Kirish §. Uchburchak tengsizligi va ularning turlari

2 - t e o r e m a . Uchburchak ichki burchagining bissektrisasi qarshisidagi tomonni unga yopishgan tomonlarga proporsional qismlarga bo’ladi.

I s b o t i . AD kesma ΔABC ichki ∠A = α burchagining bissektrisasi bo’lsin, yani ∠BAD = ∠DAC (33-rasm) bo’lishini isbotlash kerak. Uchburchakning B va C uchlaridan AD to’g’ri chiziqqa perpendikularlar tushiramiz: BE ⊥ AD, CF ⊥ AD. U vaqtda ΔABE va ΔACF lar to’g’ri burchakli va ularda ∠BAF = ∠CAF bo’lganligidan, ular o’xshash bo’ladi, yani ΔABE ΔACF. Bundan AC=CF=AB=BE kelib chiqadi.Ikkinchi tomondan, CFD va BDE lar to’g’ri burchakli va vertikal burchaklar bo’lgani uchun ∠BDE=∠CDF tenglik o’rinli, demak, uchburchaklar o’xshashdir, yani CFD BDE. Bundan yoki(b) kelib chiqadi.

Hosil qilingan (a), (b) tengliklarni taqqoslab, talab qilingan tenglikni hosil qilamiz. Teorema isbotlandi. Endi uchburchak bissektrisalarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz. Tomonlari AB = c, BC = a, AC = b bo’lgan ΔABC da AD bissektrisani o’tkazamiz (35-rasm) va uning uzunligini a, b, c orqali ifodalaymiz. Uchburchak ichki burchagi bissektrisasining xossasiga ko’ra munosabatlarni olamiz. Bu qiymatlarni Stuart teoremasidagi

·BD+ ·DC= ·BC + BD · DC · BC ifodaga keltirib qo’yamiz:

Oxirgi ifodani a ga qisqartirib,

Yoki ifodaga ega bo’lamiz. Agar yuqoridagi kabi, a+b+c= =2p deb belgilasak, b +c–a=a+b+c–2a=2p–2a=2(p–a) bo‗ladi.

U holda oxirgi formula ko’rinishini oladi.