Каршинский филиал ташкентского университета информационных технологий имени мухаммада аль-хоразми

ТЕМА 5: Расчёт момента инерции тел различной формы.

План работы:

1. Моме́нт ине́рции.

2. Геометрические моменты инерции.

3. Момент импульса относительно неподвижной точки.

Моме́нт ине́рции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества, которое, формально, может представлять собой не обязательно ось вращения (т.е. прямую), но и точку или плоскость. В последних случаях говорят о моменте инерции относительно точки или плоскости, а возникать такие величины могут в формальных вычислениях, например, при расчете тензора инерции.
Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².
Обозначение: I или J.
Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси^[1]:
{\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}
где:

• 
  m_i — масса i-й точки,
  
• 
  r_i — расстояние от i-й точки до оси.
  

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
{\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,}где:
dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,
ρ — плотность,
r — расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
{\displaystyle J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.}