Islombekning «Differensial tenglamalar va matematik fizika» fanidan kurs ishi

1-misol:
deb olib ( -ixtiyoriy o’zgarmas),
,
Munosabatlarga ega bo’lamiz, bu yerdan

To'liq integralni olamiz.
2-misol:
Berilgan tenglamani
( -ixtiyoriy o’zgarmas)
ko’rinishida yozib olamiz. Bu yerdan

munosabatlarga ega bo’lamiz. Oxirgi tenglamani integrallab,

to’liq integralni topamiz.
3-misol:
Agar deb olib, so’ngra, va ning

Ifodalariniberilgantenglamagaqo’yib,
yoki
Tenglamaniolamiz. Oxirgioddiydifferensialtenglamaniintegrallab, ( -ixtiyoriyo’zgarmas), yoki to’liqintegralniolamiz.

2.2. Lagranj-Sharpi usuli. Koshi usuli.

Chiziqli bo’lmagan ushbu

tenglamaning ko’rinishi murakkabroq bo’lgan hollarda to’liq integral topishning umumiyroq usullaridan foydalanamiz. Shunday usullardan biri Lagranj-Sharpi usulidir.
Bu usulga ko’ra, (1) tenglamaga mos kelganda shunday bir
(2)
tenglama tanlab olinadiki, (1) va (2) tenglamalardan tuzilgan sistemani yechishdan topilgan , funksiyalardan bitta qadamda integrallanadigan
(3)
Pfaff tenglamasini tuzish mumkin bo’ladi. Bu holda Pfaff tenglamasining =0 integrali (b-ixtiyoriy o’zgarmas) (1) tenglamaning to’liq integrali bo’ladi. funksiya (3) tenglamaning bitta qadamda integrallanuvchanlik shartidan topiladi:
, bu yerda , ya’ni, yoyilgan holda
(4)
Bu shartdagi

hosilalarni topish uchun

Sistemadagi ayniyatlarni differrensiallash kerak.
bo’yicha differensiallab topamiz:

Bu yerdan

Xususiy hosilaning qiymatini aniqlaymiz. Xuddishunga o’xshash , (1), (2) sistemani y bo’yicha differensiallab, nitopamiz:

Nihoyat, (1),(2) sistemni bo’yicha differensiallab, hosil bo’lgan sistemadan va hosilalarni topamiz:

Topilgna hosilalarni (4) shartga qo’yib, bir nechta amallarni bajarib, ni aniqlash uchun bir jinsli chiziqli tenglama olamiz.
_Endi

tenglikdan (7) sistemaning kamida bitta birinchi integrali topiladi. Agar va funksiyalar va ga nisbatan bog’liqsiz bo’lsa, ya’ni bo’lsa, u xolda topiladi birinchi integral aynan (6) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Shunga binoan,
,
Tenlamalar sistemasidan va funksiyalarni aniqlab va (3) tenglamaga qo’yib, bitta qadamda integrallanadigan Pfaff tengalamasini olamiz. O’z navbatida bu tenglamani ham yechib dastlabki (1) tenglaning to’liq integraliga ega bo’lamiz.
(1) tenglamaning to’liq integralini bilgan holda, umuman aytganda, asosiy boshlang’ich shartli masalani yoki
(8)
Biror berilgan egri chiziq orqali o’tuvchi integral sirtini topish haqidagi umumiyroq tenglamani yechish mumkin.
funksiyani shunday topish kerakki, ushbu
(9)
Bir parametrli chiziqlar oilasining (9) va
(10)
Tenglamalardan topiladigan o’ramasi berilgan (8) egri chiziq orqali o’tsin. Ammo bu tenglamalardan funksiya tpish ancha murakkab. Bu funksiyani
(11)
Tenglamalardan, yoki qisqa yozuvda tenglamalranianiqlash qulayroq, -
berilgan (8) egri chiziqqa o’tkazilgan urinmaning vektori, esa sirtga, demakki, izlanayotgan o’ramaga tegishli nuqtalarda o’tkazilgan normal vektori.
_{Koshi usuli. Koshining umumlashgan masalasi quyidagicha qo’yiladi:}
tenglamanig berilgan

Egri ciziqdan o’tuvchi integral sirti topilsin.
Qo’yilgan masalani yechish uchun avvalo

Tenglamalardan funksiyalarni aniqlaymiz. So’ngra topilgan funksiyalardan foydalanib, ushbu

Tenglamalar sistemasining da

Boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimini topamiz. (3), (4) masalaning yechimi bo’lgan funksiyalar aynan o’sha integral sirtiningparametrik tenglamasi bo’ladi.
Koshi usuli ushbu

ko’rinishdagi tenglamaga ham umumlashtirish mumkin. (5) tenglamaning berilgan o’lchovi o’chovli

Sirt orqali o’tuvchi -o’lchovli integral sirtini topish talab etilgan bo’lsin.
(5), (6) masala quydagicha yechiladi. Avvalo ushbu
(7)
(8)
Tenglamalardan funksiyalarni aniqlab olinadi. So’ngra

Yordamchi tenglamalar sistemasining quyidagi

boshlang'ich shartini qanoatlantiradigan yechini topamiz. Natijada izlanayotgan integral sirtning parametrik tenglamasini hosil qilamiz: