Кафедра общественных наук

Неявные определения
В отличие от явных определений, имеющих структуру в неявных определениях просто на место Dfn подставляется контекст, или набор аксиом, или описание способа постро­ения определяемого объекта.
Контекстуальное определение позволяет выяснить содержа­ние незнакомого слова, выражающего понятие, через контекст, не прибегая к словарю для перевода, если текст дан на иностран­ном языке, или к толковому словарю, если текст дан на родном языке.
Значения неизвестных в уравнениях даны в неявном виде. Если дано уравнение, первой степени, например 10—y=3, или дано квадратное уравнение, например х² — 7x+12=0, то, решая их и находя значение корней этих уравнений, мы даем явное определение для у (у =7) и для х (x₁ = 4 и х₂ = 3).
Индуктивные определения характеризуются тем, что определя­емый термин используется в выражении понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла. Примером индуктивного определения является определение понятия «натуральное число» с использованием самого термина «натуральное число»:
1.1 — натуральное число.
2. Если n — натуральное число, то n +1 — натуральное чи­сло.
3. Никаких натуральных чисел, кроме указанных в пунктах 1 и 2, нет.
С помощью этого индуктивного определения получается на­туральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4.....Таков алгоритм построения натуральных чисел.
Определение через аксиомы
В современной математике и в математической логике широ­ко применяется так называемый аксиоматический метод. Приве­дем пример⁶. Пусть дана система каких-то элементов (обознача­емых х, у, z.,.), и между ними установлено отношение, выража­емое термином «предшествует». Не определяя ни самих объек­тов, ни отношения «предшествует», мы высказываем для них следующие утверждения (т. е. следующие две аксиомы):
1. Никакой объект не предшествует сам себе.
2. Если х предшествует у, а у предшествует z, то х предше­ствует z.
Так с помощью двух аксиом определены системы объектов вида « x предшествует у». Например, пусть объектами х, у... являются люди, а отношение между х и у представляет собой «х старше у». Тогда выполняются утверждения 1 и 2. Если объекты х, у, z — действительные числа, а отношение <x предшествует у» представляет собой < x меньше у», то утверждения 1 и 2 также выполняются. Утверждения (т. е. аксиомы) 1 и 2 определяют системы объектов с одним отношением.