Iv-bob. Predikatlar mantiqi

2-§. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari
Umumiylik kvantori. Mavjudlik kvantori. Kvantorli amallar bilan kon’yunksiya va diz’yunksiya amallari o’rtasidagi munosabat.


to’plamda aniqlangan predikat berilgan bo’lsin. Agar ni predikatning argumenti o’rniga qo’ysak, u holda bu predikat mulohazaga aylanadi.
Predikatlar mantiqida yana ikkita amal mavjudki, ular bir joyli predikatni mulohazaga aylantiradi.
2.1.Umumiylik kvantori. to’plamda aniqlangan predikat berilgan bo’lsin. Har qanday uchun chin va aks holda yolg’on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini formada yozamiz. Bu mulohaza endi ga bog’liq bo’lmay qoladi va u quyidagicha o’qiladi: «Har qanday uchun chin». simvol umumiylik kvantori deb aytiladi. Aytilgan fikrlarni matematik tilda quyidagicha yozish mumkin:

predikatda ni erkin (ozod) o’zgaruvchi va mulohazada ni umumiylik kvantori bilan bog’langan o’zgaruvchi deb aytiladi.
2.2.Mavjudlik kvantori. predikat to’plamda aniqlangan bo’lsin. Hyech bo’lmaganda birorta uchun predikat chin va aks holda yolg’on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini shaklda yozamiz. Bu mulohaza ga bog’liq emas va uni quyidagicha o’qish mumkin: «Shunday mavjudki, », ya’ni

cimvol mavjudlik kvantori deb ataladi. mulohazada o’zgaruvchi kvantori bilan bog’langan bo’ladi.
Masalan, natural sonlar to’plamida predikat berilgan bo’lsin: « - tub son». Kvantorlardan foydalanib ushbu predikatdan quyidagi mulohazalarni hosil qilish mumkin: - «Hamma natural sonlar tub sonlar bo’ladi»; - «Shunday natural son mavjudki, u tub son bo’ladi». Ravshanki, birinchi mulohaza yolg’on va ikkinchi mulohaza chin bo’ladi.
Ma’lumki, mulohaza faqat aynan chin predikat bo’lgandagina chin qiymat qabul qiladi. mulohaza bo’lsa, aynan yolg’on predikat bo’lgandagina yolg’on qiymat qabul qiladi.
Kvantorli amallar ko’p joyli predikatlarga ham qo’llaniladi. Masalan, to’plamda ikki joyli predikat berilgan bo’lsin. Agar predikatga o’zgaruvchi bo’yicha kvantorli amallarni qo’llasak, u holda ikki joyli predikatga bir joyli (yoki bir joyli ) predikatni mos qilib qo’yadi.
Bir joyli ( ) predikat faqat o’zgaruvchiga bog’liq va o’zgaruvchiga bog’liq emas bo’ladi. Ularga bo’yicha kvantorli amallarni qo’llaganimizda quyidagi mulohazalarga ega bo’lamiz:
, , , .
Masalan, to’g’ri chiziqlar to’plamida aniqlangan : « » predikatni ko’raylik. Agar predikatga nisbatan kvantorli amallarni tadbiq etsak, u holda quyidagi sakkizta mulohazaga ega bo’lamiz:
1. - «Har qanday to’g’ri chiziq har qanday to’g’ri chiziqqa perpendikulyar».
2. - «Shunday to’g’ri chiziq mavjudki, u har qanday to’g’ri chiziqqa perpendikulyardir».
3. - «Har qanday to’g’ri chiziq uchun shunday to’g’ri chiziq mavjudki, to’g’ri chizig’i to’g’ri chiziqqa perpendikulyar».
4. - «Shunday to’g’ri chiziq va shunday to’g’ri chiziq mavjudki, to’g’ri chiziq to’g’ri chiziqqa perpendikulyar».
5. - «Har qanday to’g’ri chiziq har qanday to’g’ri chiziqqga perpendikulyar».
6. - «Har qanday to’g’ri chiziq uchun shunday to’g’ri chiziq mavjudki, to’g’ri chiziq to’g’ri chiziqqga perpendikulyar».
7. - «Shunday to’g’ri chiziq va shunday to’g’ri chiziq mavjudki, to’g’ri chiziq to’g’ri chiziqqa perpendikulyar».
8. - «Shunday to’g’ri chiziq mavjudki, u har qanday to’g’ri chiziqqa perpendikulyar».
Bu misollardan ko’rinib turibdiki, umumiy holda kvantorlar tartibi o’zgarishi bilan mulohazaning mazmuni va demak, uning mantiqiy qiymati ham o’zgaradi.
Chekli son elementlari bo’lgan to’plamda aniqlangan predikat berilgan bo’lsin. Agar predikat aynan chin bo’lsa, u vaqtda mulohazalar ham chin bo’ladi. Shu holda mulohaza va kon’yunksiya ham chin bo’ladilar.
Agar hyech bo’lmaganda birorta element uchun yolg’on bo’lsa, u holda mulohaza va kon’yunksiya ham yolg’on bo’ladi.
Demak,
=
tengkuchli ifoda to’g’ri bo’ladi.
Yuqoridagidek fikr yuritish yo’li bilan

tengkuchli ifodaning mavjudligini ko’rsatish mumkin.
Bu yerdan kvantorli amallarni cheksiz sohalarda kon’yunksiya va diz’yunksiya amallarining umumlashmasi sifatida qarash mumkinligi kelib chiqadi.
REJA:

1.Predikat tushunchasi. Predikatlar ustida

mantiqiy amallar.
2.Umumiylik va mavjudlik kvantorlari.