlaydi. Foydalanuvchi oddiy funksiyalarning grafigini
tizim bilan ishlashni boshlashdanoq chizishi mumkin. Tradision ko‟rinishdagi
grafik bilan birgalikda qutb grafiklari, fazoviy grafiklar, vektorli maydon
grafiklari va hokozolarni yasash mumkin. Grafik tipik matematik masalalarni
yechish uchun mo‟ljallangan. Shu bilan birga grafikni tez-tez o‟zgartirish, ularga
matnli yozuv-larni qo‟shish va uni hujjatni ixtiyoriy joyiga ko‟chirish imkoniyati
mavjud. Bitta ishchi sohaga matnni, grafikani va matematik hisoblashlarni
joylashtirish orqali Maple eng murakkab hisoblashlarni tushunishni ham
yengillashtiradi.
7
Maple dasturini ishga tushirish uchun:
Windows ning asosiy menyu buyruqlari ro„yhatidagi Programmi (Dasturlar)
guruhidan ushbu dasturga mos nom: Maple tanlanadi.
Maple oynasi Windows ning amaliy oynalariga hos bo„lib, unda Sarlavha satri,
Gorizontal menyu satri, Uskunalar paneli, Ish maydoni va Holat satri, hamda
Chizg‘ich va O„tkazish tasmalari mavjud bo„ladi.
Sarlavha satri, Gorizontal menyu satri va Uskunalar panelidan tarkib topgan
Maple oynasining qismining ko„rinishi:
Gorizontal menyu bo„limlari:
File (Fayl) fayllar bilan ishlovchi standart buyruqlar majmuidan tarkib
topadi, masalan: faylni saqlash, faylni yuklash, yangi faylni tashkil etish va x. k.
8
Edit (Pravka, Tahrirlash) matnlarni tahrirlovchi standart buyruqlar
majmuidan tarkib topadi, masalan: belgilangan matn qismini buferga nushalash
yoki o„chirish, buyruq bajarilishini bekor qilish va x. k.
View (Vid, Kо„rinishi) – Maple oynasi (ko„rinishini) tuzilishini boshqaruvchi
standart buyruqlar majmuidan tarkib topadi.
Insert (Vstavka, Qо„yish) – turli tipdagi maydonlarni qo„yish uchun hizmat
qiladi: matematik matnlar satri, ikki va uch o„lchovli grafiklar maydonlari.
Format (Format) – xujjatni formatlash (bezash) buyruqlaridan tarkib topadi,
masalan: shriftning stilini, o„lchamini va tipini o„rnatish.
Options (Parametri, Parametrlar) – ma‟lumotlarni kiritishning,
ekranga,bosmaga chiqarishning turli parametrlarini o„rnatish, masalan, Chop etish
sifatini belgilash.
Windows (Okno, Oyna) – bir ishchi varoqdan ikkinchi ishchi varoqqa o„tishni
tayminlaydi.slujit dlya perexoda iz odnogo rabochego lista v drugoy.
Help (Spravka, Yordam) – Maple haqidagi ma‟lumotlardan tarkib topadi.
Maple ishlash muloqat tarzda olib boriladi – foydalanuvchi matn (buyruqlar,
ifodalar, protseduralar) kiritadi, u Maple tomonidan qabul qilinadi va qayta
ishlanadi. Maple oynasining ish maydoni uch qismga bo„linadi:
1) kiritish maydoni – buyruqlar satri. Har bir buyruqlar satri > belgisi bilan
boshlanadi;
2) chop etish maydoni - kiritilgan buyruqlar bajarilishining natijalari analitik ifoda,
grafik obekt yoki hatolik haqidagi ma‟lumot ko„rinishida beriladi;
3) matnli izohlar maydoni – bajariluvchi protsedurani izohlovchi ixtiyoriy matn
bo„lishi mumkin. Matnli satrlan Maple tomonidan qabul qilinmaydi va qayta
ishlanmaydi.
Buyruqlar satridan matnli satrga o„tish uchun Uskunalar panelidan tugmacha
tanlanishi mumkin.
Matnli maydondan buyruqlar satriga o„tish uchun esa Uskunalar panelidan
tugmacha tanlanishi mumkin.
Matematik belgilarni kiritish palitra.
9
Matematik belgilarni kiritish uchun Palettes palitrasi royxatidan
foydalaniladi. Bu royxat View menyusida joylashgan. Royxatda quyidagilar
mavjud.
SYMBOL- alohida belgilarni kiritish (grek xarflar va ba‟zi matematik belgilar);
FESSION- matematik operatorlar va amallar shablonini kiritish;
MATRIX – turli o‟lchovdagi matrisalar shablonini kiritish;
VEKTOR – turli o‟lchovdagi vektorlar shablonini kiritish
Menyudan pastda joylashgan har bir tugmacha belgilar palitrasini ochish
uchun ishlatiladi. Bu palitralar operatorlar, grek harflari, grafiklar va boshqalarni
o‟rnatish uchun ishlatiladi.
Maple muhitining vositalar va shriftlar paneli.
Tugmachalar majmuasidan pastda – vositalar paneli joylashgan.
Menyuning ko‟plab buruqlarini tezroq ishga tushirish uchun vositalar panelining
tugmachalarini bosish kerak bo‟ladi. Har bir tugmachani bosish orqali nima amalga
oshirilishini bilish uchun, uning belgisi ustiga sichqoncha ko‟rsatkichi o‟rnatilsa
ma‟lumot satri paydo bo‟ladi.
Vositalar panelining to‟g‟rima - to‟g‟ri pastida shriftlar paneli joylashgan. U
tanlash shabloni va tugmachalardan iborat bo‟lib, tenglamalarda va matnda
shriftlar xarakteristikasini berish uchun ishlatiladi.
Oynaning o‟ng tomonida vertikal aylantirish uskunasi joylashgan bo‟lib, u
joriy holatda ekranda ko‟rinmay turgan ma‟lumotlarni ko‟rish imkonini beradi.
Ekranning ko‟rinib turgan sohasidan yuqori va pastki qismlarida nimalar borligini
ko‟rish uchun vertikal aylantirish uskunasining unga mos yo‟nalish belgisiga
sichqonchani qirsillatish yetarli bo‟ladi.
Oynaning quyi qismda gorizontal aylantirish uskunasi joylashgan bo‟lib, u
joriy holatda ekranning ishchi sohasining chap yoki o‟ng tomonida ko‟rinmay
turgan ma‟lumotlarni ko‟rish imkonini beradi. U vertikal aylantirish uskunasi kabi
ishlatiladi va undan farqi gorizontal aylantirish uskunasi chapdan o‟ngga yoki
o‟ngdan chapga yurgiziladi.
Muloqot tartibida Maple bilan ishlash asosi.
10
Sistema yuklangan va ishga tushirilgandan keyin matematik ifodalarni
yaratish va hisoblash uchun Maple muhiti bilan muloqotni bajarish mumkin.
Muloqot «savol berding, javob olding» ko‟rinishida olib boriladi. Savol va javoblar
chap tomonlari kvadrat qavslar bilan chegaralangan alohida bloklardan iborat
bo‟ladi. Kvadrat qavslarning uzunligi ifodalarning katta - kichikligiga bog‟liq.
> - muloqot belgisi. O‟chib yonuvchi vertikal chiziq – kiritish kursori
deyiladi.
Ifoda oxiriga quyiladigan (;) hisoblash natijasini ekranga chiqarish
kerakligini eslatadi ; (:) – ikki nuqta chiqarishni bekor qiladi, ya‟ni birnechta
ifodalarni bir satrga yozish yoki ularni bir-biridan ajratish uchun ishlatiladi.
Maple muhitida grek harflarni ham poligrafik usulda yozish mumkin .
Buning uchun buyruqlar satrida grek harfining nomi yoziladi.
Masalan, agar alpha deb terilsa α hosil bo‟ladi.
Grek harflarining jadvali va nomlari:
Matematik
kattaliklar
Maple dasturida
yozilishi
Matematik
kattaliklar
Maple
dasturida
yozilishi
α - alpha ι - ita,
β - beta κ - kappa
G - gamma λ - lambda
δ - delta μ - mu
ε - epsilon χ -xi
ζ - zeta π – pi
η - eta ρ - rho
θ - theta ξ - sigma
Izoh: Agar grek harflarining nomlari bosh harflarda terilsa bosh grek
harflari hosil bo’ladi, masalan, Ώ ni hosil qilish uchun Omega deb terish
kerak.
Matematik doimiylar va arifmetik amallar.
Asosiy matematik doimiylar:
Infinity (∞) cheksizlik - ayirish
+ Qo‟shish * ko‟paytirish
11
^ darajaga ko„tarish ! faktorial
/ Bo‟lish <, >, >=,<=, <>, =. Munosabat
belgilari
Maple muhitida quyidagi standart funksiyalardan foydalaniladi
Matematik yozuv Mapleda yozuv Matematik yozuv Mapleda yozuv
ex exp(x) cosecx csc(x)
lnx ln(x) arcsinx arcsin(x)
lgx log10(x) arccosx arccos(x)
logab log[a](x) arctgx arctan(x)
sqrt(x) arcctgx arccot(x)
abs(x) shx sinh(x)
sinx sin(x) chx cosh(x)
cosx cos(x) thx tanh(x)
tgx tan(x) cthx coth(x)
ctgx cot(x) secx sec(x)
1. Sonli qiymatlar bilan ishlash.
Maple muhitida sonlar haqiqiy (real) va kompleks (complex) bo‟ladi.
Kompleks sonlarning algebraik ko‟rinishi z=x+iy, buyruqlar satrida
quyidagicha yoziladi:
> z:=x+I*y;
Sonlar butun va rasional sonlarga bo‟linadi. Butun sonlar (integer) o‟nli
yozuvda raqamlar bilan ifodalanadi. Ratsional sonlar 3 xil ko‟rinishda berilishi
mumkin:
12
1) bo‟lish amalidan foydalangan holda rasional kasr ko‟rinishida, masalan: 28/70;
2) qo‟zg‟aluvchan vergulli (float), ko‟rinishida, masalan: 2.3; 3) daraja
ko‟rinishida, masalan: 1.602*10^(-19) yoki 1.602E-19 ko‟rinishdagi yozuv
1,602× 10-19 ni bildiradi.
Rasional sonlarni aniq ko‟rinishda emas, balki taqribiy qiymatini hosil qilish
uchun butun sonlarni haqiqiy sonlar ko‟rinishida yoish kerak bo‟ladi. Masalan: 1)
Quyidagini bajaring : > 75/4;
75
4
Endi shu ifodada 4 sonini haqiqiy son, ya‟ni 4.0 ko‟rinishida yozamiz.
Natijani kuzating.
> 75/4.;
18.75000000
2)
678
34
345 ni hisoblang.
> 345-34/678;
116938
339
Bu yerda endi 34 sonini haqiqiy son , ya‟ni 34.0 ko‟rinishida yozamiz.
> 345-34./678;
344.9498525
Prosent (%) belgisi oldingi buyruqni chaqirish vazifasini bajaradi. Bu belgi
yozuvni qisqartirish uchun va oldingi buyruqni tezroq almashtirish maqsadida
ishlatiladi. Masalan:
> a+b;
a+b
> %+c;
a+b+c.
. Quyidagini tering: sqrt(5-sqrt(4)); va Enter tugmachasini bosamiz.
Natija hosil bo‟ladi:
13
Sonlar ustida amallar :
Matematik
yozilishi
Maple dasturida
yozilishi
Natija
7-10 > 7-10; -3
6 8 > 6*8; 48
45 9 45/9; 5
7-0.2+8 7-1/5+8*12 514/5
0.5 5.2+48.6 1/2*5.2+48.6 51.20000000
20! factorial(20); 2432902008176640000
Hisoblashlar:
1-misol: Sonning EKUB hisoblang:
Sonning eng katta umumiy bo‟luvchisini hisoblash uchun Maple dasturida igcd
buyrug‟i kiritiladi.
Masalan:
1) igcd(36,48); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 12
2) igcd(36,48); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 5
3) igcd(16,24,48); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 8
4) igcd(16,24,48,90); Enter tugmasi bolsiladi va natija:2
Sonning eng kichik umumiy karralisini hisoblash uchun Maple dasturida lcm
buyrug‟i kiritiladi.
Masalan:
1) lcm (10,15); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 30
2) lcm (620,550); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 34100
3) lcm (20,50,150); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 300
4) lcm (15,50,180,200); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 1800
14
Sonning tub ko„paytuvchilarga ajratish uchun Maple dasturida ifactor buyrug‟i
kiritiladi.
Masalan:
1) ifactor (54) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 21 3
2) ifactor (620); Enter tugmasi bolsiladi va natija: (2)2*(5)1*(31)
3) ifactor (150); Enter tugmasi bolsiladi va natija: (2)*(3)*(5)2
4) ifactor (2000 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija: (2)4*(5)3;
Bо„linmani hisoblash uchun Maple dasturida iquo buyrug‟i kiritiladi.
Masalan:
1) iquo (54,6) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 9
2) iquo (45,7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 6
3) iquo (150,30); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 5
4) iquo (2000,150 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija:13
Qoldiqni hisoblash uchun Maple dasturida irem buyrug‟i kiritiladi.
Masalan:
1) irem (54,6) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 0 (qoldiqsiz bo‟linadi)
2) ) irem (45,7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: qoldiq 3 ga teng
3) irem (150,30); Enter tugmasi bolsiladi va natija: qoldiqsiz
4) irem (22,15 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija: qoldiq 7 ga teng
Berilgan sonining tub son ekanligini tekshirish uchun Maple dasturida isprime
buyrug‟i kiritiladi.
Masalan:
1) isprime (5) Enter tugmasi bolsiladi va natija: true (tub son)
2) isprime (45); Enter tugmasi bolsiladi va natija: false (murakkab son)
3) isprime (1359); Enter tugmasi bolsiladi va natija: false (murakkab son)
4) isprime (2203 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija: true (tub son)
15
Kavslarni ochish uchun Maple dasturida expand(y) buyrug‟i kiritiladi.
1) expand((x-1)*(x-2)+(x-5)); Enter tugmasi bolsiladi va natija: x2-2x-3
2) expand (45*(x+22)+(x-85); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 45x+905+x2
Oddiy kasrlarni о„nli kasr kо„rinishida yozish uchun Maple dasturida evalf
buyrug‟i kiritiladi.
1) evalf (54/6) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 9
2) evalf (45/7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 6.428571429
3) evalf (150*30/54); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 83.33333333
4) evalf (2000+150 /58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 34485.34483
Taqqoslash elementli funksiyalar “ Maple” dasturida quyidagicha bajariladi:
abs – sonning absolyut qiymati;
ceil – argumentdan katta yoki unga teng bo‟lgan eng kichik butun son;
floor – argumentdan kichik yoki unga teng bo‟lgan eng katta butun son;
frac – sonning kasr qismi;
trunc – yaxlitlangan son;
round – sonning yaxlitlangan qiymati;
Berilgan sonning modulini hisoblash uchun Maple dasturida abs buyrug‟i
kiritiladi.
1) abs (-5) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 5
2) abs (-45*7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 315
3) abs ((150*30)/(-54)); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 83.33333333
4) abs (20*(-15) /58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 150/29
Argumentdan katta yoki unga teng bo‟lgan eng kichik butun son hisoblash
uchun Maple dasturida ceil buyrug‟i kiritiladi.
1) ceil (-5.8); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -5
2) ceil (-4*5.7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -22
3) ceil ((-5*4)+4.5); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -15
4) ceil (5.58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 6
16
Sonning kasr qismi toppish uchun Maple dasturida frac buyrug‟i kiritiladi.
1) frac (-5.8); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 8
2) frac (-4*5.7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -8
3) frac ((-5*4)+4.5); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -5
4) frac (5.58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 58
2-misol . Quyidagi ifodaning qiymatini x=4 va y=9 da hisoblang:
> x:=4:y:=9:d:= sqrt(sqrt(x+y)+2*x^3);
d := 13128
Chiqarish satrida oldingi qiymatni hosil qilish uchun % va sonli qiymatni
hosil qilish uchun evalf(%); yoki evalf(ifoda); buruqlari ishlatiladi.
> evalf(%); 11.47194627
3-misol. s=2, d=1.4 da quyidagi ifodani qiymatini hisoblang:
c d .
c2. 2.c
c d
c d
c2 c.d
c2 c.d
Yechish:
> c:=2:d:=1.4:sqrt(c-d)/(c^2*sqrt(2*c))*(sqrt((c-d)/(c+d))+sqrt((c^2+c*d) /
(c^2-c*d)));
.2711630723
2. Arifmetik ifodalarni hisoblash
Maple muhitida arifmetik ifodalarni yozish va ularning qiymatlarini
hisoblash ham mumkin. Arifmetik ifodalarni belgilash va ularni qiymatini berish
uchun o‟zqaruvchilardan foydalaniladi. Maple muhitida o‟zgaruvchilar turi butun
(integet), rasional (rational), haqiqiy (real), kompleks (complex ) yoki satrli (string)
bo‟lishi mumkin.
17
O‟zgaruvchilarga nom beriladi. O‟zgaruvchilar nomi harflar, belgilar va
raqamlar ketma-ketligidan iborat bo‟lib, har doim harflardan boshlanishi lozim.
Nom 524275 ta belgidan oshib ketmasligi kerak. Masalan: AB, tenglama, Y11,
Var_1, Xmin, Ymax va boshqalar.
> A:=123; B:= „Salom‟
A:=123; B:= Salom
O‟zgaruvchi nomi sifatida xizmatchi so‟zlardan foydalanib bo‟lmaydi.
O‟zgaruvchilarga qiymat berish uchun : = belgisi ishlatiladi.
Masalan:
n:=3; x:=234.568; y:=17/19; d:= „Salom‟; W:=2*Pi/3;
V:= 1,2,3; M:= 1,2,3.4,5,6
Masalan:
a) Ifodani yozing :
> y:= a^2+b*x+d*c;
y := a2b xd c
b) a=2; b=4; c=5;x=6; d=7 qiymatlarda ifodani hisoblang
> a:=2:b:=4:c:=5:x:=6:d:=8:y:= a^2+b*x+d*c;
y := 68
Hisoblash jarayonida foydalanilgan o‟zgaruvchilar qiymatlarini bekor qilish
uchun restart; buyrug‟i ishlatiladi
Ifodalarni ayniy almashtirish
Maple da matematik formulalarni analitik almashtirishlarni o‟tka-zish uchun keng
imkoniyatlar mavjud. Ularga soddalashtirish, qisqartirish, ko‟paytuvchilarga
ajratish, qavslarni ochish, rasional kasrni normal ko‟ri-nishga keltirish va hokazo
shunga o‟xshash ko‟plab amallarni keltirish mumkin.
Almashtirish bajarilayotgan matematik formulalar quyidagicha yoziladi: >
y:=f1=f2; bu yerda y – ifodaning ixtiyoriy nomi, f1 – formulaning chap
tomonining shartli belgilanilishi, f2 – formulaning o‟ng tomonining shartli
belgilanilishi.
18
Ifodaning o‟ng tomonini ajratish rhs(ifoda) , chap tomonini ajratish lhs(eq)
buyrug‟i orqali bajariladi. Masalan:
> y:=a^2-b^2=c;
y : =a2-b2=c
> lhs(eq);
a2-b2
> rhs(eq);
s
a/b ko‟rinishida rasional kasr berilgan bo‟lsa, u holda uning surati va
maxrajini ajratish mos ravishda numer(ifoda) va denom(ifoda), buyruqlari
yordamida bajariladi. Masalan:
> f:=(a^2+b)/(2*a-b);
> numer(f);
a2+b
> denom(f);
2a-b
Ixtiyoriy ifodada qavslarni ochib chiqish expand (ifoda) buyrug‟i bilan amalga
oshiriladi. Masalan:
> y:=(x+1)*(x-1)*(x^2-x+1)*(x^2+x+1);
y := (x1) (x1) (x2x1) (x2x1)
> expand(y);
1x6
expand buyrug‟i qo‟shimcha parametrga ega bo‟lishi mumkin va u qavslarni
ochishda ma‟lum bir ifodalarni o‟zgarishsiz qoldirish mumkin.
Masalan, lnx +ex-y2 ifodaning har bir qo‟shiluvchisini (x+a) ifodaga
ko‟paytirish talab qilingan bo‟lsin. U holda buyruqlar satri quyidagini yozish kerak
bo‟ladi:
> expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a));
a b
a b
f
2
2
19
(xa) ln(x)(xa) ex(xa) y2
Maple muhitida ko‟phad sifatida quyidagi ifoda tushuniladi:
1 0
1
p(x) a x a 1x ... a x a
n
n
n
n
Ko‟phadlarning koeffisiyentlarini ajratish uchun quyidagi funksiyalar
ishlatiladi:
coeff(p, x) – ko‟phadda x oldidagi koeffisiyentni aniqlaydi;
coeff(p,x,n) - n-darajali had oldidagi koeffisiyentni aniqlaydi;
coeff(p,x^n) - ko‟phadda x^n oldidagi koeffisiyentni aniqlaydi;
coeffs(p, x, 't') – x o‟zgaruvchiga tegishli barcha o‟zgaruvchilar oldidagi
koeffisiyentni aniqlaydi.
Misollar.
> p:=2*x^2 + 3*y^3 - 5: coeff(p,x,2);
2
> coeff(p,x^2);
2
> coeff(p,x,0);
3 y35
> q:=3*a*(x+1)^2+sin(a)*x^2*y-y^2*x+x-a:coeff(q,x);
6 ay21
> s := 3*v^2*y^2+2*v*y^3;
s := 3 v2 y22 v y3
> coeffs( s );
3, 2
> coeffs( s, v, 't' );
2 y3, 3 y2
> t;
v, v2
lcoeff- funksiyasi ko‟phadning katta , tcoeff - funksiyasi kichik
koeffisiyentini aniqlaydi. Bu funksiyalar quyidagicha beriladi: lcoeff(p), tcoeff(p),
lcoeff(p, x), tcoeff(p, x), lcoeff(p, x, 't'), tcoeff(p, x, 't').
20
Misollar
> s := 3*v^2*w^3*x^4+1;
s := 3 v2 w3 x41
> lcoeff(s);
3
> tcoeff(s);
1
> lcoeff(s, [v,w], 't');
3 x4
> t;
v2 w3
degree(a,x);– funksiyasi ko‟phadning eng yuqori darajasini, ldegree(a,x);
– funksiyasi eng kichik darajasini aniqlaydi.
Misollar
> degree(2/x^2+5+7*x^3,x);
3
> ldegree(2/x^2+5+7*x^3,x);
-2
> degree(x*sin(x),x);
FAIL
> degree(x*sin(x),sin(x));
1
> degree((x+1)/(x+2),x);
FAIL
> degree(x*y^3+x^2,[x,y]);
2
> degree(x*y^3+x^2,{x,y});
4
> ldegree(x*y^3+x^2,[x,y]);
4
21
Ko‟phadlarni ko‟paytuvchilarga ajratish factor(ifoda) orqali amalga
oshiriladi. Masalan:
> p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;
p := x5x47 x3x26 x
> factor(p);
x (x1) (x3) (x2) (1x)
Ko‟phadlarning haqiqiy va kompleks ildizlarini topish uchun
solve(p,x); buyrug‟i ishlatiladi. Shu bilan birga quyidagi buyruqlar ham mavjud:
roots(p);, roots(p, K); , roots(p, x);, roots(p,x, K);.
Misollar
> p := x^4-5*x^2+6*x=2;
p := x45 x26 x2
> solve(p,x);
1, 1, 31, 1 3
> roots(2*x^3+11*x^2+12*x-9);
,
,
1
2 1 [-3, 2]
> roots(x^4-4);
[ ]
> roots(x^4-4,x);
[ ]
> roots(x^3+(-6-b-a)*x^2+(6*a+5+5*b+a*b)*x-5*a-5*a*b,x);
[[5, 1]]
> roots(x^4-4, sqrt(2));
[[ 2, 1], [ 2, 1]]
> roots(x^4-4, {sqrt(2),I});
[[I 2, 1], [I 2, 1], [ 2, 1], [ 2, 1]]
Kasrni normal ko‟rinishga keltirish uchun normal (ifoda) buyrug‟idan
foydalaniladi.
Masalan:
22
1) > f:=(a^6-b^6)/((a+b)*(a-b));
> normal(f);
2) > f:=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);
f := a
4 b4
(a2b2 ) a b
> normal(f);
a2b2
b a
3) f:=(a^8-c^8)/((a^2+c^2)*(a^2-c^2));
> normal(f);
Ifodalarni soddalashtirish simplify(ifoda) buyrug‟i orqali bajariladi.
Masalan:
> y:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):
> simplify(y);
2 cos(x)21
Ifodada o‟xshash hadlarni ixchamlash collect(y,var) buyrug‟i orqali amalga
oshiriladi, bu yerda y – ifoda, var – o‟zgaruvchi nomi.
simplify buyrug‟ida parametr sifatida qaysi ifodani almashtirish kerakligi
ko‟rsatiladi. Masalan, simplify(y,trig) buyruqning bajarilishida katta sondagi
trigonometrik munosabatlardan foydalanib soddalashtirishlar amalga oshiriladi.
Standart parametrlar quyidagicha nomlanadi: power – darajali
almashtirishlash uchun; radical yoki sqrt – ildizlarni almashtirishlar uchun; exp –
23
eksponentali almashtirish; ln – logarifmlarni almashtirish. Parametrlardan
foydalanish simplify buyrug‟ini samarali ishlashini oshiradi.
Darajali funksiyalar ko‟rsatkichlarini birlashtirish yoki trigonometrik
funksiyalar darajasini pasaytirish combine(y,param) buyrug‟i yordamida
bajariladi, bu yerda y – ifoda, param – qanday turdagi funksiyaga almashtirish
lozimligi ko‟rsatuvchi parametr, masalan, trig – triglnometrik uchun, power –
darajali uchun. Masalan:
> combine(4*sin(x)^3, trig);
sin(3 x)3 sin(x)
Faqat kvadrat ildiz, balki boshqa ildizlarga ega bo‟lgan ifodalarni
sodalashtirish uchun radnormal(ifoda) buyrug‟i ishlatiladi.
Masalan: 1)
sqrt(5+sqrt(8)+(5+6*sqrt(3))^(1/2))=radnormal(sqrt(5+sqrt(8)+(5+6*sqrt(3))^
(1/2)));
convert(y, param) ;buyrug‟i yordamida ifoda ko‟rsatilgan turga
almashtiriladi, bu yerda y – ifoda, param- ko‟rsatilgan tur.
Umuman olganda, convert buyrug‟idan juda keng miqyosda foydalanish
mumkin. U bir turdagi ifodani boshqa turga o‟tkazadi.
Agar barcha buyruqlarning imkoniyatlari to‟g‟risida to‟liq ma‟lumotga ega
bo‟lmoqchi bo‟lsangiz, ma‟lumotlar tizimiga murojoat qilish kerak bo‟ladi: >?
buyruq;. Masalan: ?convert;
Misollar.
Ko‟phadni ko‟paytuvchilarga ajratish uchun Maple dasturida factor buyrug‟i
kiritiladi.
1) p := x34 x22 x4 ko‟phadni ko‟paytuvchilarga ajrating:
> factor(x^3+4*x^2+2*x-4);
(x2 ) (x22 x2) .
24
2) > p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;
p : x5 x4 7x3 x2 6x
> factor(p);
x(x 1)(x 3)(x 2)(x 1)
Ifodani soddalashtiring uchun Maple dasturida convert buyrug‟i tanlanadi:
Masalan: 1sin(2 x)cos(2 x)
1sin(2 x)cos(2 x) .
Buyruqlar satrida teramiz:
> y:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):
> convert(y, tan):
> y=normal(%);
1sin(2 x)cos(2 x)
1sin(2 x)cos(2 x)
1
tan(x) .
Ifodani soddalashtiring: 3 sin(x)43 cos(x)42 sin(x)62 cos(x)6 . Buning
uchun quyidagini teramiz:
> y:=3*(sin(x)^4+cos(x)^4)-2*(sin(x)^6+cos(x)^6):
> y=combine(y, trig);
3 sin(x)43 cos(x)42 sin(x)62 cos(x)61
x x
x x
1 sin2 cos2
1 sin2 cos2
ifodani soddalashtiring. Quyidagi ifodani kiriting:
>eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):
> convert(eq, tan):
> eq=normal(“);
tan( )
1
1 sin(2 ) cos(2 )
1 sin(2 ) cos(2 )
x x x
x x
.
Maple muhitida trigonometric funksiyalar va ular bilan amallar
1. Matematik funksiyalar. Maple da ko‟plab matematik, shu jumladan
logarifmik, eksponensional, trigonometrik, teskari trigonometrik, giperbolik va
boshqa funksiyalar ishlatiladi (standart funksiyalar jadvaliga qarang). Ularning
25
hammasi bir argumentli. U butun, rasional, haqiqiy va kompleks bo‟lishi mumkin.
Funksiyalarda argumentlar qavs ichiga olinadi.
“Maple” dasturida trigonometrik finksiyalarning yozilishi
sinx sin(x) chx cosh(x)
cosx cos(x) thx tanh(x)
tgx tan(x) cthx coth(x)
ctgx cot(x) secx sec(x)
Masalan:
> sin(Pi/3); Enter tugmasi bosing
va natija :
>cos(Pi/3) Enter : 1/2
> cos(Pi); Enter : -1
sin(Pi/3)+cos(Pi/2)+2*sin(Pi/12); Enter :
> cot(Pi/2); Enter : 0
> tan(Pi/3); Enter : 3
> x:=Pi/2:y:=sin(x)+cos(x); Enter : y := 1
> exp(1.); Enter : 2.718281828
> ln(1); Enter : 0
> arcsin(1); Enter : 1
2
> arccos(1/2); Enter : 1
3
26
1) cos(π/3)*sin(π/12)+tg(π/5) berilgan trigonometrik funksiyani hisoblang.
2*cos(Pi/3)*sin(Pi/15)+tan(Pi/5); Enter tugmasini bosing va natija:
Berilgan sonnnig faktorialini hisoblash uchun Maple dasturida factorial
buyrug‟i tanlanadi.
Masalan.
> factorial(10); Enter tugmasini bosing natija: 3628800
> factorial(23); Enter tugmasini bosing natija: 25852016738884976640000
Berilgan sonnnig kattasini hisoblash uchun Maple dasturida max buyrug‟i
tanlanadi.
> max(44,47,-60); Enter tugmasini bosing natija: 47
> max(414,-620,-60,548,-56); Enter tugmasini bosing natija: 548
>max(414*9,-620+5,-60-5,548*3,-56*5); Enter tugmasini bosing natija:3726
Berilgan sonnnig eng kichigini hisoblash uchun Maple dasturida min buyrug‟i
tanlanadi.
> min(44,47,-60); Enter tugmasini bosing natija: -60
> min(414,-620,-60,548,-56); Enter tugmasini bosing natija: -620
>min(414*9,-620+5,-60-5,548*3,-56*5); Enter tugmasini bosing natija:-615
“Maple” dasturida oddiy tenglamalarni yechish.
Maple muhitida tenglamalarni yechish uchun universal buyruq solve(t,x)
mavjud, bu yerda t – tenglama, x – tenglamadagi noma‟lum o‟zgaruvchi. Bu
buyruqning bajarilishi natijasida chiqarish satrida ifoda paydo bo‟ladi, bu ana shu
tenglamaning yechimi hisoblanadi. Masalan:
27
> solve(a*x+b=c,x);
bc
a
Agar tenglama bir nechta yechimga ega bo‟lsa va undan keyingi
hisoblashlarda foydalanish kerak bo‟lsa, u holda solve buyrug‟iga biror-bir nom
name beriladi.. Tenglamaning qaysi yechimiga murojoat qilish kerak bo‟lsa,
uning nomi va kvadrat qavs ichida esa yechim nomeri yoziladi: name[k].
Masalan:
> x:=solve(x^2-a=0,x);
x := a, a
> x[1];
a
> x[2];
a
Tenglamalar sistemasini yechish. Tenglamalar sistemasi ham xuddi
shunday solve({t1,t2,…},{x1,x2,…}) buyrug‟i yordami bilan yechiladi, faqat endi
buyruq parametri sifatida birinchi figurali qavsda bir- biri bilan vergul bilan
ajratilgan tenglamalar, ikkinchi figurali qavsda esa noma‟lum o‟zgaruvchilar
ketma-ketligi yoziladi.
Masalan:
1)Tenglamalar sistemasini yeching.
>eq:={x-y=1,x+y=3};
eq := {x - y = 1, x + y = 3}
> s:=solve(eq,{x,y});
Enter tugmasini bosib natija:
s := {y = 1, x = 2}.
28
2)Tenglamalar sistemasini yeching.
> eq:={2*x-2*y=4,x+4*y=6};
eq := {x + 4 y = 6, 2 x - 2 y = 4}
> s:=solve(eq,{x,y});
Enter tugmasini bosib natija:
s := {y = 4/5, x = 14/5}
3)Tenglamalar sistemasini yeching.
“Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi:
eq:={sqrt(x)-2*sqrt(y)=4,sqrt(x)+4*sqrt(y)=6};
> s:=solve(eq,{x,y});
Enter tugmasini bosib natija:
s := {y = 1/9, x = 196/9}
Agar bizga keyingi hisoblashlarda tenglamalar sistemasining yechimidan
foydalanish yoki ular ustida ba‟zi arifmetik amallarni bajarish zarur bo‟lsa, u holda
solve buyrug‟iga biror bir name nomini berish kerak bo‟ladi. Keyin esa ta‟minlash
buyrug‟i assign( name) bajariladi. Shundan keyin yechimlar ustida arifmetik
amallarni bajarish mumkin.
Masalan:
> s:=solve({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});
s := {y a5 , }
a25
x 1a
a25
> assign(s); simplify(x-y);
29
6 1
a25
Tenglamalarning sonli yechimini topish. Agar transsentdent tenglamalar
analitik yechimga ega bo‟lmasa, u holda tenglamaning sonli yechimini topish
uchun maxsus buyruq fsolve(eq,x) dan foydalaniladi, bu yerda ham parametrlar
solve buyrug‟i kabi ko‟rinishda bo‟ladi.
Masalan:
> x:=fsolve(cos(x)=x,x);
x:=.7390851332
Funksional tenglamalarni yechish. rsolve(t,f) buyrug‟i yordamida
f butun funksiya uchun t rekurrent tenglamani yechish mumkin. f(n) funksiya
uchun ba‟zi bir boshlang‟ich shartlarni berish mumkin, u holda berilgan rekurrent
tenglamaning xususiy yechimi hosil bo‟ladi
Masalan:
>eq:=5+f(n)=21*f(n)-f(n);
eq := 5+f(n) = 20*f(n)
rsolve({eq,f(1)=0,f(2)=1},f);
{f(2) = 1, f(1) = 0, f(n) = 5/19}
Natijada oshkor bo‟lmagan ko‟rinishdagi yechim paydo bo‟ladi. Lekin
Maple muhitida bunday yechimlar ustida ishlash imkoni ham mavjud. Funksional
tenglamalarning oshkor bo‟lmagan yechimlarini convert buyrug‟i yordamida biror
elementar funksiyaga almashtirib olish mumkin. Yuqorida keltirilgan misolni
davom ettirgan holda , oshkor ko‟rinishdagi yechimni olish mumkin:
> f:=convert(F(x),radical);
f := 3
2
1
2 98 x
Trigonometrik tenglamalarni yechish. Trigonometrik tenlamani echish
uchun qo‟llanilgan solve buyrug‟i faqat bosh yechimlarni, ya‟ni [0, 2] intervaldagi
yechimlarni beradi. Barcha yechimlarni olish uchun oldindan
EnvAllSolutions:=true qo‟shimcha buyruqlarni kiritish kerak bo‟ladi . Masalan:
> _EnvAllSolutions:=true:
30
> solve(sin(x)=cos(x),x);
1
4 _Z1~
Maple muhitida _Z~ belgi butun turdagi o‟zgarmasni anglatadi,
shuning uchun ushbu tenglama yechimining odatdagi ko‟rinishi x:=π/4+πn
bo‟ladi, bu yerda n – butun son.
Transsendent tenglamalarni yechish.Transsendent tenglamalarni yechish-
da yechimni oshkor ko‟rinishda olish uchun solve buyrug‟idan oldin qo‟shimcha
_EnvExplicit:=true buyrug‟ini kiritish kerak bo‟ladi.
Murakkab transsendent tenglamalar sistemasini yechish va uni
soddalashtirishga misol qaraymiz:
> t:={ 7*3^x-3*2^(z+y-x+2)=15, 2*3^(x+1)+3*2^(z+y-x)=66, ln(x+y+z) -
3*ln(x)-ln(y*z)=-ln(4) }:
> _EnvExplicit:=true:
> s:=solve(t,{x,y,z}):
> simplify(s[1]);simplify(s[2]);
{x =2, y =3, z =1}, {x =2, y =1, z =3}
Yuqorida keltirilgan fikrlar asosida quyidagi misollarni qaraymiz.
1.Tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini toping
Buyruqlar satrida tering:
>eq:={x^2-y^2=1,x^2+y=2};
_EnvExplicit:=true:
>s:=solve(eq,{x,y});
Enter tugasini bosib natija:
2. Endi topilgan yechimlar majmuasining yig‟indisini toping.
Buyruqlar satrida tering:
> x1:=subs(s[1],x): y1:=subs(s[1],y):
2
1
2
2 2
x y
x y
31
x2:=subs(s[2],x): y2:=subs(s[2],y):
> x1+x2; y1+y2;
3. x2cos( x) tenglamaning sonli yechimini toping.
Buyruqlar satrida tering: :
> x=fsolve(x^2=cos(x),x);
x=.8241323123
4. f(x)22 f(x)x tenglamani qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani toping.
Tering:
> F:=solve(f(x)^2-2*f(x)=x,f);
F:= proc(x) RootOf(_Z^2- 2*_Z- x) end
> f:=convert(F(x), radical);
f := 1 1x
5. 5sinx + 12cosx=13 tenglamaning barcha yechimlarini toping.
Buyruqlar satrida tering:
> _EnvAllSolutions:=true:
> solve(5*sin(x)+12*cos(x)=13,x);
arctan
5
12
“Maple” dasturida oddiy tengsizliklarni yechish
Su bilan birga solve buyrug‟i oddiy tengsizliklarni hisoblashda ham
ishlatiladi. Tengsizlik yechimi izlanayotgan o‟zgaruvchining o‟zgarish intervali
ko‟rinishida beriladi. Bunday holda, agar tengsizlik yechimi yarim o‟qdan iborat
bo‟lsa, u holda chiqarish joyida RealRange(–∞ , Open(a)) ko‟rinish-dagi
konstruksiya paydo bo‟ladi, ya‟ni xЄ (–∞ , a), a – biror son. Open so‟zi interval
ochiq chegarali degan ma‟noni bildiradi. Agar bu so‟z bo‟lmasa , u holda mos
chegaralar ham yechimlar to‟plamiga kiradi.
Masalan:
> s:=solve(sqrt(x+3)
32
RealRange ,
Open
2
3 21
Agar siz tengsizlik yechimini xЄ (a, b) turdagi intervalli to‟plamlar
ko‟rinishida emas , ako‟rinishida olmoqchi bo‟lsangiz, u holda tengsizlik yechiladigan o‟zgaruvchi
figurali qavsda ko‟rsatilishi lozim.
Masalan:
> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});
{0x, xe(-2) }
Tengsizliklar sistemasini yechish. solve buyrug‟i yordamida tengsizliklar
sistemasini ham yechish mumkin.
Masalan:
; tengsizliklar sistemasini yeching.
“Maple” dasturida ushbu tengsizlik quyidagicha kiritiladi:
>solve({2*x+y>=4, x-2*y<=1, 8*x-y>=16, x-2*y>=1},{x,y});
{8/15 <= y, x = 2 y + 1}
> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});
{x2 y1, 1 }
3 y
Misollar
1. Tengsizlikni yeching: 13x3-25x2-x4-129x > 0.
Buning uchun buyruqlar satrida quyidagilarni terish kerak:
> solve(13*x^3-25*x^2-x^4-129*x+270>0,x);
RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9))
2. Tengsizlikni yeching: (2x-3) < 1.
Buning uchun buyruqlar satrida quyidagilarni terish kerak:
solve((2*x-3)<1,x);
33
Enter tugmasini bosib natija: RealRange(-infinity,Open(2))
3.Tengsizlikni yeching: (x-3) >(6-x)
Buning uchun buyruqlar satrida quyidagilarni terish kerak:
>solve((x-3)>(6-x),x);
Enter tugmasini bosib natija:
Agar tengsizlik yechimini x(a, b) kabi interval kо„rinishda emas, a
shakldagi cheklanishlar kо„rinishida olmoqchi bо„lsangiz, buyruq parametridagi
izlanuvchi о„zgaruvchini figurali qavsda kо„rsatish lozim bо„ladi. Masalan:
> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});
{0 x, x e(2)}
“Maple” dasturida vektorlar bilan ishlash
Chiziqli algebra masalalarini yechish buyruqlarining asosiy qismi linalg
kutubxonasiga (paketiga) tegishli. Shu sababli matritsalar va vektorlarga oid
masalalarni yechishdan oldin linalg kutubxonasini with(linalg)buyrug„i orqali
yuklab olishimiz lozim.
Vektorlarning berilish usullari.
Maple vektorni aniqlash uchun vector([x1,x2,…,xn] buyrug„i foydalaniladi,
bu kvadrat qavslarda vektor koordinatalari vergullar ajratib ko„rsatiladi.Masalan:
> x:=vector([1,0,0]);
x:=[1, 0, 0]
Koordinatalari aniq x vektorning ixtiyoriy koordinatini natijalar satrida hosil qilish
uchun buyruqlar satriga x[i] buyrug„ini kiritish kifoya, bu yerda i koordinata
tartibi. Masalan, yuqoridagi misoldagi vektorning birinchi koordinatini
quyidagicha hosil qilish mumkin:
> x[1];
34
Vektorni ruyhat ko„rinishga keltirish va aksincha ro„yhatni vektor ko„rinishga
keltirishda convert(vector, list) ili convert(list, vector).Vektor mojno
preobrazovat v spisok i, naoborot, s pomoshyu komandi convert(vector, list) yoki
convert(list, vector)buyruqlaridan foydalanishimiz mumkin.
Vektorlarni qo„shish.
a va b ikki vektorni qo„shish uchun quyidagi ikki buyruq mavjud:
1) evalm(a+b);
2) matadd(a,b).
add buyrug„ining matadd(a,b,alpha,beta)formatda kiritilishi a va b
vektorlarning a b, bu yerda , - skalyar kattaliklar uchun chiziqli
kombinatsiyasini hisoblash imkonini beradi.
Vektorlarning skalyar, vektor ko„paytmalari va vektorlar orasidagi
burchak.
Ikki vektorlarning skalyar ko„paytmasi i
n
i
aib
1
(a,b) dotprod(a,b)buyrug„i
orqali hisoblanadi.
Ikki vektorlarning vektor ko„paytmasi [a,b] crossprod(a,b) buyrug„i orqali
hisoblanadi.
Ikki a va b vektor orasidagi burchak angle(a,b) buyrug„i orqali hisoblanadi.
Vektor normasi (meyori).
2 2
a x1 ... xn ga teng bo„lgan a (x1,...,xn ) vektor normasi (uzunligi)
norm(a,2 a (x1,...,xn ) buyrug„i orqali hisoblanadi.
35
a vektorni normalize(a)buyrug„i orqali normallashtirish mumkin, natijada
a
a
birlik vektor hosil bo„ladi.
Vektorlar sistemasining bazisini topish. Vektorlar sistemasini Gramm-
Shmidt protsedurasi asosida ortogonallashtirish.
n ta {a1,a2,...,an} vektorlar sistemasi berilgan bo„lsa, basis([a1,a2,…,an])
buyrug„i orqali sistema bazisini topish mumkin.
GramSchmidt([a1,a2,…,an]) buyrug„i orqali chiziqli bog„liq bo„lmagan
{a1,a2,...,an} vektorlar sistemasini ortogonallashtirish mumkin.
1- Misol: а (-16,32,8) va b (2,7,6) koordinatalari bilan berilgan.
4
1
а +5b
hisoblang.
> with(linalg):
>a:=([-16,32,8]); b:=([2,7,6]);
a := [-16, 32, 8]
b := [2, 7, 6]
> matadd(1/4*a,5*b);
[6, 43, 32]
3-Masala: a (2,-2,1), b (6,7,4), s(2,0,8) vektorlar berilgan. Berilgan
vektorlarning yig„indisini hamda yig„indining modulini toping.
> with(linalg):
> a:=([2,-2,1]); b:=([6,7,4]); c:=([2,0,8]);
a := [2, -2, 1]
b := [6, 7, 4]
c := [2, 0, 8]
> d:=evalm(2*a+b-1/2c);
d := [9, 3, 2]
> norm(d,2); 94
4-Masala: а (4,0,3) va b (12,-5,0) vektorlar berilgan ular orsidagi burchak
kosinusini toping.
36
5-Masala: a (2,1,3,2) ва b (1,2,2,1) икки вектор берилган. (a,b) ни ҳамда a ва
b векторлар орасидаги бурчакни топинг. Бу масалани ечиш учун қуйидаги
буйруқларни киритинг:
> with(linalg):
> a:=([2,1,3,2]); b:=([1,2,-2,1]);
a:=[2,1,3,2]
b:=[1,2,-2,1]
> dotprod(a,b);
0
> phi=angle(a,b);
2
6-Masala: a (2,2,1) , b (2,3,6) векторларнинг c [a,b] вектор кўпайтмани
топинг, сўнг (a,c) скаляр кўпайтмасни топинг.
> restart; with(linalg):
> a:=([2,-2,1]); b:=([2,3,6]);
a:=[2,2,1]
b:=[2,3,6]
> c:=crossprod(a,b);
c:=[15,10,10]
> dotprod(a,c);
> with(linalg):
> a:=([4,0,3]); b:=([12,-5,0]);
a := [4, 0, 3]
b := [12, -5, 0]
> dotprod(a,b); 48
> norm(a,2); 5
> norm(b,2); 13
> alpha= angle(a,b);
sosα= arcos( 25 169
4225
48 ) =arcos(
65
48 )
37
0
7-Masala: a (2,2,1) векторнинг нормасини топинг:
> restart; with(linalg):
> a:=vector([1,2,3,4,5,6]): norm(a,2);
91
8-Masala: a1 (1,2,2,1) , a2 (1,1,5,3) , a3 (3,2,8,7) , a4 (0,1,7,4) , a5 (2,1,12,10)
векторлан системасининг базисини топинг ва уни Грамм-Шмидт
процедураси асосида ортогоналлаштиринг:
> restart; with(linalg):
> a1:=vector([1,2,2,-1]):
a2:=vector([1,1,-5,3]):
a3:=vector([3,2,8,7]): a4:=vector([0,1,7,-4]):
a5:=vector([2,1,12,-10]):
> g:=basis([a1,a2,a3,a4,a5]);
g:= [a1, a2, a3, a5]
> GramSchmidt(g);
[[1,2,2,1], [2,3,3,2],
65
549
,
65
327
,
65
93
,
65
81 ,
724
355
,
724
71
,
724
923
,
724
1633
38
“Maple” dasturida grafiklar bilan ishlash
Maple muxitining grafik imkoniyatlari
plot buyrug‟i va uning parametrlari. Bir o‟zgaruvchili f(x) funksiya-
ning grafigini (Ox o‟qi bo‟yicha a<=x<=b intervalda va Oy o‟qi bo‟yicha
c<=y<=d intervalda ) yasash uchun plot buyrug‟i ishlatiladi. Uning umumiy ko‟ri-
nishi quyidagicha: plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parametr), bu yerda parametr –
tasvirni boshqarish parametrlari. Agar u ko‟rsatilmasa jimlik bo‟yicha o‟rnatishdan
foydalaniladi. Shu bilan birga tasvirlarga tuzatishlar kiritish vositalar paneli orqali
ham amalga oshiriladi.
plot buyrug‟ining asosiy parametrlari:
1) title=”text”, bu yerda text-rasm sarlavhasi.
2) coords=qutb –polyar koordinatani o‟rnatish.
3) axes – koordinata o‟qlari turlarini o‟rnatish: axes=NORMAL – oddiy
o‟qlar; axes=BOXED – ramkada shkalali grafika; axes=FRAME – rasmning quyi
chap burchagi markazi bo‟lgan o‟qlar; axes=NONE – o‟qsiz.
4) scaling – tasvir masshtabini o‟rnatish: scaling=CONSTRAINED –o‟qlar
bo‟yicha bir xil masshtab; scaling=UNCONSTRAINED – grafik oyna o‟lchovi
bo‟yicha masshtablanadi.
5) style=LINE(POINT) – chiziqlar (yoki nuqtalar) bilan chiqarish.
6) numpoints=n – grafikaning hisobga olinadigan nuqtalari (jimlik qoidasi
bo‟yicha n=49).
7) solor – chiziq rangini o‟rnatish: rangning inglizcha nomi, masalan, yellow
– sariq va h.
8) xtickmarks=nx va ytickmarks=ny – mos ravishda , Ox va Oy o‟qlari
bo‟yicha belgilar soni.
9) thickness=n, gde n=1,2,3… - chiziq qalinligi (jimlik bo‟yicha n=1).
10) linestyle=n – chiziq turi: uzluksiz, punktirli va h. (n=1 – uzluksiz).
11) symbol=s – nuqtalar orqali hosil bo‟ladigan belgi turi: BOX, CROSS,
CIRCLE, POINT, DIAMOND.
39
12) font=[f,style,size] – matnni chiqarish uchun shrift turini o‟rnatish: f
shriftlar nomini beradi: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style
shrift stilini beradi: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – pt da shrift o‟lchovi.
13) labels=[tx,ty] – koordinata o‟qlari yozuv: tx – Ox o‟qi bo‟yicha va ty –
Oy o‟qi bo‟yicha.
14) discont =true – cheksiz uzilishlarni yasash uchun ko‟rsatma.
plot buyrug‟i yordamida y=f(x) funksiya grafigi bilan birga, ochiq
ko‟rinishda , parametrik berilgan y=y(t), x=x(t) funksiyalar grafigini ham hosil
qilish mumkin: plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).
Masalan:
1) y=sin(x) funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.
>plot(sin(x), x=Pi..Pi,labels=[x,y],thickness=2);
Natija: Enter tugmasini bosing:
40
2) y=cos(x) funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.
>plot(sin(x), x=Pi..Pi,labels=[x,y],thickness=2);
Natija: Enter tugmasini bosing:
3) y=tan(x) funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.
>plot(tan(x), x=Pi..Pi,labels=[x,y],thickness=2);
Natija: Enter tugmasini bosing:
41
Tasvirda matnli izohlarni chiqarish.
Plots paketida rasmda matnli izohlarni chiqarish textplot buyrug‟i mavjud:
textplot([xo,yo,‟text‟], options), bu yerda xo, yo – ‟text‟ matnini chiqarish
boshlanadigan nuqtalar koordinatalari.
Tengsizlik bilan berilgan ikki o‟lchovli sohani hosil qilish.
Agar f1(x,y)>c1, f2(x,y)>c2,…,fn(x,y)>cn tengsizliklar sistemasi bilan berilgan
ikki o‟lchovli sohani hosil qilish uchun inequal buyrug‟i ishlatiladi.
inequals({f1(x,y)>c1,…,fn(x,y)>cn}, x=x1…x2, y=y1..y2, options)
buyrug‟ida figurali qavs ichida sohani aniqlovchi tengsizliklar sistemasi, so‟ngra
esa koordinata o‟qlariningg o‟lchovlari va parametrlari ko‟rsatiladi. Parametrlar
ochiq va yopiq chegaralar rangini, sohaning ichki va tashqi rangini hamda chiziq
chegarasining qalinligini aniqlaydi:
optionsfeasible=(color=red) – ichki soha rangini o‟rnatadi;
optionsexcluded=(color=yellow) – tashqi soha rangini o‟rnatadi;
optionsopen(color=blue, thickness=2) – ochiq chegara chizig‟ining
qalinligi va rangini o‟rnatadi;
optionsclosed(color=green,thickness=3) – yopiq chegara chizig‟ining
qalinligi va rangini o‟rnatadi;
Masalan:
1) y=20-x funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.
>with(plots):
> implicitplot(x-y=20, x=-20..20, y=-16..16,color=green, thickness=2);
2)
42
y=2x2-3 funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.
with(plots):
> implicitplot(2*x^2-y=3, x=-20..20, y=-16..16,color=green, thickness=8);
2) y=x2-3 porabolaning grafigini yasang.
>with(plots):
> implicitplot(x^2-y=3, x=-3..3, y=-16..16,color=green, thickness=8);
43
“Maple” dasturida y=kx+b funksiyaning grafigi.
Masalan: y=2x-3 funksiya grafigi:
with(plots):
> implicitplot(y=2*x-3, x=-3..3,y=-16..16,color=bluee,thickness=8);
2) y=2x+12 funksiyaning grafigi.
>with(plots):
> implicitplot(y=2*x+12, x=-4..4,y=-16..16,color=bluee,thickness=10);
3) y=5/2x funksiyaning grafigi:
44
>with(plots):
>implicitplot(y=5/2*x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);
4) y= funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x/3-5, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
5) y= - funksiyaning grafigi:
45
>with(plots):
>implicitplot(y=-x/2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
6) y= funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=-(x+6)/2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
“Maple” dasturida y= giporbola funksiyaning grafigi.
46
1) y=5/x giporbolaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=5/x, x=-4..4,y=-16..16,color=bluee,thickness=5);
2) y=5/x2 giporbolaning grafigi:
>with(plots):
> implicitplot(y=5/x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);
3) y= funksiyaning grafigi:
47
>with(plots):
>implicitplot(y=2/x-2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);
4) y= funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=-2/x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
“Maple” dasturida y=x3 funksiyaning grafigi.
48
1) y=x 3 funksiyaning grafigi:
>with(plots):
> implicitplot(y=x^3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);
2) y=x3+3 funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x^3+3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);
3) y=x3-5 funksiyaning grafigi:
49
>with(plots):
> implicitplot(y=x^3-5, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
4) y= -x3-4 funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=-x^3-4, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
“
Maple” dasturida y=x2 porabolaning funksiyaning grafigi.
50
Masalan:
1) y=x2 porabolaning grafigi:
>with(plots):
:implicitplot(y=x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
2) y=-x2 porabolaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=-x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
51
3) y= x2+2x parobaloning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x^2+2*x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
4) y=-x2+5 parobolang grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=-x^2+5, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
52
5) y= -x3+5x funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=-x^3+5*x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);
“Maple” dasturida ikkita (qo‟sh) funksiyalarning grafiglari:
6) y=x3+ funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x^3+2/x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);
53
7) y= x3+ funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x^3+2/x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);
8) y=-x3+ funksiyaning grafigi:
> with(plots):
>implicitplot(y=-x^3+2/(-x^2), x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);
54
9) y=x2+ funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x^2+2/x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);
10) y= x2+x3 funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x^2+x^3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);
55
11) y= x2+ funksiyaning grafigi:
>with(plots):
>implicitplot(y=x^2+2/x-x^3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);
12) Aylana, urinma va kesishuvchi chiziqlarni qurish:
> restart;
> with(plots):
> imlicitplot([-8+x^2+y^2+8*x+2*y = 0, -x+y=1,-9+3*x+4*y = 0], x=-
10..4, y=-7..5, color=[blue, red,red], legend=[plot1,plot2,plot2]);
56
“Maple” dasturida uchburchaklar
1)ABC tomonlarining tenglamalarini;
2)AB va AC tomonlar orasidagi burchakni;
3)AD balandlik va uning uzunligini;
4)AM mediana va AN bissektirsani;
5) ABC ni yuzasini hisoblang.
Echish: Bu masala 2.1-masalaga aynan o„xshash(faqat koordinatalar soni bilan
farq qiladi) bo„lganligi uchun uni Maple 7 dasturida echishni ko„rsatamiz.
1.ABC tomonlarining tenglamalarini topish;
> restart;
> with(geom3d):
> point(A,7,2,2), point(B,5,7,7), point(C,4,6,10):
Define the line that asses through two points A and B
> line(AB,[A,B]);line(AC,[A,C]);line(BC,[B,C]); AB AC BC
> Equation(AB,t);Equation(AC,t);Equation(BC,t);
[7 K 2 t, 2 C 5 t, 2 C 5 t ] [7 K 3 t, 2 C 4 t, 2 C 8 t ] [5 K t, 7 K t, 7 C 3 t ]
AB va AC tomonlar orasidagi burchakni topish;
> line(AB,[A,B]);line(AC,[A,C]); AB AC
> FindAngle(AB, AC);
AD balandlik, kesishish nuqtasi va uning uzunligini topish;
> with(geom3d):
Define triangle ABC with vertices A, B and C.
> triangle(ABC, [point(A,7,2,2),point(B,5,7,7), point(C,4,6,10)]):
Find the altitude of ABC at A
57
> altitude(hA1,A,ABC); hA1
> form(hA1); lint3d
> detail(hA1);
name of the object: hA1
form of the object: line3d
equation of the line: [_x = 7-10/11*_t, _y = 2+67/11*_t, _z = 2+19/11*_t]
> altitude(hA1,A,ABC,H); hA1
> coordinates(H); 1411
,
11
89
,
11
67
> form(hA1); segment3d
> detail(hA1);
name of the object: hA1
form of the object: segment3d
the 2 ends of the segment: [[7, 2, 2], [67/11, 89/11,
41/11]]
> DefinedAs(hA1); [A, H]
> distance(A,H); 15
11 22
ABC ni yuzasini hisoblash.
> with(geom3d):
Define triangle ABC with vertices A, B and C
> triangle(ABC, [point(A,7,2,2),point(B,5,7,7),point(C,4,6,10)]):
Find the area of ABC
> area(ABC); 15
2 2
> centroid(G,ABC); G
> coordinates(G); 3
19
,5,
3
16
58
ABC ni qurinsh.
> with(geom3d):
> triangle(T1,[point(A,7,2,2),point(B,1,7,3), point(C,4,6,10)]):
> draw([T1(color=blue)], title=`Screw-dislacement of a triangle`,
style=patch);
59
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Dyakonov V.P. Maple 6: uchebniyy kurs. SPb.: Piter, 2001.
2. Dyakonov V.P. Matematicheskaya sistema Maple V R3/R4/R5. M.: Solon,
1998.
3. Manzon B.M. Maple V Power Edition. M.: Filin‟, 1998.
4. Govoruxin V.N., Sibulin V.G. Vvedeniye v Maple V. Matematicheskiy
paket dlya vsex. M.: Mir, 1997.
5. Proxorov G.V., Ledenev M.A., Kolbeyev V.V. Paket simvolnix vichisleniy
Maple V. M.: Petit, 1997.
6. Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Elementiy lineynoy algebri i analiticheskoy
geometrii. M.: Nauka. 1989.
7. Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Differensialnoye i integralnoye ischisleniye.
M.: Nauka. 1989.
8. Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Zadachnik. M.: Nauka. 1987.
9. Ilin V.A., Poznyak E.G. Analiticheskaya geometriya. M.: Nauka. 1970.
10. Ilin V.A., Poznyak E.G. Lineynaya algebra. M.: Nauka. 1970.
11. Nikolskiy S.M. Kurs matematicheskogo analiza (2 t.). M.: Nauka,1991.
12. Elsgols L.E. Differensialniyye uravneniya i variasionnoye ischisleniye. M.:
Editorial, 2000.
13. Eshtemirov S., Aminov I.B. , Nomozov F. Maple muhitida ishlash asoslari.
Uslubiy qo‟llanma. –SamDU, Samarqand, 2009 y.
Matlab tizimi haqida
Zamonaviy kompyuter matematikasi matematik hisoblarni avtomatlashtirish uchun Eureka, Gauss, Derive, Mathcad, Mathematica, Maple va boshqa dasturiy tizimlar va dasturlarning to‘plamlarini taklif qiladi. Ular orasida MATLAB imkoniyatlari va maxsuldorligi yuqoriligi bilan ajralib turadi.
MATLAB – bu vaqt sinovidan o‘tgan matematik hisoblarni avtomatlashtirish tizimlaridan biridir. U matritsaviy amallarni qo‘llashga asoslangan tizimning nomi MATrix LABoratory matritsaviy laboratoriyada o‘z aksini topgan.
Matritsalar murakkab matematik hisoblarda, jumladan, chiziqli algebra masalalarini yechishda va dinamik tizimlar hamda ob'ektlarni modellashda keng qo‘llaniladi. Ular dinamik tizimlar va ob'ektlarning holat tenglamalarini avtomatik ravishda tuzish va yechishning asosi bo‘lib hisoblanadi. Bunga MATLABning kengaytmasi Simulink misol bo‘lishi mumkin.
MATLAB ixtisoslashtirilgan matritsaviy tizim chegaralaridan chiqib universal integrallashgan kompyuterda modellash tizimiga aylandi. «Integrallashgan» so‘zi bu tizimda qulay ifodalar va izohlar tahrirchisi, hisoblagich, grafik dasturiy protsessor va boshqalar o‘zaro birlashtirilganligini bildiradi.
MATLAB tizimining vazifasi har xil turdagi masalalarni yechishda foydalanuvchilarni an'anaviy dasturlash tillariga nisbatan afzalliklarga ega bo‘lgan va imkoniyatlari keng dasturlash tili bilan ta'minlashdir. Uning dasturlash tillari bilan integrallashuvi dasturning kengayuvchanligiga olib keldi.
MATLAB asosan matematik hisoblashlar, algoritmlarni yaratish, modellash, ma'lumotlarni tahlil qilish, tadqiq qilish va vizuallashtirish, ilmiy va injenerlik grafikasi, ilovalarni ishlab chiqish va boshqalar.
MATLAB kengayuvchi tizim, uni har xil turdagi masalalarni yechishga oson moslashtirish mumkin. Uning eng katta afzalligi tabiiy yo‘l bilan kengayishi va bu kengayish m-fayllar ko‘rinishida amalga oshishidir. Boshqacha aytganda, tizimning kengayishlari kompyuterning doimiy xotirasida saqlanadi va MATLABning biriktirilgan (ichki) funksiyalari va protseduralari kabi kerakli vaqtda foydalanish uchun chaqiriladi.
Foydalanuvchi m-fayl matnli formatga ega bo‘lganligi sababli unga har qanday yangi buyruqni, operatorni yoki funksiyani kiritishi va keyin undan biriktirilgan funksiya yoki operator kabi foydalanishi mumkin. MATLAB da yangi yaratilgan funksiya yoki prosedura fayl ko‘rinishida diskda saqlanishi sababli operator va funksiyalar soni amalda chegaralanmagan. MATLAB ko‘plab amaliy masalalarni yechish imkoniyatini beruvchi operatorlar va funksiyalarga ega. Ular yordamida ko‘plab amaliy masalalarni yechish mumkin. MATLAB tizimining tili matematik hisoblashlarni dasturlash sohasida har qanday mavjud yuqori darajadagi universal dasturlash tillaridan boyroqdir. U hozirgi vaqtda mavjud bo‘lgan deyarli hamma dasturlash vositalarini amalga oshiradi, jumladan, ob'ektga mo‘ljallangan va vizual dasturlashni (Simulink vositalari yordamida) ham. Umuman olganda, MATLAB tizimidan foydalanish tajribali dasturlovchilar uchun o‘z fikrlari va g’oyalarini amalga oshirish uchun cheksiz imkoniyatlar beradi.
Matlab dasturlash tili yoki Matlab tili – ma'lumotlarni matritsa ko‘rinishida berilishi, hisoblash imkoniyatlari va grafik vositalarining kengligi nuqtai nazaridan olganda, yuqori darajali algoritmik til hisoblanadi. Shu o‘rinda, Matlab tili faqat Matlab muhitida dasturlar yaratish va ishlatish uchun xizmat qiladi. Foydalanuvchilarni Matlabda yaratiladigan barcha dasturlari diskda saqlanadi va m kengaytmaga ega, shu sababli ular m deyiladi. m-fayllar ikki turga bo‘linadi: function va script m-fayllardir.
m –fayllar yaratishda Matlab tilining quyidagi qoidalariga amal qilinishi lozim: o‘zgaruvchilar e'lon qilinmaydi, metkalar ishlatilmaydi, shartsiz o‘tish operatori go to ishlatilmaydi, dastur tugallanganligi qayd qilinmaydi.
M-fayllar bilan ishlash quyidagilarni o‘z ichiga oladi:
Asosiy (script-fayl) va qism dastur (function-fayl)larni ishlab chiqish;
Matlabda M-fayllarni yaratish, tahrirlash va saqlash;
M-fayllarni ishga tushirish;
M-fayllarni sozlash.
MATLAB tizimining tili matematik hisoblashlarni dasturlash sohasida har qanday mavjud yuqori darajadagi universal dasturlash tillaridan boyroqdir. U hozirgi vaqtda mavjud bo‘lgan deyarli hamma dasturlash vositalarini amalga oshiradi, jumladan, ob'ektga-mo‘ljallangan va vizual dasturlashni ham. Umuman olganda, MATLAB tizimidan foydalanish tajribali dasturlovchilar uchun o‘z fikrlari va oyalarini amalga oshirish uchun cheksiz imkoniyatlar beradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
