Issiqlik almashinuvi jarayonini o’rganish texnika va tabiiy bilimlar rivojida doimo muhim o’rinni egallab kelgan

Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi
Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraymiz. Chekli sohada
(1)
issiqlik tarqalish. Tenglamasining
, (2)
boshlang’ich va
(3)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bunda , , va berilgan uzluksiz funksiyalar.
Qaralayotgan (l)-(3) masala yechimining mavjudligini bir jinsli chegaraviy shartli masalaga keltirib isbotlaymiz.
Buning uchun va funksiyalarni sinfdan bo'lsin, deb talab qilamiz. U holda (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi

yordamchi funksiya kiritamiz, ya'ni

Endi (1) tenglamaning (2) boshlang'ich va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini quyidagi
(4)
yig'indi ko'rinishida izlaymiz. Bu yerda yangi noma'lum funksiya. (2) boshlang'ich va (3) chegaraviy shartlar asosida funksiyaga nisbatan quyidagi



chegaraviy va boshlang'ich shartlarga ega bo’lamiz. Noma'lum funksiyaga nisbatan tenglama esa


yoki
(5)
bo’lib, bunda
.
Shunday qilib, nomadum funksiyani topish uchun quyidagi masalaga keldik. Bir jinsli bo'lmagan (5) tenglamaning
(6)
boshlang’ich va bir jinsli
(7)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda funksiya uzluksiz va bo’yicha bo'lakli uzluksiz hosilaga ega hamda barcha lar uchun bo'lsin, deb talab qilamiz.
Oxirgi (5)-(7) masalaning yechimini

yig’indi ko’rinishida izlaymiz. Bu yerda funksiya bir jinsli issiqlik tarqalish tenglamasining (6)-(7) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi. (20) formula bilan, Fur’e koeffitsienti esa (22) formula bilan aniqlangan. (22) formulani inobatga olib, (20) qatorni quyidagi

ko’rinishida yozish mumkin.
υ₂( ) funksiyasi esa (5) tenglamaning bir jinsli boshlang’ich va (7) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimdan iborat ya’ni

tenglamaning bir jinsli
υ₂(x,0)=0, υ₂(0,t)=0 υ₂(l,t)=0
boshlang’ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat.
Oxirgi masalaning yechimini

ko’rinishida izlaymiz. funksiyani sinuslar bo’yicha Fur’e qatoriga yoyib, ushbu

ifodani olamiz. Bu yerda

Endi (8) qatorni (5) tenglamaga qo’yamiz va (9) ifodani hisobga olib, da o’rinli bo’lgan quyidagi

tenglik hosil qilamiz. Bunda esa

tenglamalarga ega bo’lamiz.
Endi (8) qatorni (6) bir jinsli boshlang’ich shartga qo’yib

ekanligini topamiz, bunda esa funksiya uchun

boshlang’ich shartlarni olamiz.
Hosil bo’lgan (11)-(12) ifodalar chiziqli differensial tenglama uchun Koshi masalasi bo’lib, uning yechimini topish ortiqcha qiyinchilik tug’dirmaydi, O’zgarmasni variatsiyalash usuli yordamida bu masalaning yechimi

tarqali
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   M. Salohiddinov-“Matematik fizika tenglamalari”
   
2. 
   O.S.Zikirov –“Matematik fizika tenglamalari