Jizzax filiali amaliy matematika fakulteti tabiiy va iqtisodiyot fanlar kafedrasi

Matritsa determinanti.

Ikkinchi tartibli


^{ a} 11 ^a 12 ^
A  ^ _{a a} ^
 21 22 

matritsaning determinanti deb ^a ₁₁ ^a ₂₂ ^{ a 21 1a2} songa aytiladi. Bu determinant

^a 11
^a 21
^a 12
^a 22

^{yoki | A | simvol, yoki biror}  ^{harfi bilan belgilanadi.}
Misol.

Uchinchi tartibli

2 4
1  3

 2  (  3 )  1  4   10 _.

^{ a} 11

^a 12
^a 13 ^


^{A   a 21 a} 22 ^a 23 ^{ (1)}

matritsaning determinanti deb

 ^{a 31
a} 32

^{a 33} 

  a a a
11 22 33

• 
  a a a
  

12 23 31

• 
  a a a
  

13 21 32

• 
  a a a
  

13 22 31

• 
  a a a
  

11 23 32
^{ a} ₁₂ ^a _{21 3}^a₃ (2)

songa aytiladi. (2) ifoda juda sodda tarkibga ega. (1) matritsa elementlaridan o‘ngda uning 1- va 2- ustunlarini yozamiz.

^a11 ^a21	^a12 ^a22	^a13 ^a23	^a11 ^a21	^a12 ^a22
^a31	^a32	^a33	^a31	^a32

(2)
ifodadato‘g’richiziqlarbilano‘chirilganelementlarningko‘paytmalariishtiroketgan. Pastgayo‘nalganto‘g’richiziqlardagielementlarko‘paytmasimusbatishorabilan, qolganlarimanfiyishorabilanolingan.
Misol.

 1 0  2
 1 0
 2  1 0

d e t A  3 2
 2  3 2
 2 3 2 

2 4 5 2 4 5 2 4

^{n } tartibli
^  ^{ 1}  ^{ 2  5  0 }  ^{ 2}  ^{ 2 }  ^{ 2}  ^{ 3  4  2  2 }  ^{ 2}  ^{ 4 }  ^{ 2}  ^  ^{ 1}  ^{ 5  3  0}
  1 0  0  2 4  8  8  0   3 4 .

^{ a} 11

^a 12
... ^a 1 n ^


_{A } ^{ a} 21 ^a 22 ... a _{2 n }

^ ...

 _a


... ...
a
... ^
... a ^
(3)

 n 1 n 2 nn 
kvadrat matritsani qaraymiz. Agar matritsaning i satrini va
n-1 tartibli


^{j } ustunini o‘chirsak,

^{ a}11

_ ...


...
....


^a1 , j  1
...


^a 1 , j  1
...


...
...
^a 1 n ^

... _

 _a
 i  1 ,1
... a


i  1 , j  1
^a i  1 , j  1
... ^{a }
i  1 , n _

^{ a} i  1 ,1 ^{... a} i  1 , j  1 ^a i  1 , j  1 ^{... a} i  1 , n ^

^ ...

 _a
 n 1


...
...


...
^a n , j  1


...
^a n , j  1


...
...
... ^

_a 
nn _

matritsa hosil bo‘ladi. Bu matritsaning determinanti (1.3) matritsa ^a _ij elementning

ij _i
minori deyiladi va ^M bilan belgilanadi. ^{(  1) i  j M} son ^a elementning
ij

algebraik to‘ldiruvchisi deyiladi va ^A _ij bilan belgilanadi.

^{n-tartibli (3) matritsaning}  ^{determinanti uning ixtiyoriy ustuni (satri)} elementlarini ularga mos algebraik to‘ldiruvchilarga ko‘paytmalarining yig’indisiga teng, yani
^{  a} _{1 j} ^A_{1 j} ^{ a} _{2 j} ^A _{2 j} ^{ ...  a} _nj ^A _{nj ,} j  1, 2 ,..., n _,


^{  a i1 A i1  a} _{i 2} ^A _{i 2} ^{ ...  a} _in ^A _{in ,} ⁱ  1, 2 ,..., n _.

1
Misol. D = ³
4


hisoblang.
- 2 3
5 - 1
1 2

, determinantni ikkinchi ustun bo‘yicha yoyib

. Determinantni ikkinchi ustun bo‘yicha yoyamiz: ^{D = a}1 2 ^A1 2 ^{ a} 2 2 ^A 2 2 ^{ a} 3 2 ^A3 2

₌ 
3
2    1 1 
4
- 1
^{ 5  }¹
2
2  2 ¹
4
3
^{ 1  } ¹
2
3  2 ¹
3
3
  20 _.
- 1

Misol.Bosh dioganaldan yuqorida joylashgan elementlari nolga teng bo‘lgan determinantni hisoblang

11
a 0 0 ... 0

2 1 2 2
a a 0 ... 0

3 1 3 2 3 3
_{A =} a a a ... 0 _,
- - - - - - - - - - - - - - - - -
^a n 1 ^a n 2 ^a n 3 ^{... a n n}


Determinantni birinchisatrbo‘yichayoyamiz:
a ₂₂ 0 ... 0
A  a A  a ^{a 3 2 a 3 3 ... 0
1 1 1 1 1 1} - - - - - - - - - - - ^.
a n 2 ^a n 3 ^{...a n n}
Hosil bo‘lgan determinantni yana birinchi satr bo‘yicha yoyamiz:

A  a  a
0 ... 0



a

a

33
4 3 a _{4 4} ... 0

1 1 2 2

- - - - - - - - - - - ^.

va h.k. davom ettirsak ^{A  a}_{1 1} ^a _{2 2} ^L


n 3



a
^a nn ^.
a _{n 4} ...a _{n n}

Determinantlar uchun quyidagi xossalar o‘rinli:

• 
  Ikki ustuni (satri)ning o‘rni almashtirilsa, determinantning ishorasi almashadi;
  
• 
  Biror ustuni (satri)ning elementlari nolga teng bo‘lsa, determinantnolga
  

teng;

• 
  Agar biror ustuni (satri)ning elementlari biror songa ko‘paytirilsa,
  

determinant shu songa ko‘payadi, ya’ni biror ustun (satr) elementlarining umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin;

• 
  Ikki ustuni (satri) elementlari mos ravishda proportsional bo‘lsa determinant nolga teng;
  
• 
  Biror ustuni (satri)ning elementlari bir songa ko‘paytirilib boshqa ustuni (satri)ning mos elementlariga qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
  

 ^{1 2 3 ... n} 
^ -1 0 3 ... n ^
 
Misol. Determinantni hisoblang. ^{ -1 - 2 0 ... n } .
 

 
- - - - - - - - - - - - - -
-1 - 2 - 3 ... 0
 
. Determinantning ikkinchi satridan boshlab, barcha satrlarni birinchi satrga elementlarini mos ravishda qo‘shamiz. Natijada quyidagi matritsaga kelamiz:

1 2 3
0 2 6
_. 0 0 3
L
0 0 0
... n
... 2 n
... 2 n
... n

Aralash - bu ikki yoki undan ortiq element yoki komponentlarning birlashishi yoki birlashishi materiyaning har qanday holatida bo'lishi mumkin. Elementlarning tabiatiga qarab aralash musiqiy, ijtimoiy, fizik, kimyoviy yoki boshqa moddalar bo'lishi mumkin. Musiqiy aralashmalar musiqiy janrlarning yoki musiqiy ekstraktlarning ovozli yozuv va tahrirlash jarayoni natijasida hosil bo'lgan birikmasi deb ataladi.
Ijtimoiy aralashmalar, odatda, madaniy xilma-xillik va bag'rikenglikni yaratadigan madaniy, etnik yoki sinfiy aralashmalar kabi aholi yoki jamiyatdagi xilma-xillikni ko'rsatadi.
Rangli aralashmalar maxsus rangdagi bo'yoqlarni yaratish uchun ishlatiladi, masalan, binafsha rang qizil va ko'k yoki CMYK rangli aralashmalar (Moviy, qizil, sariq, kalit) rangli bosib chiqarish uchun ofset.
Aralashmani ajratish usullari
Sayyoramizdagi moddalarning aksariyati sof shaklda emas, balki boshqa moddalar bilan birgalikda aralashmalar va aralashmalardadir.
Shunday qilib, granitda uchta ko'zga ko'rinadigan uchta modda mavjud.
Ammo sut bizga nordon bo'lguncha bir hil bo'lib tuyuladi. Nordon sut shaffof zardobga va oq qattiq cho'kindi oqsilga bo'linadi
kazein. Odam uzoq vaqt bu moddalarni ishlatadi , sutga kirish, ularni ajratib ko'rsatish
aralashmasidan. Kazein erimaydigan protein - kazein va erituvchidan tayyorlanadi zardob oqsili klinik ovqatlanish uchun ishlatiladi.
Aralashmalarni qanday qilib ajratish mumkin?

1. 
   Agar modda don (guruch, karabuğday, irmik va boshqalar), daryo qumi, bo'r,
   

loy kabi suvda erimaydigan bo'lsa, siz filtrlash usulidan foydalanishingiz mumkin.

Misol qilib quydagi misolda ko’rishimiz mumkin

Benzinning 2 turidan A va V aralashmalar hosil qilinadi. A aralashmaning 60 foizi 1-navli benzindan, 40 foizi 2-navli benzindan tashkil topadi. V aralashmaning 80 foizi 1-nav va 20 foizi 2-nav benzindan tashkil topadi. 1 birlik A aralashmaning bahosi 10 pul birligiga, V aralashmaning bahosi esa 12 pul birligiga teng. 1-nav benzinning zaxirasi 50 birlik, 2-nav benzin zaxirasi 30 birlikni tashkil qiladi.
Korxona A va V aralashmalardan qanchadan tayyorlaganda uning yalpi daromadi maksimal bo‘ladi? Yechish. Masalaning berilganlarini quyidagi jadvalga joylashtiramiz




jadvaldan ko‘rinadiki, l-qadamda topilgan bazis yechim: w, —— (O: O. 5o; 3oi optimal yechim bci“lmaydi, chiinki in
+ / qatordan A va A›ustunlarga tegishli optimallik baholari
A,. = 0, 6 0 -+ O, 4 ' 0 — 1 0 = — 1 0;
manfiy ekanligini ko“ ramiz.Hu bazis yechimni boshqa bir bazis yechimga aylantirish uchun
min fi , = min(— 10. — 12) = —12
songa mos keluvchi A › vekt‹nrni bazisga kiritamiz va
_mm *0 30 50 1 25
OSS 8.2 b,8 2
shartni qanoatlantiruvchi _$3 vektorni bazisidan chiqaramiz. Buning uchun Jordan-Causs almashtirishlarini bajarib, simpleks jadvalni almashtiramiz va yangi bazis yechimni hosil qilamiz:
I, = (0, 1 25 ' 2, 0; 35 ' 2), N ( N, ) = 75fi.
Ushbu bazis yechim uchun ham optimallik sharti (barchay lar uchun
n, > o bo fish sharti ) bajarilmaydi, ya’ni bu shart buzilgan. Shuning uchun A vektorni bazisga kiritib, ft, ni bazisdan chiqaramiz va yangi
bazis yechimni hosil qilamiz:

ushbu Nazis yechim optimallik shartini qanoatlantiradi. Hunda barcha ustunlardagi _{• F}^tima11ik baholari z, z o . Demak, ushbu bazis yechim optimal yechim bo' ladi.

.Iavoh: Rorxona aralashmadan 10 tonna, I" aralashmadan 70 tonna tayyorlasa, uning yalpi daromadi maksimal, ya’ni h j„ - 02ñ bo‘1adi.
Aholining yashash joyini o`zgartirish maqsadida bir joydan ikkinchi joyga ko`chishi (xarakati) aholi migrassiyasidir. Bazan adbiyotlarda aholining qishloqdan shxarga yoki aksincha hsaxardan qishloqqa borib ishlab qaytishini mayantiksimon migarassiya deb ataladi. Bu to`g`ri emas albatta. Chunki qishloqdan shxarga yoki shxardan qishloqqa ishga kelib kechqurun uyga qaytishda, migrassiyaqning eng muxim sharti bajarilmaydi- aholi yashash joyi o`zgartirilmaydi. Shuninmg uchun bu jarayonning aholining mayantiksimon xarakati deb atash muvofiqdir.
Migrassiya ichki (yani bir mamlakatning ichida ayrim rayonlar o`rtasida, qishloqdan shaharga) yoki tashqi (bir mamlakatdan ikkinchi mamlakatga, bir qit`dan ikkinchi qit`aga) bo`lish mumkin. Migrassiya, shunningdek, doimiy hamda vaqtincha (shu jumladan mavsumiy bo`ladi.) Aholi migrassion harakatining sabablari xilma-hil bo`lishi mumkin. Aholini bir joydan ikkinchi joyga ko`chib yurishga majbur qiluvchi sabablardan eng muhimlari ikkita: iqtisodiy sabablar (masalan, ish qidirib yoki moddiy axvolini yaxshilash maqsadida bir rayondan ikkinchi rayonga yoki boshqa mamlakatga ko`chish xamda siyosiy sabablar (siyosiy, milliy yokiy diniy etiqodga ko`ra quvg`in ostiga olinishi natijasida, davlatlar o`rtasidagi chegaralarning o`zgarishi yoki xarbiy harakatlar davom etgan rayonlardan boshqa joylarga ko`chib o`tish, davlatlar o`rtasidagi millatlar vakillarini ayirbosh qilish kabilar). Ichki migrassiyalar mamlakatlar aholisining ko`payishi va kamayishiga ta`sir ko`rsatmaydiб balki aholining mamlakat xududi bo`ylab shahar qishloq o`rtasida qayta taqsimlanishga olib keladi holos. Tashqi migrasiyalar esa, aksincha bir mamlakat, xatto aholisining ko`payishiga sababchi bo`ladigan muhim omil hisoblanadi.Xalqaro migratsiyasi 6 guruhga ajratiladi:

1. 
   Oilaviy va boshqa sabablarga ko`ra doimiy yashahs maqsadida bir davlatdan boshqa davlatga ketgan emigratlar.
   

2. 
   Migrant mexnatkashlar.
   

3. 
   Nolegal immigrantlar.
   

4. 
   Qochoqlar.
   

5. 
   Talabalar ilmiy hodimlar, tadqiqotchialr.
   

6. 
   Turli maqsadda ko`chib yuruvchilar –turistlar, dam oluvchilar, anjuman qatnashchilari.
   

Matritsa tushuncha sifatida XYIII-XIX asrlar davomida shakllantirildi va ishlab chiqildi. Daslabki vaqtlarda matritsa geometrik ob’ektlarni almashtirish va chiziqli tenglamalarni yechish bilan bog‘liq holda rivojlantirildi. Hozirgi vaqtda matritsalar matematikaning kuchli tatbiqiy vositalaridan biri hisoblanadi. Matritsalar sonlar, funksiyalar va matematik belgilarning katta massivlarini yagona ob’ekt sifatida qarash va bunday massivlarni o‘z ichiga olgan masalalarni qisqa ko‘rinishda yozish va yechish imkonini beradi. Matritsalar matematika, texnika va iqtisodiyotning turli sohalarida keng

qo‘llaniladi. Masalan, ulardan matematikada algebraik va differensial tenglamalar sistemasini yechishda, kvant nazariyasida fizik kattaliklarni oldindan aytishda, internet tarmog‘ida ma’lumotlarni shifrlashda foydalaniladi. Sonlarni joylashtirishda «Matritsa» tushunchasi 1850 yilda James Joseph Sylvester tomonidan kiritilgan Ushbu bandda matritsalar nazariyasining asosiy tushunchalari bilan tanishamiz va uning ayrim tatbiqlarini o‘rganamiz. Bunda muhim tushuncha va qoidalar misollar yordamida mustahkamlanadi, qat’iy tasdiqlarni isbotlashda intuiktiv yondashishdan foydalaniladi.

1. 
   Migrassiya saldosi (qoldig`i).
   

Aholining bir joydan ikkinchi joyga ko`chib joylashishi juda qadim zamonlardayoq mavjud bo`lgan. Biroq xar bir davrning migratsiyasiga o`ziga xos xususiyatlarga ega va turli xil oqibatlarga olib keladi. Antik davrning oxiri va o`rta asrlarining boshlarida ro`y bergan hamda adabiyotlarda “xalqlarning buyuk ko`chish davri” deb nomlangan migrassion harakatlar Yevropa va Osiyodagi ko`p xalqlarning etnik tarkibiga katta tasir ko`rsatadi. Markaziy va Shimoliy EVROPAGA German xalqlarining joylashuvi, ularning Britaniya opollariga kirib borishi xuddi ana hsu davrga to`g`ri keladi.

Shu davrda slavyan xalqlari Sharqiy Yevropa xamda bokon yarimorolini egalladi xamda O`rta Osiyoda turkiy xaqlar paydo bo`ldi. Arablarning istelolari (ayniqsa Yaqin sharq va shimoliy Afrika hududlarida), mug`ullarning yurishlari va boshqalar xam uzoq o`tmishda xalqlarning bir joydan ikkinchi joyga ko`chib ketishga xamda ularning etnik sostaviga ta`sir qilgan muxim voqealardandir. XV-XVI asrlardagi buyuk geografik kashfiyotlar aholi migrasiyasining avj olishiga sabab bo`ldi. Bu davrda yangi dunyo (Amerika)ning kashf qilinishi natijasida yevropadan juda ko`plab odamlar bu yerga ko`chib kela boshladilar, keyinchlik esa, asosan shimoliy Amerikaga ingilizlar, gollandlar fransuzlar va boshqa yevropaliklar ko`chib borib u yerlarni egalladilar. Shimoliy Amerikaning janubiy qismlari xamda markaziy Amerikaning o`zlashtirilishida Afrikadan qul olib borilgan negrlar katta ro`l o`ynadi.

XVI asr o`rtalaridsan to ikkinchi jaxon urushi boshlangunga qadar Yvropadan boshqa qit`alar 70 milliondan ortiqroq aholi ko`chib ketgan. Boshqa rayonlarga xan Yevropadan, ayniqsa, ko`p aholi ko`chib ketgan. Agar 1870 – yi8llargacha Emigrantlar ko`proq G`arbiy va shimoliy Yevropa mamlakatlari (Buyuk Britaniya, Irlandiya, Germaniya, Skandinaviya mamlakatlari va boshqalar)dan ketgan bo`lsa XIX asrning oxirlaridan boshlab, emigrantlar soni bo`yicha Janubiy va sharqiy Yevropa mamlakatlari (Italiya, Avstriya-Vengriya, rossiya kabilar) birinchi o`ringa chiqib oldi. Buning nasosiy sabablari ana shu mamlakatlar qishloq xo`jaligida kapitalizmning rivojlaninshi va dexqonlarning qishloqlashuvida edi. Bu davrga kelganda transport aloqalarnining rivojanishi xam ko`chib ketishni ancha osonlashtirdi.
XIX asrning oxiri va XX asrning boshlarida AQSHda arzon ishchi kuchiga talab oshib bordi. Janubiy va sharqiy yevropa mamlaktlatlari eas ana shunday arzon ishchi kuchi yetkazib beruvchi rayonga aylanib qoldi.

XVIII asr va XIX asrlardagi emigratlar ko`proq Amerika (AQSH, Kanada)ga ko`chib borgan bo`lsalar, XIX asrdan boshlab yana janubiy Amerika mamlakatlari (ayniqsa Argentina, Braziliya)ga ko`plab ko`chib bordilar.

Chunki shimoliy mamlakatlarda kapitalizm umumiy krizisning kuchyishi natijasida ishsizlar ko`paya boshladi, yerlarning narxi qimmaqlashib ketdi, keyinchalik AQSH Kanada mamlakatlariga ko`chib kelish to`xtatildi. Bu davrlarda asosan Inglizlar va Britaniya orollarida yashovchi boshqa millat vakillari Avstrliya yangi Zellandiya, Janubiy Afrikaga ko`plab ko`chib bordilar.

Shimoliy Afrika mamlakatlariga Jazoirga – fransuzlar va ispanlar xam ko`plab yevropaliklar ko`chib bordilar. Shunday qilib, XVX va XIX asrlardagi eng yirik migrassiya yevropadan boshqa joylarga ko`chib ketish bilan bog`liq qit`aning o`z ichida yoki ayrim mamlaktlarning ichidagi migrassion xarakatlar uncha katta emas edi. Maslan XIX asrning ikkinchi yarmida ya`ni Rossiyada kapitalistik ishlab chiqarishning rivojlanib borishi va krepostniklik xuquqining bekor qilinishi munosabati bilan mamlakatning Yevropa qismidan Osiyo qismi (Sibir, Qozog`iston, O`rta Osiyo )ga ko`chib o`tish ancha kuchaydi. 1861-1914 yillar davomida rossiyaning g`arbidan 5 millionga yaqin aholi (asosan Ruslar, Ukrainlar, Beloruslarб Tatarlar, Mordvalar) kuchib o`tdi. XIX asr XX asrning boshlarida Xitoydan Janubiy-Shaqiy Osiyo mamlakatlari Malaziya, Tayland, Indoneziya va boshqalar)ga Yaponiyadan Gavayi orollariga, AQSH ga va ayniqsa, Shimoliy-Sharqiy Xitoy (manchjuniya) xamda Koreyaga, Xindistondan, Shrilankaga, Janubiy va Sharqiy Afrika mamlakatlariga, Janubiy Sharqiy Osiyo (Birma, malaziya)ga va boshqa joylarga aholi ko`chib o`tdi. Aholining mamlakatlararo va qit`alararo migrassion xarakatlari natijasida juda ko`p davlatlarda (aynisa Amerika qiasida) etnik tartibi xilma-xillanib ketdi. Xozir AQSH, Kanada , Braziliya, Argentina , Avstraliya, Yangi Zellandiya kabi mamlaktlarda yashayotgan 300 milliondan ortiq aholining oltidan besh qismi yevropaliklar avlodlaridir. Faqat AQSH ning o`zidagina barcha aholining 90 foizi yevropadan yoki ularning avlodlari xisoblanadi. Yevropaning ayrim davlatlaridan ko`chib borgan xalqlar xozir xam aloxida yashahsga harakat qiladilar. Masalan, Aqshning Shimoli-Sharqida asosan buyuk britaniya va Irlandiyadan ko`chib kelganlar edi.