История и методология физики

 
ρ
ν
 = Сν
2
Т, 
где С – некоторая величина, не зависящая от температуры.
Вывод этой формулы в дальнейшем уточнил Джинс, поэтому формулу стали называть 
формулой Рэлея-Джинса. Эксперимент показал, что в области длинных волн (или при 
достаточно 
высоких 
температурах) 
спектральная 
плотность 
излучения 
пропорциональна температуре, что соответствует формуле Рэлея-Джинса. Эту 
формулу вначале пытались применить ко всей области частот (или длин волн), что 
явно приводило к абсурду. Действительно, суммирование по всем частотам от нуля до 
бесконечности приводит к тому, что плотность энергии излучения оказывается 
бесконечно большой, что физически бессмысленно. 
Из формулы Рэлея-Джинса следует, что большая часть энергии в спектре 
теплового излучения приходится на коротковолновую, или, как говорят, на 
ультрафиолетовую часть, что противоречит эксперименту. Возникшее противоречие 
Пауль Эренфест назвал «ультрафиолетовой катастрофой», или парадоксом Рэлея-
Джинса. В связи с этим патриарх классической физики Хендрик Лоренц отмечал, что 
«уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасшая 
печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин волн». 
Такое положение, когда распределение энергии всего спектра описывается 
двумя формулами, было не нормальным. Оно свидетельствовало, что 
фундаментальная закономерность связи между энергией излучения, температурой и 
длиной волны остается неизвестной. Поэтому поиски универсальной формулы 
продолжались. 

---

Лекция 15 
КВАНТОВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 
Возникновение квантовых представлений 
Среди многих физиков конца XIX в., пытавшихся найти выражение для 
спектральной функции ρ
ν
(или ρ
λ
), которое согласовалось бы с экспериментальными 
данными, был Макс Карл Эрнст Людвиг Планк. Смысл первого шага Планка был 
принципиально прост – найти математическую формулу, которая совмещала бы обе 
предыдущие – Вина и Рэлея-Джинса. Планку впервые удалось получить формулу, 
объясняющую все свойства теплового излучения черного тела.
Многими годами позже он вспоминал, что знаменитая формула была найдена им 
в воскресенье, 7 октября 1900 г. По его словам, в этот день к нему в гости пришел его 
коллега физик-экспериментатор Генрих Рубенс. Во время беседы Рубенс рассказал о 
недавних экспериментах, из которых следовало, что для коротких длин волн интен-
сивность излучения достаточно хорошо описывается законом Вина, а для длинных 
волн интенсивность пропорциональна температуре. В тот же вечер, по свидетельству 
Планка, он получил интерполяционную формулу для функции ρ
λ
которая при малых 
длинах волн переходила в формулу Вина, а в случае больших длин волн в формулу 
Рэлея-Джинса. Вот эта формула:
Постоянные с
1
и с
2
должны быть определены из сопоставления с опытными 
данными. Свою формулу Планк представил в докладе «Об улучшении формулы Вина 
для спектрального распределения» на заседании Немецкого физического общества 19 
октября 1900 г.
Планк открыл свою формулу путем гениально угаданной интерполяции. 
Оставалось однако главное дело проблема надлежащего теоретического обоснования 
этого полуэмпирически найденного закона. Поэтому он вернулся к обнаруженной 
Больцманом связи между энтропией и вероятностью. По воспоминаниям Планка это 
было так: поскольку, по Кирхгофу, законы равновесного излучения не зависят от 
формы и материала полости, то он использовал модель полости, которая состоит из 
излучающих и поглощающих атомов, представляемых в виде осцилляторов различной 
частоты, и вычисли вероятность числа колебаний линейного осциллятора. При этом он 
исходил из неслыханно новой, только по необходимости им введенной идеи о том, что 
возможны только дискретные ступени энергии. В таком случае действительно 
получался закон излучения, найденный с помощью интерполяции. 

---

Таким образом, Планк нашел удивительно точную формулу для распределения 
энергии в спектре черного тела. Однако он понимал, что эта формула является «лишь 
счастливо обнаруженной интерполяционной формулой, поэтому, с самого дня ее 
установления передо мной, - как он писал впоследствии, - возникла задача - отыскать 
ее подлинный физический смысл, и эта проблема привела меня к рассмотрению связи 
между энтропией и вероятностью в духе развития идей Больцмана. Именно на этом 
пути после нескольких недель напряженнейшей в моей жизни работы темнота 
прояснилась, и передо мной забрезжил свет новых далей». 
В дальнейшем вместо постоянных с
1
и с
2
Планк ввел новые постоянные ħ и k. 
Этот закон удовлетворял закону смещения Вина, если ступени энергии отличались 
друг от друга на величину ħ
λ
, где ħ – новая универсальная константа, элементарный 
квант действия. Таким образом, теоретическая формула излучения становилась 
тождественной формуле, найденной путем интерполяции. Численное значение ħ  
получилось на основании измерений равным ħ = 6,55·10
-27
эрг·с, а значение k 
=1,346·10
-16 
эрг/град. 
Планк вычислил также число Лошмидта и заряд электрона, численные значения 
которых согласовывались с имевшимися в то время данными. Это, конечно, не могло 
быть случайным и свидетельствовало о справедливости квантовой гипотезы. 
При малых частотах излучения (по сравнению с энергией теплового движения) 
из формулы Планка следует, что спектральная плотность излучения пропорциональна 
температуре, т.е. полностью соответствует формуле Рэлея-Джинса. В случае высоких 
частот (малых длин волн) из формулы Планка вытекает формула Вина. Тем самым 
«ультрафиолетовая катастрофа» устраняется. Она, собственно, возникла из-за того, 
что формулу Рэлея-Джинса неправомерно распространяли на всю область частот 
излучения. Для любых частот справедлива формула Планка, которая не содержит в 
себе никакого парадокса и полностью согласуется с экспериментальными данными. 
Интегральная плотность излучения, вычисленная с помощью формулы Планка, 
оказывается конечной, в точности соответствует известному в термодинамике закону 
Стефана-Больцмана. 
Итак, Планк показал, что «элемент энергии» равен ε = ħν, т.е. что энергия 
осциллятора переносится квантами - дискретными порциями ħν.
Это был 
революционный шаг в развитии физики. Как писал Анри Пуанкаре, теория Планка, 
согласно которой «...физические явления перестают повиноваться законам, 
выражаемым дифференциальными уравнениями, есть без всякого сомнения самая 
большая и самая глубокая революция, которую натуральная философия претерпела 
со времен Ньютона». 
Идея о квантах энергии противоречила и механике, и электродинамике, но иного 
выхода Планк не видел. Сам Планк еще долго пытался с помощью различных гипотез 
объяснить распространение излучения на основе волновых представлений, и лишь под 
напором экспериментальных фактов он вынужден был оставить свои попытки. В 

---

1918г. за открытие кванта действия Максу Планку была присуждена Нобелевская 
премия по физике. 
Квантовая идея Планка, как это часто бывает с революционными идеями, не 
сразу была воспринята его современниками. В этом отношении характерны 
воспоминания одного из основателей квантовой механики Макса Борна: «Как же 
были приняты эти идеи? Я позволю себе говорить о моем собственном опыте. В 
Геттингене, насколько я припоминаю, я ничего не слышал о квантах; также и в 
Кембридже, где я весной и летом 1906г. несколько месяцев слушал лекции Дж.Дж. 
Томсона и Лармора и прошел экспериментальный курс в Кавендишской лаборатории. 
Только тогда, когда я осенью 1906г. приехал в Бреслау к Люммеру и Прингсхейму, я 
попал в настоящую квантовую атмосферу. Ибо оба они сделали существенный вклад 
в экспериментальное изучение черного излучения. Но хотя в центре дискуссии стояла 
формула Планка, обсуждающие склонны были гипотезу Планка о квантовании 
энергии осциллятора рассматриватъ как предварительную рабочую гипотезу, а 
световые кванты Эйнштейна всерьез не принимали...».
Анализу логической структуры квантовой теории излучения был посвящен ряд 
работ Эренфеста. Он показал, что из классической статистики газо-кинетического 
ансамбля вытекает только закон Рэлея-Джинса, и, следовательно, закон Планка не 
совместим с этой статистикой. С другой стороны, российский физик Юрий 
Александрович Крутков (1890-1952) в 1914 г. показал, что из классической статистики 
световых квантов следует только формула излучения Вина. Последовательное 
обоснование закона Планка стало возможным с помощью квантовой статистики Бозе-
Эйнштейна, развитой в 1924 г.