|
Теорема 3.1.2. Пусть выполнены условия (3.1.3) и теоремы 3.1.2. Тогда решение задачи (3.1.2) единственно.
Доказательство. Предположим, что , , и , , - решения задачи (3.1.2), и пусть , . Тогда каждая группа удовлетворяет тождеству (3.1.13). Вычитая, получаем, что
(3.1.14)
где , - решение между и , т.е.
Из леммы 3.1.1 имеем
Теперь нам нужно оценить разности ,
Для получаем
где , - ограниченные и непрерывные функции. Из этой задачи по принципу максимума имеем
(3.1.15)
Для имеем
где , - ограниченные и непрерывные функции.
Из этой проблемы, используя принцип максимума, заключаем, что
(3.1.16)
Пусть Тогда
Из (3.1.15) и (3.1.16) имеем
where
Теперь, когда все необходимые оценки установлены, применение идеи из [32, теорема 2] может завершить доказательство теоремы.
V. Существования решения
Теорема 3.1.4. Пусть выполнены условия и теоремы 3.1.2. Тогда существует в решение задачи (3.1.2).
Доказательство. Для доказательства разрешимости нелинейной задачи можно использовать различные теоремы из теории нелинейных уравнений, помня, что для нее справедлива теорема единственности классического решения. Применим принцип Лере-Шаудера [33], установленные априорные оценки для всех возможных решений нелинейных задач и теорема о разрешимости в классах Гельдера для линейных задач. Более того, теоремы существования для систем такие же, как теоремы для случая одного уравнения, поскольку каждое из уравнений можно рассматривать как линейное уравнение для и с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами.
Задача (3.1.2) рассматривается одновременно с однопараметрическим семейством однотипных задач. Линейная задача определяет преобразование , к которому применяется принцип Лере-Шаудера. Этот оператор нелинейный и зависит от . Его неподвижные точки с являются решениями проблемы.
Обозначим через банахово пространство функций , на с нормой , которые удовлетворяют соответствующим начальным и граничным условиям задачи (3.1.10) и (3.1.11)).
Для каждой функции и любого числа обозначим через, решения линейных задач (3.1.10) и (3.1.11), решения которых существуют и единственны; кроме того, . Более того, в области , как и в лемме 3.1.1, мы переходим к параболическому уравнению с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами в фиксированной области.
Равномерная непрерывность и полная непрерывность оператора преобразования относительно , равномерные оценки решений и разрешимость линейных задач следует из установленных априорных оценок норм Гёльдера. Техника доказательства подробно продемонстрирована, например, в (гл. VII, [33]; гл. VI, [31]).
Это завершает доказательство теоремы.
Источник финансирования. Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант (название, №).
Научный руководитель… (полное ФИО, название организации пишется в именительном падеже, без указания статуса).
Автор благодарит…
Список литературы
(исключаются учебники, учебно-методические пособия, рукописи (диссертации, авторефераты))
1. Asrakulova D. and Elmurodov A.N., A reaction-diffusion-advection competition model with a free boundary. Uzbek Mathematical Journal 65(3), 25-37 (2021).
2. Chen X, Friedman A. A free boundary problem arising in a model of wound healing, SIAM J. Math. Anal. 2000, Vol.32, pp. 778-800.
3. Duan B., Zhang Z.C. A two-species weak competition system of reaction-diffusion-advection with double free boundaries, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 2019, Vol.24, No.2, pp. 801-829.
4. Du,Y.H., Lin, Z.G. The diffusive competition model with a free boundary: invasion of a superior or inferior competitor. Discrete Contin. Dyn. Syst. B, 19(2014), 3105-3132.
5. Elmurodov A.N., The paper considers the two-phase Stefan problem for systems of reaction-diffusion equations. Uzbek Mathematical Journal №4, 54--64 (2019).
6. Guo, J.S. , Wu, C.H. On a free boundary problem for a two-species weak competition system. // J. Dynam.Diff. Equat., 24(2012), 873-895.
7. Friedman A. Free boundary problems in biology. Philos Trans R Soc. 2015, A 373: 20140368.
8. Kruzhkov S. N., Nonlinear parabolic equations in two independent variables. Trans. Moscow Math. Sot. 1967, Vol. 16, pp. 355-373 (Russian).
9. Ladyzenskaja O. A., Solonnikov V. A. and Ural’ceva N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. Transl. Math. Monogr., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968.
10. Liu Y., Guo Z. El Smaily M. and Wang L. Biological invasion in a predator–prey model with a free boundary, //Liu et al. Boundary Value Problems (2019) 2019:33 https://doi.org/10.1186/s13661-019-1147-7
11. Lin Z.G., A free boundary problem for a predator-prey model, Nonlinearity 20 (2007), pp.1883–1892.
12. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press, New York, 1992.
13. Ren-Hu Wang, Lei Wang, Zhi-Cheng Wang Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term, J. Math.Anal.Appl. 2018, Vol. 467, pp. 1233-1257.
14. Wang, M.X. , Zhang, Y. Two kinds of free boundary problems for the diffusive preypredator model. // Nonlinear Anal.: Real World Appl., 24(2015), 73-82.
15. Wu, C.H. The minimal habitat size for spreading in a weak competition system with two free boundaries. J.Diff. Equat., 259(2015) , 873-897.
16. Zhou L. An evolutional free-boundary problem of a reaction-diffusion-advection system. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 2017. Vol. 147, Issue 3. pp. 615-648.
17. Zhang Y., Wang M. A free boundary problem of the ratio-dependent prey-predator model. //Appl.Anal. (2015), 94(10), pp. 2147--2167.
Do'stlaringiz bilan baham: |
