Islom karimov nomidagi toshkent davlat texnika universiteti olmaliq filiali konchilik ishi va metallurgiya fakulteti

Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi x0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi y0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz dеyilаdi vа y=0 kabi yozilаdi.      x=x₀+x,   x=x-x₀,    y=f(x₀+x)-f(x₀),    y=f(x)-f(x₀)

y= (f(x₀+x)-f(x₀))= (f(x₀+x-х₀)-f(x₀))= (f(x)-f(x₀))=0 Misоllar

1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.

y+y=2(x+x)+1,  ayirmani topamiz y=2x+2x+1-2x-1, y=2x

y= 2x =0

2) y=x³

y+y=(x+x)³      

y=x³+3x²x+3x(x)²+x³                y=x³+3x²x+3xx²+x³-x³

y=x(3x²+3xx+x²)        

y=  (3x²+3xx+x²)x=0.

3) f(x)=cosx funksiyaning x₀R nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.

Yechish. x₀R nuqtani olib unga x orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu y=cos(x₀+x)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -<x<  bo`lganda

|y| = |cos(x₀+x) - cosx₀|=

munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa x0 da y0 bo`lishi kelib chiqadi.

Aytaylik, y=f(x) funksiya xR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀X) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda xx₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:

1)               chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va

f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz bo`ladi;

2) f(x₀-0), f(x₀+0) lar mavjud, lekin f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)x=x₀ nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;

3) f(x₀-0), f(x₀+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x₀ nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;

4) f(x₀-0)=f(x₀+0)f(x₀) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.

Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.

Yechish. Demak,  [x]=1,   =2

Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.

5. Aniqmasliklar va ularni ochish

1.Aniqmasliklar. limitni hisoblashda funksiyalar ch.kich.f. lar bo’lsa, nisbatga da (0/0) ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. funksiyalar ch.kat.f. lar bo’lsa,

nisbatga da ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi. Xuddi shunga o’xshash aniqmasliklar

limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni ochish deyiladi.

va ( ) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi: va funksiyalar nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning dagi limiti ham teng bo’ladi.

Masalan, va funksiyalar ning

dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki

Yuqoridagi xossaga asosan,

bo’ladi, ya’ni

natijaga ega bo’lamiz.

Funksiyalarning limitini topishga bir necha misollar qaraymiz.

1-misol.

ekanligini funksiya limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang.

Yyechish. Buni isbotlash uchun o’zgaruvchi miqdor va o’zgarmas miqdor orasidagi farq da cheksiz kichik funksiya ekanligini ko’rsatish kifoya. Demak,



o’zgaruvchi miqdor da cheksiz kichik funksiyadan iborat. SHunday qilib,

.

2-misol.

ekanligini isbotlang hamda va larning qiymatlari jadvali bilan tushuntiring.

Yechish. bo’lganligi uchun cheksiz kichik miqdordir.

ni ayirmaga qo’yib,

natijaga ega bњlamiz.

cheksiz kichik funksiya bo’lganligi uchun ham cheksiz kichik bo’ladi. SHunday qilib, isbot bo’ldi.

Endi yuqoridagi holatni argument, funksiya qiymatlari jadvali bilan ko’rsataylik. Ma’lumki intiladi.

	2	2,5	2,8	2,9	2,99	2,999
	2	4	5,68	6,32	6,9302	6,993002

Bu jadvaldan ko’rinadiki, argumentning 3 ga yaqinlashib boruvchi qiymatlari uchun, funksiyaning mos qiymatlari 7 ga yaqinlashib boradi, ya’ni cheksiz kichik miqdorga ayirmaning ham cheksiz kichik miqdori to’g’ri keladi. Yuqoridagi jadvalda bo’lib, holni qaradik. bo’lib, holni o’quvchiga mustaqil ko’rsatishni tavsiya qilamiz.

3-misol.

limitni hisoblang.

Yechish. Algebraik yig’indining limiti, (5) formula, o’zgarmas ko’paytuvchini limit ishorasidan chiqarish (7) formulalarga asosan:

hosil bњladi.

Yuqoridagi misolda, limitlarning xossalariga asosan, argument ning o’rniga uning limitik qiymatini qo’yishga olib keldi.

4-misol.

limitni hisoblang.

Yechish. Ikkita funksiya nisbatining limiti (8) formula hamda oldingi misolda foydalanilgan limitlarning xossalarini qo’llasak,

bo’ladi.

Ratsional funksiyaing limitini hisoblash shu funksiyaning argument ning limitik qiymatidagi, qiymatini hisoblashga keltirildi.

Eslatma. elementar funksiyalarning intilgandagi limiti ( aniqlanish sohasiga tegishli) funksiyaning nuqtadagi qiymatiga teng bo’ladi. Masalan,

.

5-misol. limitni hisoblang.

Yechish. da surat ham, maxraj ham nolga aylanib ko’rinish-dagi aniqmaslik hosil bo’ladi.

Surat va maxrajni formula yordamida chiziqli ko’paytuvchilarga ajratamiz. Bunda va lar kvadrat tenglamaning ildizlari. Demak,

bњladi.

6-misol. limitni hisoblang.

Yechish. da ko’rinishdagi aniqmas ifodaga ega bo’lamiz. Bunday aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat va maxrajini ning eng yuqori darajalisiga, ya’ni ga bo’lamiz, hamda limitlarning xossalaridan foydalansak

bo’ladi. Bunda lar da cheksiz kichik funksiyalardir.

7-misol. limitni hisoblang.

Yechish. da surat va maxraj 0 ga teng bo’ladi. Maxrajda irratsional ifoda mavjud, uni suratga o’tkazamiz, buning uchun kasrning surat va maxrajini ga ko’paytiramiz.

8-misol. limitni hisoblang.

Yechish. bo’lganligi uchun

natijani olamiz.

9-misol. limitni birinchi ajoyib limitdan

foydalanib hisoblang.

Yechish. , deb almashtirsak, bundan , bo’ladi.

SHuning uchun,

,

chunki

.

10-misol. limitni ikkinchi ajoyib limitdan foydalanib hisoblang.

Yechish. da limitga o’tsak, ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. bilan almashtirsak, bu yerdan hamda da bo’ladi..Demak,

kelib chiqadi.

SHundayqilib, .
11-misol. limitni hisoblang.

Yechish: da va bo’lib, ( ) ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi.

.

Oxirgi ifoda da aniqmas ifoda bo’ladi. SHunday

qilib,

.

12-misol. limitni hisoblang.

Yechish. da ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. Quyidagi shakl almashtirishni bajaramiz:

Oxirgi ifoda da ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, 11-misoldagidek ning yuqori darajalisiga surat va maxrajini bo’lib,

bunda da bo’ladi.

Xulosa
Xulosa o’rnida shuni aytishim lozimki funksiyalar matematikaning asosiy tushunchasidir, uning yordamida tabiat va jamiyatdagi ko’p jarayon va hodisalarni modellashtirishda va matematik tahlil qilishda sonlardan foydalanishga va ularning toplamlarini tushunamiz.

Men ushbu mutaqil ishni yozish davomida funksiyalarning limitlari , xossalari ,funksiyaning cheksiz kichik va cheksiz katta limitlar , funksiyaning birinchi va ikinchi ajoyib limitlar , funksiyaning ckeksiz kichik miqdorini taqqoslash haqida qisqacha ma’lumotga ega bo’ldim.

Limit (lot. Limes — chek, chegara) — mat.ning muhim tushunchalaridan biri. Agar bir oʻzgaruvchiga bogʻliq ikkinchi oʻzgaruvchi birinchi oʻzgaruvchining oʻzgarish jarayonida a songa cheksiz yaqin-lashsa, a soni ikkinchi oʻzgaruvchi miqdorning limiti deyiladi. Bu yerda L. tushunchasi oʻzgarish va cheksiz yaqinlashish jarayoni haqidagi tasavvurga bogʻliq. Limitning aniq matematik taʼrifi 19-asrboshlarida shakllandi (qarang ketma-ketlik). Natijada mat.da yangi usul — limitlar usuli paydo boʻldi. Bu usulning tatbiqi va rivoji differensial hisob va integral hisobning yaratilishiga, matematik analizning vujudga kelishiga olib keldi.

Limit nazariyasida limitlarning xossalari tekshiriladi, oʻzgaruvchi miqdor limitning mavjud boʻlishi shartlari oʻrganiladi, bir necha sodda oʻzgaruvchi miqdorlarning limitlarini bilgan holda murakkab funksiyalar limitlarini qisob-lashga imkon beradigan qoidalar to-piladi. Limit nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri cheksiz kichik — limitii nolga teng boʻlgan oʻzgaruvchi miqdor tushunchasi. Limit nazariyasining yaratilishiga I. Nyuton, J. D’Alamber, L. Eyler, O. Koshi, K. Veyershtrass, Bolsanolar katta hissa qoʻshishgan


Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Oli matematika O’quv qo’llanma( M . Karimov , R . Abdikarimov )
   
2. 
   Oliy matematikadan amaliy mashg'ulotlar (N.V.Bogomolov).
   
3. 
   Sh.R. Xurramov. Oliy matematika (masalalar to‘plami, nazorat topshiriqlari)
   
4. 
   II Oliy matematika (Sh .R. Xurramov
   
5. 
   http://www.google.com
   
6. 
   http://www.wikipedia.com
   
7. 
   http://www.yandeks..com