Измерительные единицы и процедуры их выражения Измере́ние

По числу измерений

• 
  Однократное измерение — измерение, выполненное один раз.
  
• 
  Многократное измерение — измерение физической величины одного и того же размера, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений, т. е. состоящее из ряда однократных измерени
  

Элементарные случайные функции
Ограничиваясь рассмотрением подобных отдельных случайных величин, мы изучали случайные явления как бы «в статике», в каких-то фиксированных постоянных условиях отдельного опыта.
Однако такой элементарный подход к изучению случайных явлений в ряде практических задач является явно недостаточным. На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Примерами таких случайных величин могут служить: ошибка радиодальномера при непрерывном измерении меняющейся дальности; угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения.
Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта, мы будем в отличие от обычных случайных величин называть случайными функциями.
Изучением подобных случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теории вероятностей - теория случайных функций (иначе - теория случайных или стохастических процессов). Эту науку можно образно назвать «динамикой случайных явлений».
Теория случайных функций - новейший раздел теории вероятностей, развившийся, в основном, за последние два-три десятилетия. В настоящее время эта теория продолжает развиваться и совершенствоваться весьма быстрыми темпами. Это связано с непосредственными требованиями практики, в частности с необходимостью решения ряда технических задач. Известно, что за последнее время в технике все большее распространение получают системы с автоматизированным управлением. Соответственно все большие требования предъявляются к теоретической базе этого вида техники - к теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно воздействующих случайных возмущений (так называемых «помех»). Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы управления, необходимо изучить ее реакцию на непрерывно воздействующие случайные возмущения, а единственным аппаратом, пригодным для такого исследования, является аппарат теории случайных функций.
В данной главе мы познакомимся с основными понятиями этой теории и с общей постановкой ряда практических задач, требующих применения теории случайных функций. Кроме того, здесь будут изложены общие правила оперирования с характеристиками случайных функций, аналогичные правилам оперирования с числовыми характеристиками обычных случайных величин.
Первым из основных понятий, с которыми нам придется иметь дело, является само понятие случайной функции. Это понятие настолько же шире и богаче понятия случайной величины, насколько математические понятия переменной величины и функции шире и богаче понятия постоянной величины.
Вспомним определение случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее - какое именно. Дадим аналогичное определение случайной функции.
Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее - какой именно.
Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайней функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции.
Приведем несколько примеров случайных функций.
Пример 1. Самолет-бомбардировщик на боевом курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость  . Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет на боевом курсе можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция  принимает определенную реализацию (рис. 15.1.1).

Рис. 15.1.1.
От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете установлен самопишущий прибор, то он в каждом полете запишет новую, отличную от других реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции  (рис. 15.1.2).

Рис. 15.1.2.
Пример 2. При наведении управляемого снаряда на цель ошибка наведения  представляет собой отклонение центра массы снаряда от теоретической траектории, т. е. случайную функцию времени (рис. 15.1.3).

Рис. 15.1.3.
В том же опыте случайными функциями времени являются, например, перегрузка снаряда  , угол атаки  и т. д.
Пример 3. При стрельбе с самолета по самолету перекрестие прицела в течение некоторого времени должно непрерывно совмещаться с целью - следить за ней. Операция слежения за целью сопровождается ошибками - так называемыми ошибками наводки (рис. 15.1.4).

Рис. 15.1.4.
Горизонтальная и вертикальная ошибки наводки в процессе прицеливания непрерывно меняются и представляют собой две случайные функции  и  . Реализации этих случайных функций можно получить в результате дешифровки снимков фотопулемета, фотографирующего цель в течение всего процесса слежения.
Число примеров случайных функций, встречающихся в технике, можно было бы неограниченно увеличивать. Действительно, в любом случае, когда мы имеем дело с непрерывно работающей системой (системой измерения, управления, наведения, регулирования), при анализе точности работы этой системы нам приходится учитывать наличие случайных воздействий (помех). Как сами помехи, так и вызванная ими реакция системы представляют собой случайные функции времени.
До сих пор мы говорили только о случайных функциях, аргументом которых является время  . В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от других аргументов. Например, характеристики прочности неоднородного стержня могут рассматриваться как случайные функции абсциссы сечения  . Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты  .
На практике встречаются также случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких. Например, аэрологические данные, характеризующие состояние атмосферы (температура, давление, ветер), представляют собой в общем случае случайные функции четырех аргументов: трех координат  и времени  .
В данном курсе мы будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой  . Кроме того, условимся, как правило, обозначать случайные функции большими буквами  в отличие от неслучайных функций  .
Рассмотрим некоторую случайную функцию  . Предположим, что над ней произведено  независимых опытов, в результате которых получено  реализаций (рис. 15.1.5).

Рис. 15.1.5.
Обозначим их соответственно номеру опыта  .
Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция  превращается в обычную, неслучайную функцию.
Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента  и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция  . Очевидно, она превратится в случайную величину в обычном смысле слова. Условимся называть эту случайную величину сечением случайной функции, соответствующим данному  . Если провести «сечение» семейства реализаций при данном  (рис. 15.1.5), мы получим  значений, принятых случайной величиной  в  опытах.
Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.
В ходе дальнейшего изложения мы часто будем попеременно рассматривать одну и ту же функцию  то как случайную функцию, то как случайную величину, в зависимости от того, рассматривается ли она на всем диапазоне изменения  или при его фиксированном значении.
Рассмотрим некоторую случайную функцию  на определенном отрезке времени (рис. 15.2.1).

Рис. 15.2.1.
Строго говоря, случайную функцию мы не можем изображать с помощью кривой на графике: начертить мы можем лишь ее конкретные реализации. Однако в целях наглядности можно позволить себе условно изобразить на чертеже случайную функцию  в виде кривой, понимая под этой кривой не конкретную реализацию, а всю совокупность возможных реализаций  . Эту условность мы будем отмечать тем, что кривую, символически изображающую случайную функцию, будем проводить пунктиром.
Предположим, что ход изменения случайной функции регистрируется с помощью некоторого прибора, который не записывает случайную функцию непрерывно, а отмечает ее значения через определенные интервалы - в моменты времени  .
Как было указано выше, при фиксированном значении  случайная функция превращается в обычную случайную величину. Следовательно, результаты записи в данном случае представляют собой систему  случайных величин:
. (15.2.1)
Очевидно, при достаточно высоком темпе работы регистрирующей аппаратуры запись случайной функции через такие интервалы даст достаточно точное представление о ходе ее изменения. Таким образом, рассмотрение случайной функции можно с некоторым приближением заменить рассмотрением системы случайных величин (15.2.1). По мере увеличения  такая замена становится все более и более точной. В пределе число значений аргумента - и соответственно число случайных величин (15.2.1) - становится бесконечным. Таким образом, понятие случайной функции можно рассматривать как естественное обобщение понятия системы случайных величин на случай бесконечного (несчетного) множества величин, входящих в систему.
Исходя из такого толкования случайной функции попытаемся ответить на вопрос: что же должен представлять собой закон распределения случайной функции?
Мы знаем, что закон распределения одной случайной величины есть функция одного аргумента, закон распределения системы двух величин - функция двух аргументов и т. д. Однако практическое пользование в качестве вероятностных характеристик функциями многих аргументов настолько неудобно, что даже для систем трех-четырех величин мы обычно отказываемся от пользования законами распределения и рассматриваем только числовые характеристики. Что касается закона распределения случайной функции, который предоставляет собой функцию бесчисленного множества аргументов, то такой закон в лучшем случае можно чисто формально записать в какой-либо символической форме; практическое же пользование подобной характеристикой, очевидно, совершенно исключено.
Можно, однако, для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем.
Рассмотрим случайную величину  - сечение случайной функции в момент  (рис. 15.2.2).

Рис. 15.2.2.
Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от  . Обозначим его  . Функция  называется одномерным законом распределения случайной функции  .
Очевидно, функция  не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции  . Действительно, эта функция характеризует только закон распределения  для данного, хотя и произвольного  ; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин  при различных  . С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции  является так называемый двумерный закон распределения:
. (15.2.2)
Это - закон распределения системы двух случайных величин  , т. е. двух произвольных сечений случайной функции  . Однако и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей; еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон:
. (15.2.3)
Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать при этом все более подробную, все более исчерпывающую характеристику случайной функции, но оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции достаточно, например, знания функции (15.2.2) (так называемые «процессы без последействия»).
В пределах настоящего элементарного изложения теории случайных функций мы вовсе не будем пользоваться законами распределения, а ограничимся рассмотрением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин.
Мы имели много случаев убедиться в том, какое большое значение в теории вероятностей имеют основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия - для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица - для системы случайных величин. Искусство пользоваться числовыми характеристиками, оставляя по возможности в стороне законы распределения, - основа прикладной теории вероятностей. Аппарат числовых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи.
Совершенно аналогичным аппаратом пользуются и в теории случайных функций. Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения многих практических задач.
В отличие от числовых характеристик случайных величин, предоставляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции.
Математическое ожидание случайной функции  определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции  при фиксированном  . В этом сечении мы имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от  , т. е. представляет собой некоторую функцию  :
. (15.3.1)
Таким образом, математическим ожиданием случайной функции  называется неслучайная функция  , которая при каждом значении аргумента  равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.
По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.
На рис. 15.3.1 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией - ее математическое ожидание.

Рис. 15.3.1.
Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции.
Дисперсией случайной функции  называется неслучайная функция  , значение которой для каждого  равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:
. (15.3.2)
Дисперсия случайной функции при каждом  характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.
Очевидно,  есть неотрицательная функция. Извлекая из нее квадратный корень, получим функцию  - среднее квадратическое отклонение случайной функции:
. (15.3.3)
Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей случайной функции этих характеристик недостаточно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две случайные функции  и  , наглядно изображенные семействами реализаций на рис. 15.3.2 и 15.3.3.

Рис. 15.3.2.

Рис. 15.3.3.
У случайных функций  и  примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии; однако характер этих случайных функций резко различен. Для случайной функции  (рис. 15.3.2) характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке  случайная функция  приняла значение, заметно превышающее среднее, то весьма вероятно, что и в точке  она также примет значение больше среднего. Для случайной функции  характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных  . Напротив, случайная функция  (рис. 15.3.3) имеет резко колебательный характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции характерно быстрое затухание зависимости между ее значениями по мере увеличения расстояния по  между ними.
Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов совершенно различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо вести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (иначе - автокорреляционной функцией). Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным  .
Пусть имеется случайная функция  (рис. 15.3.4); рассмотрим два ее сечения, относящихся к различным моментам:  и  , т. е. две случайные величины  и  . Очевидно, что при близких значениях  и  величины  и  связаны тесной зависимостью: если величина  приняла какое-то значение, то и величина  с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при увеличении интервала между сечениями  ,  зависимость величин  и  вообще должна убывать.

Рис. 15.3.4.
Степень зависимости величин  и  может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом; очевидно, он является функцией двух аргументов  и  . Эта функция и называется корреляционной функцией.
Таким образом, корреляционной функцией случайной функции  называется неслучайная функция двух аргументов  , которая при каждой паре значений  ,  равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:
, (15.3.4)
где
, .
Вернемся к примерам случайных функций  и  (рис. 15.3.2 и 15.3.3). Мы видим теперь, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функции  и  имеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функции  медленно убывает по мере увеличения промежутка  ; напротив, корреляционная функция случайной функции  быстро убывает с увеличением этого промежутка.
Выясним, во что обращается корреляционная функция  , когда ее аргументы совпадают. Полагая  , имеем:
, (15.3.5)
т. е. при  корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.
Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.
Так как корреляционный момент двух случайных величин  и  не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется при перемене аргументов местами:
. (15.3.6)
Если изобразить корреляционную функцию  в виде поверхности, то эта поверхность будет симметрична относительно вертикальной плоскости  , проходящей через биссектрису угла  (рис. 15.3.5).

Рис. 15.3.5.
Заметим, что свойства корреляционной функции естественно вытекают из свойств корреляционной матрицы системы случайных величин. Действительно, заменим приближенно случайную функцию  системой  случайных величин  . При увеличении  и соответственном уменьшении промежутков между аргументами корреляционная матрица системы, представляющая собой таблицу о двух входах, в пределе переходит в функцию двух непрерывно изменяющихся аргументов, обладающую аналогичными свойствами. Свойство симметричности корреляционной матрицы относительно главной диагонали переходит в свойство симметричности корреляционной функции (15.3.6). По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин; аналогично при  корреляционная функция  обращается в дисперсию  .
На практике, если требуется построить корреляционную функцию случайной функции  , обычно поступают следующим образом: задаются рядом равноотстоящих значений аргумента и строят корреляционную матрицу полученной системы случайных величин. Эта матрица есть не что иное, как таблица значений корреляционной функции для прямоугольной сетки значений аргументов на плоскости  . Далее, путем интерполирования или аппроксимации можно построить функцию двух аргументов  .
Вместо корреляционной функции  можно пользоваться нормированной корреляционной функцией:
, (15.3.7)
которая представляет собой коэффициент корреляции величин  ,  . Нормированная корреляционная функция аналогична нормированной корреляционной матрице системы случайных величин. При  нормированная корреляционная функция равна единице:
. (15.3.8)
Выясним, как меняются основные характеристики случайной функции при элементарных операциях над нею: при прибавлении неслучайного слагаемого и при умножении на неслучайный множитель. Эти неслучайные слагаемые и множители могут быть как постоянными величинами, так в общем случае и функциями  .
Прибавим к случайной функции  неслучайное слагаемое  . Получим новую случайную функцию:
. (15.3.9)
По теореме сложения математических ожиданий:
, (15.3.10)
т. е. при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое.
Определим корреляционную функцию случайной функции  :


, (15.3.11)
т. е. от прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция случайной функции не меняется.
Умножим случайную функцию  на неслучайный множитель  :
. (15.3.12)
Вынося неслучайную величину  за знак математического ожидания, имеем:
, (15.3.13)
т. е. при умножении случайной функции на неслучайный множитель ее математическое ожидание умножается на тот же множитель.
Определяем корреляционную функцию:

, (15.3.14)
т. е. при умножении случайной функции на неслучайную функцию  ее корреляционная функция умножается на  .
В частности, когда  (не зависит от  ), корреляционная функция умножается на  .
Пользуясь выведенными свойствами характеристик случайных функций, можно в ряде случаев значительно упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать корреляционную функцию или дисперсию случайной функции, можно заранее перейти от нее к так называемой центрированной функции:
. (15.3.15)
Математическое ожидание центрированной функции тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией случайной функции  :
. (15.3.16)
При исследовании вопросов, связанных с корреляционными свойствами случайных функций, мы в дальнейшем всегда будем переходить от случайных функций к соответствующим центрированным функциям, отмечая это значком  вверху знака функции.
Иногда, кроме центрирования, применяется еще нормирование случайных функций. Нормированной называется случайная функция вида:
. (15.3.17)
Корреляционная функция нормированной случайной функции  равна
, (15.3.18)
Пусть над случайной функцией  произведено  независимых опытов (наблюдений) и в результате получено  реализаций случайной функции (рис. 15.4.1).

Рис. 15.4.1.
Требуется найти оценки для характеристик случайной функции: ее математического ожидания  , дисперсии  и корреляционной функции  .
Для этого рассмотрим ряд сечений случайной функции для моментов времени

и зарегистрируем значения, принятые функцией  в эти моменты времени. Каждому из моментов  будет соответствовать  значений случайной функции.
Значения  обычно задаются равноотстоящими; величина интервала между соседними значениями выбирается в зависимости от вида экспериментальных кривых так, чтобы по выбранным точкам можно было восстановить основной ход кривых. Часто бывает так, что интервал между соседними значениями  задается независимо от задач обработки частотой работы регистрирующего прибора (например, темпом киноаппарата).