Isoblash matematikasi

Teorema: yadro regulyar va uzluksiz funksiya bo„lsin.

1)Agar soni yadroning xos qiymati bo„lmasa, u holda unga mos (1.2) tenglama yagona , uzluksiz yechimga ega bo`ladi.

2) Agar soni yadroning xos qiymati bo„lmasa, u holda bir jinslimas (1.2) tenglamalar yoki yechimga ega bo„lmaydi yoki cheksiz ko„p chiziqli bog`lanmagan yechimga ega bo„ladi. Agar (1.2) tenglamada yadro , shartni qanoatlantirsa, unga simmetrik yadroli ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi deyiladi. Simmetrik yadro uchun quyidagi xossalar o„rinli:

1) Har qanday simmetrik yadro kamida bitta xos qiymatga ega bo`ladi.

2) Simmetrik yadroning barcha xos qiymatlari haqiqiy sonlardir

3) Simmetrik yadroning barcha va sonlariga mos va xos funksiyalari ortogonaldir, ya`ni

Misol.

soha

oddiy yopiq bo`lakli silliq kontur (chiziq)lar bilan chegaralangan bo`lsin. U holda Dirixle masalasi, ya`ni

,

, ( sohaning chegarasi, berilgan funksiya)

Chegaraviy masalaning yechimi quydagicha ifodalanshi mumkin.

Bu yerda



funksiya ushbu

integral tenglamaning yechimi; yadro esa quyidagicha bo`ladi:

Xususiy holda, soha chegarasi ellips bo`lganda

yadro quydagicha bo`ladi:

Nihoyat ushbu

tenglama uchinchi tur integral tenglama deb ataladi. Agar kesmada

a) bo„lsa, undan (1.1) tenglama;

b) bo„lsa, undan (1.2) tenglama kelib chiqadi. Yuqorida biz anishgan integral tenglamalarning barchasida noma‟lum funksiya bir argumentlidir, ya‟ni birgina erkli o`zgaruvchining funksiyasidir. Misol uchun quyidagi integral tenglamani olaylik:

Bunda , , , , . Demak, bu tenglama Fredgolmning ikkinchi tur tenglamalaridan ekan.