Kerakli texnik vositalar: Shaxsiy kompyuter. Kerakli dasturiy vositalar

Nazorat savollari:


3,4-LABORATORIYA ISHI

Mavzu: Transendent tenglamalarni taqribiy echish usullari.

Kerakli texnik vositalar: shaxsiy kompyuter.

Kerakli dasturiy vositalar:

Turbo Paskal dasturlash sistemasi va transendent tenglamalarni echish uchun oraliqni teng ikkiga bo‘lish, vatarlar va urinmalar usullariga tuzilgan dasturlar.

Ishning maqsadi: Talabalarni transendent tenglamalarni taqribiy echish algoritmi bilan tanishtirish va unga Paskal tilida tuzilgan dasturda ishlashga o‘rgatish.

Nazariy qism

CHekli [a,b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz f(x) funkiya berilgan bo‘lib, uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari shu oraliqda mavjud bo‘lsin. SHu bilan birga [a,b] da f’(x) funksiya o‘z ishorasini saqlasin.

f(x)=0 (1)

tenglama [a,b] oraliqda yagona echimga ega bo‘lsin va bu echimni berilgan >0 aniqlikda topish talab qilingan bo‘lsin. Quyida bu echimni aniqlash uchun bir necha sonli usullar, ularning Paskal algoritmik tilida tuzilgan programmalarni keltiramiz.

Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli. [a,b] oraliqni x₀=(a+b)/2 nuqta orqali ikkita teng [a,x₀] va [x₀,b] oraliqlarga ajratamiz. Agar a-x₀ bo‘lsa, x=x₀ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy echimi bo‘ladi. Bu shart bajarilmasa, [a,x₀] va [x₀,b] oraliqlardan (1) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a₁,b₁] deb belgilaymiz. x₁=(a₁+b₁)/2 nuqta yordamida [a₁,b₁] oraliqni ikkita teng [a₁,x₁] va [x₁,b₁] oraliqlarga ajratamiz. a₁-x₁ bo‘lsa, x=x₁ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy echimi bo‘ladi, aks holda [a₁,x₁] va [x₁,b₁] oraliqlardan (1) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a₂,b₂] deb belgilaymiz. Bu oraliq uchun yuqoridagi hisoblashlar ketma-ketligini a_i-x_i (i=2,3,4,…) shart bajarilguncha davom ettiramiz. Natijada (1) tenglamaning x=x_i taqribiy echimini hosil qilamiz.

Misol. f(x)=x⁴-x³-2x²+3x-3 tenglamaning [-2;1] oraliqdagi ildizini =0,01 aniqlikda hisoblang.

Echish. 7- qadamda a₇=-1,7305 va b₇=-1,7363 bo‘lib, a₇-b₇=0,01 shart bajariladi.

(javob: =-1,73(0,01)).

Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga Paskal tilida tuzilgan dastur matni:

program oraliq2; uses crt; {Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli}

var a,b,eps,x,fa,fc,c:real;

function f(x:real):real;

begin

f:= { f(x) funksiyasining ko‘rinishi }

end;

begin clrscr;

write('a='); read(a);

write('b='); read(b);

write('eps='); read(eps);

fa:=f(a);

while abs(b-a)>eps do

begin

c:=(a+b)/2;

fc:=f(c);

if fa*fc<=0 then b:=c else begin a:=c; fa:=fc end;

end;

writeln('x=',c:10:4);

end.

Vatarlar usuli. Aniqlik uchun f(a)>0 ( f(a)<0 ) bo‘lsin. A=A(a;f(a)), B=B(b;f(b)) nuqtalardan to‘ѓri chiziq o‘tkazamiz va bu to‘ѓri chiziqni Ox o‘qi bilan kesishish nuqtasini deb belgilaymiz. Agar |a-x₁| bo‘lsa, x=x₁ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy echimi bo‘ladi. Bu shart bajarilmasa, b=x₁ (a=x₁) deb olamiz. A, B nuqtalardan to‘ѓri chiziq o‘tkazamiz va uning Ox o‘qi bilan kesishish nuqtasini deb olamiz. Agar |x₂-x₁| shart bajarilsa, x=x₂ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy echimi bo‘ladi, aks holda b=x₂ (a=x₂) deb olib, yuqoridagi amallar ketma-ketligini |x_i-x_i-1| (i=3,4,…) shart bajarilguncha davom ettiramiz. Natijada (1) tenglamaning x=x_i taqribiy echimini hosil qilamiz.

x_n larning ketma-ket hisoblash formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Misol. tg(0,55x+0,1)-x²=0 tenglamaning [0,6;0,8] oraliqdagi ildizini =0,005 aniqlikda hisoblang.

Echish. x₂-x₁=0,002< bajariladi. x₂=0,7517; x₁=0,7417 bundan x=0,7517.

Vatarlar usuliga Paskal tilida tuzilgan dasturning ko‘rinishi:

program vatar; uses crt; {Vatarlar usuli}

label 1,2;

var a,b,eps,x:real;

function f(x:real):real;

begin

f:= { f(x) funksiyasining ko‘rinishi }

end;

begin clrscr;

write('a='); read(a);

write('b='); read(b);

write('eps='); read(eps);

2: x:=b;

x:=b-f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a));

if abs(x-b)1 else begin b:=x; goto 2 end;

1: writeln('x=',x:8:4);

end.

Urinmalar usuli. [a,b] oraliqda f^/(x) va f^//(x) ning ishoralari o‘zgarmasdan qolsin. f(x) funksiya grafigining V=V(b,f(b)) nuqtasidan urinma o‘tkazamiz. Bu urinmaning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqtasini b₁ deb belgilaymiz. f(x) funksiya grafigining V₁=V₁(b₁,f(b₁)) nuqtasidan yana urinma o‘tkazamiz va bu urinmaning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqtasini b₂ deb belgilaymiz. Bu jarayonni bir necha marta takrorlab, b₁,b₂,...,b_n larni hosil qilamiz. shart bajarilganda hisoblash to‘xtatiladi.



Misol. tg(0,55x+0,1)-x²=0 tenglamaning [0,6;0,8] oraliqdagi ildizini =0,005 aniqlikda hisoblang.

Echish. b₂-b₁=0,002; x=b₂ =0,7503.

Urinmalar usuliga Paskal tilida tuzilgan dasturning ko‘rinishi:

program urinma; uses crt; {Urinmalar usuli}

var x0,eps,x1,a:real;

function f(x:real):real;

begin

f:= { f(x) funksiyasining ko‘rinishi }

end;

function fx(x:real):real;

begin

fx:= { f’(x) funksiyasining ko‘rinishi}

end;

begin clrscr;

write('x0='); read(x0);

write('eps='); read(eps);

x1:=x0;

repeat

a:=f(x1)/fx(x1);

x1:=x1-a;

until abs(a)

writeln('x=',x1:10:4);

end.