II. Asosiy qism 2.1. O`lchovli to`plamlar Dastlabki tekislikdagi to`plam-ning Lebeg o`lchovi tushunchasi kiritilgan. O`lchov tushunchasi bu σ kesma-ning uzunligi, tekislikdagi shaklning yuzasi, fazodagi jismning hajmi kabi tu-shunchalarning umumlashmasi natijasida paydo bo`lgan. Bu paragrafda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin Jordan ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin-dan kengroq ekanligi ta'kidlangan va Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lgan, am-mo Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol keltirilgan. Lebeg o`lchovining yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xossalari isbotlangan. Birlik kvadratdagi o`lchovli to`plamlar sistemasi σ algebra tashkil qilishi ko`rsatilgan. Bu paragrafning ayrim to`ldirishlar bandida tekislikda berilgan A to`plamning Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lishligi ta'ri angan. Umumlashtirishlar bandida esa Lebeg-Stiltes o`lchovlari berilgan. Paragrafning oxirgi bandida sonlar o`qida Lebeg ma'nosida o`lchovsiz to`plamga misol keltirilgan. Absolyut uzluksiz, singulyar uzluksiz va diskret o`lchovlarga ta'rif berilgan hamda ularga misollar keltirilgan.
Yarim halqada beril-gan o`lchovni yarim halqadan hosil bo`lgan minimal halqaga davom ettirish va davomning yagonaligi isbotlangan. Additiv va σ additiv o`lchovlarning umumiy xossalari keltirilgan. Additiv, ammo σ additiv bo`lmagan o`lchovga misol keltirilgan.
Bobning oxirgida yarim halqada berilgan o`lchovni Lebeg bo`yi-cha davom ettirish masalasi qaralgan. Bu yerda ham o`xshash o`lchovning yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos-salari isbotlangan. Birlik elementli Sm yarim halqada σ additiv m o`lchov berilgan bo`lsa, bu o`lchovning Lebeg bo`yicha davomi σ„ ham σ additiv o`lchov bo`lishi isbotlangan.
6- x: Tekislikdagi to`plamning o`lchovi
Biz bu paragrafda tekislikda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam ta'ri ni beramiz va o`lchovli to`plamlarning asosiy xossalarini isbotlaymiz.
1.1. Elementar to`plam o`lchovi. Aytaylik a; b; c va d lar ixtiyoriy sonlar bo`lsin. Tekislikda
a ≤ x ≤ b; a ≤ x < b; a < x ≤ b; a < x < b va
c ≤ y ≤ d; c ≤ y < d; c < y ≤ d; c < y < d tengsizliklarning istalgan bir jufti bilan aniqlangan to`plamlar sistemasi beril-gan bo`lsin. Bu to`plamlarni to`g`ri to`rtburchaklar deb ataymiz.
Bizga a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d; tengsizliklar bilan aniqlangan to`g`ri
to`rtburchak berilgan bo`lsin. Agar a < b; c < d bo`lsa, u chegaralari o`ziga qarashli bo`lgan to`g`ri to`rtburchakni, agar a = b va c < d yoki a < b va c = d bo`lsa kesmani, agar a = b; c = d bo`lsa nuqtani va agar a > b yoki c > d bo`lsa, bo`sh to`plamni aniqlaydi. Ochiq a < x < b; c < y < d to`g`ri to`rtburchak a; b; c va d larga bog`liq ravishda chegarasi o`ziga qarashli bo`lmagan to`g`ri to`rtburchak yoki bo`sh to`plam bo`ladi. Yarim ochiq to`g`ri to`rtburchaklarning har biri bir, ikki yoki uch tomonsiz to`rtburchaklarni, ochiq, yarim ochiq oraliqlarni aniqlaydi deb tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasini belgilaymiz.
1.1-lemma. Tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi σ yarim halqa tashkil qiladi.
Isbot. a; b; c va d sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to`g`ri to`rtburchak a = b bo`lganda bo`sh to`plamni aniqlaydi, demak ; 2 SIkki to`g`ri to`rtbur-chakning kesishmasi to`g`ri to`rtburchakdir (6.1-chizma), ya'ni P1; P22 S dan P1\ P22 S ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik P = Pabcd to`g`rito`rtburchak P1 = Pa1b1c1d1 to`g`ri to`rtburchakni o`zida saqlasin. U holda
a ≤ a1 ≤ b1 ≤ b; c ≤ c1 ≤ d1 ≤ d munosabatlar o`rinli. P nP1 ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin.
P nP1= P2 [ P3 [ P4 [ P5; bu yerda
P2= Paa1cd; P3= Pa1bd1d; P4= Pb1bcd1 ; P5= Pa1b1cc1 : Demak, tekislikdagi barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi S yarim halqa tashkil qilar ekan.
1.1-ta'rif. σyarim halqadan olingan va a; b; c; d sonlari bilan aniqlan-gan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) P = Pabcd to`g`ri to`rtburchak uchun m(P ) = (b σ a)(d σ c)sonni mos qo`yamiz, agar P bo`sh to`plam bo`lsa m(P ) = 0deymiz va m : σ Rto`plam funksiyasini o`lchov deymiz.
Shunday qilib, σ dagi har bir P to`g`ri to`rtburchakka uning o`lchovi m(P ) = (bσa)(dσc)son mos qo`yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoat-lantiradi:
1) m(P ) - man y bo`lmagan haqiqiy son.
) m : S ! R to`plam funksiyasi additiv, ya'ni agar
P = Pk; Pi
Pk= ;; i 6= k; P; Pk 2 S
bo`lsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli m(P ) = Pnm(Pk) .k=1
Maqsadimiz 1) va 2) xossalarni saqlagan holda m o`lchovni barcha to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi σ dan kengroq bo`lgan sinfga davom ettirishdan iborat. Shu maqsadda M(σ) bilan σ yarim halqa ustiga qurilgan minimal halqani belgilaymiz.
1.2-ta'rif. M(σ) halqa elementlari elementar to`plam deyiladi.
