Jizzax filiali amaliy matematika fakulteti tabiiy va iqtisodiyot fanlar kafedrasi

---

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI 
O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
JIZZAX FILIALI 
AMALIY MATEMATIKA FAKULTETI 
TABIIY VA IQTISODIYOT FANLAR KAFEDRASI 
IQTISOD YO’NALISHI 928-21-GURUH TALABASI 
MARDIYEVA MUXLISANING 
OLIY MATEMATIKA (MA’RUZA)
FANIDAN TAYYORLAGAN 
 
 
 
REFERAT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

5 
1 
 
 
Reja 
 
1. Matritsalar va determinantlar, ularning xossalari va ularni hisoblash. 
2. Aralashmani tayorlashda ketgan moddalar sarfini topish masalasi. 
3. Matritsalar yordamida aholi migratsiyasini baholash. Aholi yoshi haqidagi 
masala. 
4. Matritsalarning geologik, geografik, transport to‘rlarida ishlatilishi 
Matritsalar va ular ustida amallar. 
m 
ta satr va 
n 
ta ustunli, 
m 
×
n 
ta sonlardan tuzilgan to‘g’ri to‘rtburchakli 
jadvalga 
m 
×
n 
o‘lchamli matritsa 
deyiladi. 
Masalan, sonlarning to‘g’ri to‘rtburchakli 

3 6 
 

9 2 
1 


3 

yoki
 
5 

 
6 1 
 
 
2 
 
jadvali 
2 
×
3 
o‘lchamli matritsa bo‘ladi. Matritsani ifodalashda kichik ( ) yoki o‘rta [ 
] 
qavslardan 
foydalaniladi. 
1 
×
n 
o‘lchamlimatritsa, 
ya’nifaqat 
1 
tasatrdantuzilganmatritsa
s
atr-matritsa
deyiladi. Masalan, 
matritsahisoblanadi. 
(
6 0 
−
3 9 
)
satr- 
m
×
1 
o‘lchamlimatritsa, ya’nifaqat 1 taustundantuzilganmatritsa
ustun- 
 

2 
 
matritsa
deyiladi. Masalan, 

7 
 
 

ustun-matritsadir. 

−
1 
 

 
N
x
n 
o‘lchamli matritsa 
kvadrat matritsa 
deyiladi, 
n 
esa uning 
tartibi 
deb yuritiladi. 

3 1 
 
Masalan,

6 7 

0 
5 
 
 
4 

3-tartibli kvadrat matritsaga misol bo‘la oladi. 1-tartibli 
 
 
matritsa son bo‘ladi. Matritsani hosil qiluvchi sonlar 
matritsaning elementlari 
deyiladi. 
Matritsaning elementlari, asosan, ikki indeksli harflar bilan belgilanadi, 
masalan, 
a 
ij 
bunda birinchi indeks shu element joylashgan satr nomerini, ikkinchi 
indeks esa ustun nomerini ko‘rsatadi. Masalan, 3x4 o‘lchamli A matritsa umuman 
9 
8 

---

a 
0 
0 
Λ 
a 

a 
11 
 
A
=

a 
21 

a 
a 
12 
a 
22 
a 
a 
13 
a 
23 
a 
a 
14
 
 
a 
24
 
a 
 

31 
32 
33 
34
 
ko‘rinishda 
yoziladi 
yoki 
qisqacha 
A 
=
( 
a 
ij 
), (
i 
=
1, 2 , 3; 
ko‘rinishdabelgilanadi. 
j 
=
1, 2 , 3, 4 ) 
Indekslari o‘zaro teng bo‘lgan matritsaga elementlariga matritsaning 
boshdioganal 
elementlari deyiladi. Faqat bosh dioganal elementlari noldan farqli 
bo‘lgan kvadrat matritsa 
dioganal matritsa 
deyiladi va quyidagicha yoziladi: 

a 
11 
0 
Λ
0
 

 

0 
22 
Λ
0
 

Λ
Λ
Λ 
 
0 

. 
 

 

nn
 
Kvadrat matritsaning bosh dioganaldan yuqorida (yoki pastda) joylashgan 
elementlari nolga teng bo‘lsa bunday matritsaga 
uch burchakli 
matritsa deyiladi. 
Agar matritsaning tartib nomerlarini saqlagan holda satrlarini ustun, ustunlarini satr 
ko‘rinishda yozilsa, bunday matritsaga 
transponirlangan
matritsa, deb ataladi
. 
A 
matritsaga transponirlangan matritsa 
A
T 
ko‘rinishda belgilanadi
. 
 

1 

0 
A 
=
 

2 
 

0 
2 1 
 
3 1 


va 
A 
T
 
0 2 
 
 
4 5 
 

1 0 2 
=

2 3 0 
 

1 1 2 
0 
 
4 
 
 
5 
 
Agar 
m 
×
n 
o‘lchamli 
A 
va 
B 
matritsalarda ularning mos elementlari teng bo‘lsa, 
ya’ni, 
a 
ij 
=
b 
ij 
bo‘lsa, bu 
matritsalar teng 
deyiladi. Bu holda 
A 
=
B 
deb yoziladi. 
Matritsalar uchun 
≤
, 
<
, 
≥
, 
> 
taqqoslash belgilarining ma’nosi yo‘q. Turli o‘lchamli 
matritsalarning tengligi to‘g’risida ham so‘z yuritilmaydi. 
m 
×
n 
o‘lchamli 
A 
va 
B 
 
matritsalarning 
yig’indisi 
deb 
C 
matritsaga aytiladi. 
Masalan, 
c 
ij 
=
a 
ij 
ij 
elementlardan tuzilgan 
m 
×
n 
o‘lchamli 
. 
+
b

---

5 0 
8 8 
5 0 
 
1 1 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 4 


4 2 
 



 

5 6 
 

 

2 3 

+

2 
−
1 

=

4 2 
 


 


 
8 



m 
×
n 
o‘lchamli ixtiyoriy 
A 
, 
B 
, 
C 
matritsalar uchun 
•
A 
+
B 
=
B 
+
A 
; 
•
A 
+
( 
B 
+
C 
) 
=
( 
A 
+
B 
) 
+
C 
 
tengliklar o‘rinli. Har bir elementi 0 ga teng bo‘lgan matritsa 
nol
matritsa deyiladi. 
A 
+
( 
−
A 
) 
=
( 
−
A 
) 
+ 
A 
=
0 
tenglikni qanoatlantiruvchi 
( 
−
A 
) 
matritsa 
A 
matritsaga 
qarama-qarshi matritsa
deyiladi. 
A 
+
C 
=
B 
tenlikni qanoatlantiruvchi 
C 
matritsa 
A 
va 
B 
matritsalarning 
ayirmasi
deyiladi va 
Misol
. 
 
A 
−
B 
kabi belgilanadi. 

3 4 


2 2 
 



 

1 2 
 

 

2 3 

−

2 
−
1 

=

0 4 
 


 


 
4 

 
−
4 
 
A 
matritsaning 
α 
soniga ko‘paytmasi 
deb 
c 
ij 
=
α 
ij 
elementlardan tuzilgan 
C 
=
α
 
A 
matritsaga aytiladi. Bunda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi. 
• 
(
α
 
+
β
 
) 
A 
=
α
 A 
+
β
 A 
; 
• 
(
αβ
 
) 
A 
=
α
 
( 
β
 A 
) 
; 
• 
α
 
( 
A 
+
B 
) 
=
α
 
A 
+
α
 
B 
. 
m 
×
r 
o‘lchamli 
A 
va 
r 
×
n 
o‘lchamli 
B 
matritsalarning ko‘paytmasi deb 
c 
ij 
=
a 
i 
1 
b
1 
j 
+
a 
i 
2 
b 
2 
j 
+
... 
+
a 
i 
, 
r 
−
1 
b 
r 
−
1 , 
j 
+
a 
ir 
b 
rj 
elementlardan tuzilgan 
m 
×
n 
 
o‘lchamli 
C 
matritsaga aytiladi va 
C 
=
AB 
deb belgilanadi. 
Misol
. 
 

0 1 
 


3 1 
 

0 
⋅
3 
+
1 
⋅
( 
−
3 ) 
 
0 
⋅
1 
+
1 
⋅
2 
 
 

−
3 2 
 

 

1 0 
 −
3 

=

1 
⋅
3 
+
0 
⋅
( 
−
3 ) 
2 
1 
⋅
1 
+
0 
⋅
2 

=

3 1 
 

 

 


1 
⋅
3 
+
1 
⋅
( 
−
3 ) 1 
⋅
1 
+
1 
⋅
2


3 
 
3 
3 
2 
⋅
a 

---

 
 
Demak, ikkita matritsani ko‘paytirish mumkin bo‘lishi uchun birinchisining 
ustunlari soni ikkinchisining satrlari soniga 
teng 
bo‘lishi kerak ekan. 
Masala
.
1
-
jadvalda ikki sut zavodlaridan uchta 
D
1
, 
D
2
va 
D
3
do‘konlarga 
mahsulotni kunlik hajmini jo‘natish rejasi keltirilgan. Har bir sut zavodlaridan 
do‘konlarga eltishning transport xarajatlari mos ravishda 50, 70 va 130 pul birligiga 
teng. Har bir zavodning kunlik transport xarajatini hisoblang. 
1-
jadval 
Sut zavodlari 
Do‘konlar 
D
1
D
2
D
3
1 
20 
35 
10 
2 
15 
27 
8 

A
matritsaorqalikunlikmahsulotnieltishrejasiningko‘laminiifodalovchimatrit
sa ni, 
B
matritsaorqalibirlikmahsulotnieltishningtransportxarajatlariniifodalaymiz, 

2 0 3 5 1 0 
 
A 
=


, 
В 
= (50, 70, 130). 

1 5 2 7 8
 
U holda transport xarajatlari quyidagicha topiladi: 

20 
35 10 
 

50 
 

 

20 
⋅
50 
+
35 
⋅
70 
+
10 
⋅
130 
 

4750 
 
АВ
T
 
= 
 


70 

=
 

=


. 

15 27 8 


130 
 

15 
⋅
50 
+
27 
⋅
70 
+
8 
⋅
130 


3680 
 
Demak, kunlik transport xarajatlari uchun birinchi zavod 4750 p.b., ikkinchi 
zavod esa, 3680 p.b. sarf qiladi.

Masala. 
A 
va 
B 
mahsulotlar plastik, po‘lat va shishadan tayyorlanadi. Har bir 
mahsulotga qancha xom ashyo sarflanishi 2-jadvalda ko‘rsatilgan. 
2-
jadval 
plastik 
po‘lat 
shisha 
A mahsulot 
3 
1 
0.5 
B mahsulot 
4 
0.5 
2 
Firmaga xom ashyo ikkita 
X 
, 
Y 
zavoddan keltirilgani uchun transport 
xarajatlari har bir xom ashyo uchun turlicha bo‘lib, u 3—jadvalda ko‘rsatilgan. 
3-
jadval 

---

 
 
 
 
X zavod 
Y zavod 
Plastik 
10 
9 
Po‘lat 
22 
26 
Shisha 
14 
14 
Berilgan ma‘lumotlardan foydalanib har bir mahsulotni har bir zavodda ishlab 
chiqarish uchunsarflangan xarajatni toping. 

Harbirmahsulotgazarurbo‘lganxomashyomiqdoriniifodalovchi 

3 
1 
P 
=
 
0 ,5 
 
 

4 0 ,5 
2
 
ishlab chiqarish matritsasini va birlik xarajatlarni ifodalovchi 

10 
9
 

 
C
=

22 
26 
 

14 14 
 
Birlik xarajatlar matritsasini qaraymiz. 
A 
mahsulotning 
X 
zavoddagi umumiy 
xarajatlarini toppish uchun 
A 
mahsulot uchun zarur bo‘lgan xom ashyo birliklarini 
xom ashyolarning 
X 
zavoddagi mos xarajat birliklariga ko‘paytirib o‘zaro qo‘shish 
kerak. Matritsalar ko‘paytmasi 
PC 
ning 
a 
11 
elementi bu xarajatni beradi. 

3 
1 

10 
0 .5 
 
9 
 


59 
60 
 
PC 
=
 

22 26

=

 

4 0 .5 
2 

14 
14 
 
79 77 
 
Ko‘paytmaning 
a 
12 
elementi
A
mahsulotning 
Y 
zavoddagi xarajatlarini 
beradi. Ikkinchi satrning elementlari
B
mahsulotning 
X 
xarajatlarini beradi.

va 
Y 
zavodlardagi 
Matritsalarni ko‘paytirishda har doim ham 
AB 
=
BA 
tenglik bajarilavermaydi. 
Quyidagi xossalar o‘rinli. 
•
( 
AB 
)
C 
=
A 
( 
BC 
) 
; 
•
( 
A 
+ 
B 
) 
C 
=
AC 
+
BC 
; 
C 
( 
A 
+ 
B 
) 
=
CA 
+
CB 
. 

---

−
a a 
a 
+
a a a 
+
a a a 
−
a a a 
−
a a a 
−
a a a 
Matritsaning darajalari 
A
0
=E
, 
A 
1
=
A 
, 
A 
2
= 
AA 
, …, 
A 
n
 
= 
A 
n 
−
1 
A 
tengliklar 
bilan aniqlanadi. Bu yerda 
A 
kvadratik matritsa. Diagonal elementlari 1 ga, qolgan 
elementlari 0 ga teng bo‘lgan 

1 
 

0 
E 
=

... 
 
 
 
0 
1 
... 
0 
... 
... 
... 
... 
0 
 
 
0 
 
... 
 
 
 
 
matritsa
birlikmatritsa
deyiladi. 
Ixtiyoriy
A
matritsauchun 
AE 
tengliko‘rinli. 
=
EA 
=
A