Исследовательская работа Геометрические неравенства в планиметрии

Соотношение между элементами треугольника 
При доказательстве геометрических неравенств часто применяются также 
теоремы о соотношениях между сторонами и углами в произвольном тре-
угольнике.
«В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона и, 
наоборот – напротив большей стороны лежит больший угол». 
Задача№6. 
В 
∆
ABC серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает
Сторону AB в точке D и продолжение стороны AC в точке E. 
Докажите, что ADРис.6 
Доказательство: 
∆
CDB – равнобедренный, так как медиана DM является вы-
сотой и биссектрисой.
∠
CDM=
∠
BDM, 
∠
BDM=
∠
ADE (вертикальные углы)

---

10 
∠
CDM – внешний для треугольника CED. 
Значит 
∠
СDM=
∠
AED+
∠
ACD 
В треугольнике ADE,
∠
ADE>
∠
AED+
∠
EAD 
Следовательно, 
∠
ADE >
∠
AED, так как напротив большего угла лежит
большая сторона, то AE>AD
Что и требовалось доказать. 
Задача №7. 
На сторонах угла A взяты точки B и C. Через середину отрезка BC проведена 
прямая, пересекающая стороны угла AB и AC в точках D и E соответственно. 
Докажите, что площадь треугольника ADE больше площади треугольника 
ABC 
Рис.7 
Доказательство: Рассмотрим отрезки DK и KE. 
D лежит между точками A и B. 
DK

---

11 
CDBE был бы параллелограммом, т.е AM
║ AN
(если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения де-
лятся пополам, то такой четырехугольник - параллелограмм) 
Значит, S DBK=1/2 DК*ВК SinDКВ, S CKE=1/2СК*КЕ Sin СКЕ,
S DВК< SСКЕ
S ABC=S ADKC+S DBK
S ADE=S ADKC+S CKE 
Что и требовалось доказать.

---

12