Kelajak olimlari

a to'g'ri chiziq va c to'g'ri chiziqning biror C nuqtasi orqali  tekislik o'tkazamiz.  va  tekisliklarning kesishish chizig'i m to'g'ri chiziq bo'lsin. U holda b, c, m to'g'ri chiziqlar bitta a tekislikda yotadi, bunda c\\b bo'ladi. Shu sababli c to'g'ri chiziq bilan kesishuvchi m to'g'ri chiziq, unga parallel b to'g'ri chiziqni biror P nuqtada kesib o'tishi lozim. m va b to'g'ri chiziqlar, mos ravishda,
^ va  tekisliklarda yotadi. Shu sababli ular uchun umumiy P nuqta ularning kesishish chizig'i bo'lgan a to'g'ri chiziqda yotadi. Lekin bunda a va b to'g'ri chiziqlar, teoremaning shartiga zid ravishda, umumiy P nuqtaga ega bo'ladi.
Demak, a va c to'g'ri chiziqlar kesishuvchi ham, ayqash ham bo'lishi mumkin
emas, ular faqat parallel bo'ladi, ya'ni a \\ c . Teorema isbotlandi.
Bitta to'g'ri chiziqda yoki parallel to'g'ri chiziqlarda yotuvchi ikkita va undan ko'p kesmalar o'zaro parallel deyiladi.
M a s a 1 a . Agar ikki parallel to'g'ri chiziqning biri tekislikni kesib o'tsa, ikkinchisi ham shu tekislikni kesib o'tadi.

1-chizma. 2- chizma.

Y e c h i 1 i s h i.
a b bo^‘lib, a to'g'ri chiziq ^ tekislikni A nuqtada kesib o'tsin

(2- chizma). Ikkita parallel a va b to'g'ri chiziq orqali yagona  tekislik o'tkazish mumkin.  va  tekisliklar umumiy A nuqtaga ega, shu sababli ular, S₂ aksiomaga binoan, c to'g'ri chiziq bo'yicha kesishadi.  tekislikda c to'g'ri chiziq parallel to'g'ri chiziqlardan birini — a to'g'ri chiziqni A nuqtada kesib o'tadi. Demak, c to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqni ham B nuqtada kesib o'tadi.
Modomiki, AB to'g'ri chiziqning A va S nuqtalari  tekislikda yotgan ekan,
AB to'g'ri chiziqning o'zi ham  tekislikda yotadi. Shuningdek, B nuqta b to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lganligidan, b to'g'ri chiziq, haqiqatan ham,  tekislikni B nuqtada kesib o'tadi.

111