Jizzax filiali amaliy matematika fakulteti tabiiy va iqtisodiyot fanlar kafedrasi

MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI
O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
JIZZAX FILIALI AMALIY MATEMATIKA
FAKULTETI TABIIY VA
IQTISODIYOT FANLAR KAFEDRASI
IQTISOD YO’NALISHI 928-21-GURUH TALABASI
YAXSHIBAYEV ABDULAZIZNING
OLIY MATEMATIKA (MA’RUZA)
FANIDAN TAYYORLAGAN


REFERAT

Reja

1. 
   Matritsalar va determinantlar, ularning xossalari va ularni hisoblash.
   
2. 
   Aralashmani tayorlashda ketgan moddalar sarfini topish masalasi.
   
3. 
   Matritsalar yordamida aholi migratsiyasini baholash. Aholi yoshi haqidagi masala.
   
4. 
   Matritsalarning geologik, geografik, transport to‘rlarida ishlatilishi
   

Matritsalar va ular ustida amallar.

m ta satr va n ta ustunli, m  n ta sonlardan tuzilgan to‘g’ri to‘rtburchakli jadvalga ^{m  n} o‘lchamli matritsa deyiladi.
Masalan, sonlarning to‘g’ri to‘rtburchakli

 ^{3 6}

_ 9 2
¹   ^3
 yoki _
⁵   ^{9
6 1} 

² 5 _

jadvali ^{2  3} o‘lchamli matritsa bo‘ladi. Matritsani ifodalashda kichik ( ) yoki o‘rta [
] qavslardan foydalaniladi. ^{1  n} o‘lchamlimatritsa, ya’nifaqat 1

tasatrdantuzilganmatritsasatr-matritsadeyiladi. Masalan, matritsahisoblanadi.
^{6 0  3 9 } satr-

^{m  1} o‘lchamlimatritsa, ya’nifaqat 1 taustundantuzilganmatritsaustun-

_ 2

^{matritsadeyiladi. Masalan,}  ⁷


 ^{ustun-matritsadir.}

 _{ 1} 
 
Nxn o‘lchamli matritsa kvadrat matritsa deyiladi, n esa uning tartibi deb yuritiladi.

 ^{3 1}

Masalan, ^{ 6 7
5} 

^{4 } 3-tartibli kvadrat matritsaga misol bo‘la oladi. 1-tartibli

1

8

0
_ 
^ 

matritsa son bo‘ladi. Matritsani hosil qiluvchi sonlar matritsaning elementlari

deyiladi.
Matritsaning elementlari, asosan, ikki indeksli harflar bilan belgilanadi, masalan, ^a _ij bunda birinchi indeks shu element joylashgan satr nomerini, ikkinchi indeks esa ustun nomerini ko‘rsatadi. Masalan, 3x4 o‘lchamli A matritsa umuman

^{ a} 11

A  _ a ₂₁
 _a
^a 12
^a 22
a
^a 13
^a 23
a
^a 14 ^

^a 24 ^
_a 

 ^{31 32 33 34} 
ko‘rinishda yoziladi yoki qisqacha A  ( a _ij ), (i  1, 2, 3;
ko‘rinishdabelgilanadi.


j  1, 2 , 3, 4 )

Indekslari o‘zaro teng bo‘lgan matritsaga elementlariga matritsaning boshdioganal elementlari deyiladi. Faqat bosh dioganal elementlari noldan farqli bo‘lgan kvadrat matritsa dioganal matritsa deyiladi va quyidagicha yoziladi:
_ a ₁₁ 0  0 _
 
_ 0 a ₂₂  0 _

0
^    ^{ .}
 ^
 0 0 ^ a ^
 nn 
Kvadrat matritsaning bosh dioganaldan yuqorida (yoki pastda) joylashgan elementlari nolga teng bo‘lsa bunday matritsaga uch burchakli matritsa deyiladi. Agar matritsaning tartib nomerlarini saqlagan holda satrlarini ustun, ustunlarini satr ko‘rinishda yozilsa, bunday matritsaga transponirlanganmatritsa, deb ataladi. A ^{matritsaga transponirlangan matritsa} A^{T ko‘rinishda belgilanadi.}

 ¹
 ₀
A  ^
 2

_ 0
^{2 1} 
3 1 ^
 va A T
0 2 ^

4 5 _

 ¹

 ^ 2

^_1


⁰ 

0	2
3	0
1	2

.
₄ 

5 ^_

Agar ^{m  n} o‘lchamli A va B matritsalarda ularning mos elementlari teng bo‘lsa, ya’ni, ^a _ij ^{ b} _ij bo‘lsa, bu matritsalar teng deyiladi. Bu holda A  B deb yoziladi. Matritsalar uchun ^{ ,  ,  , } taqqoslash belgilarining ma’nosi yo‘q. Turli o‘lchamli matritsalarning tengligi to‘g’risida ham so‘z yuritilmaydi. ^{m  n} o‘lchamli A va B

matritsalarning yig’indisi deb
C matritsaga aytiladi.
Masalan,
^c ij ^{ a ij}

• 
  ^b _ij elementlardantuzilgan ^{m  n} o‘lchamli
  

 ^{1 4}   ^{4 2} 
   
 ^{5 6} 
 

_ 2 3 _  _ 2  1 _  _ 4 2 _

 _{5 0}   _3
8   _{8 8} ^

^{    } 
^{m  n} o‘lchamliixtiyoriy ^{A , B , C} matritsalar uchun

• 
  A  B  B  A ^;
  
• 
  A  ( B  C )  ( A  B )  C
  

tengliklar o‘rinli. Har bir elementi 0 ga teng bo‘lgan matritsa nolmatritsa deyiladi. ^{A  (  A )  (  A )  A  0} tenglikni qanoatlantiruvchi ^{(  A )} matritsa A matritsaga qarama-qarshi matritsadeyiladi.
A  C  B ^{tenlikni qanoatlantiruvchi C matritsa A va B matritsalarning}

ayirmasideyiladi va Misol.
A  B ^{kabi belgilanadi.}
 ^{3 4}   ^{2 2} 
   
 ^{1 2} 
 

_ 2 3 _  _ 2  1 _  _ 0 4 _

5 0 3

2



4
   _{ }
    
 4 ^

^{A matritsaning  soniga ko‘paytmasi deb c} ij ^{ 
 a} ij ^{elementlardan tuzilgan}

^{C   A} matritsaga aytiladi. Bunda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi.

• 
  ^{(   ) A   A   A} ;
  
• 
  ^{( ) A   (  A )} ;
  
• 
   ( A  B )   A   B _.
  

^{m  r} o‘lchamli A va ^{r  n} o‘lchamli B matritsalarning ko‘paytmasi deb ^c _ij ^{ a} _{i 1} ^b_{1 j} ^{ a} _{i 2} ^b _{2 j} ^{ ...  a} _{i , r  1} ^b _{r  1, j} ^{ a} _ir ^b _rj elementlardan tuzilgan ^{m  n} o‘lchamli C matritsaga aytiladi va C  AB deb belgilanadi.
Misol.

_ 0 1 _
^{ }_ 3 1 _
 0  3  1  (  3 )

0  1  1  2 _

_  3 2 _
 

_ 1 0 _^ _{ 3
2} ^{ } _ ^{1  3  0  (  3 )} 1  1  0  2 _  _ 3 1 _

 ^
1 1
^{  1  3  1  (  3 ) 1  1  1  2  } 0 ^{3 }

     ^

Demak, ikkita matritsani ko‘paytirish mumkin bo‘lishi uchun birinchisining ustunlari soni ikkinchisining satrlari soniga teng bo‘lishi kerak ekan.
Masala.1-jadvalda ikki sut zavodlaridan uchta D₁, D₂ va D₃ do‘konlarga mahsulotni kunlik hajmini jo‘natish rejasi keltirilgan. Har bir sut zavodlaridan do‘konlarga eltishning transport xarajatlari mos ravishda 50, 70 va 130 pul birligiga teng. Har bir zavodning kunlik transport xarajatini hisoblang.

1. 
   jadval
   

Sut zavodlari	Do‘konlar
	D1	D2	D3
1	20	35	10
2	15	27	8

Amatritsaorqalikunlikmahsulotnieltishrejasiningko‘laminiifodalovchimatrit sa ni,
Bmatritsaorqalibirlikmahsulotnieltishningtransportxarajatlariniifodalaymiz,
 ^{2 0 3 5 1 0} 
^{A } _{ } , В = (50, 70, 130).
_ 1 5 2 7 8 _
U holda transport xarajatlari quyidagicha topiladi:



 
 ^{20 35 10}  ^{ 50 } _ 20  50  35  70  10  130 _{ } 4750 _
^{АВT =  } _ ⁷⁰ _ ^{ }     _.

 
_ ^{15 27 8} _{  130  } 15  50  27  70  8  130 _{ } 3680 _
Demak, kunlik transport xarajatlari uchun birinchi zavod 4750 p.b., ikkinchi zavod esa, 3680 p.b. sarf qiladi.
Masala. A va B mahsulotlar plastik, po‘lat va shishadan tayyorlanadi. Har bir
mahsulotga qancha xom ashyo sarflanishi 2-jadvalda ko‘rsatilgan.

2. 
   jadval
   

	plastik	po‘lat	shisha
A mahsulot	3	1	0.5
B mahsulot	4	0.5	2

Firmaga xom ashyo ikkita ^{X , Y} zavoddan keltirilgani uchun transport xarajatlari har bir xom ashyo uchun turlicha bo‘lib, u 3—jadvalda ko‘rsatilgan.

3. 
   jadval
   

	X zavod	Y zavod
Plastik	10	9
Po‘lat	22	26
Shisha	14	14

Berilgan ma‘lumotlardan foydalanib har bir mahsulotni har bir zavodda ishlab chiqarish uchunsarflangan xarajatni toping.

Harbirmahsulotgazarurbo‘lganxomashyomiqdoriniifodalovchi

_ 3 1
P  
0 ,5 _


_ 4 0 ,5 2 _
ishlab chiqarish matritsasini va birlik xarajatlarni ifodalovchi
 ^{10 9} 
 
C  _ 22 26 _




^ 14 14 ^

Birlik xarajatlar matritsasini qaraymiz. A mahsulotning X zavoddagi umumiy xarajatlarini toppish uchun A mahsulot uchun zarur bo‘lgan xom ashyo birliklarini xom ashyolarning X zavoddagi mos xarajat birliklariga ko‘paytirib o‘zaro qo‘shish

kerak. Matritsalar ko‘paytmasi PC ning ^a ₁₁ elementi bu xarajatni beradi.

_ 3 1
_ 10
0 .5 _^
9 _
^ _ 59 60 _

PC  ^{ }_ 22 26 _  ^{ }

_ 4 0 .5 ² _{ 14}

_{ } 79 77 _
14 _

Ko‘paytmaning ^a ₁₂ elementi A mahsulotning Y zavoddagi xarajatlarini

^{beradi. Ikkinchi satrning elementlari B mahsulotning} X
xarajatlarini beradi.
^va Y ^zavodlardagi

Matritsalarni ko‘paytirishda har doim ham AB  _BA tenglik bajarilavermaydi.
Quyidagi xossalar o‘rinli.

• 
  ^{( AB )C  A ( BC )} ;
  
• 
  ^{( A  B ) C  AC  BC} ; ^{C ( A  B )  CA  CB} .
  

^{Matritsaning darajalari A0=E,} A ¹  A , A ²  AA ^{, …,} A ⁿ  ^A n 1 ^{A tengliklar} bilan aniqlanadi. Bu yerda A kvadratik matritsa. Diagonal elementlari 1 ga, qolgan elementlari 0 ga teng bo‘lgan

 ¹

E  ^{ 0
} ...


0


0
1
... 0
...
...
...
...
⁰ 

0 _
... ^


1



^{matritsabirlikmatritsadeyiladi. IxtiyoriyAmatritsauchun} AE
tengliko‘rinli.
 EA  A