Ishni bajarilish tartibi va qo’yilgan vazifa

Ishdan maqsad: O’zaro tub sonlar va modul amali xossalari, sanoq sistemasi, mantiqiy amallar haqida amaliy ko’nikmalarga ega bo’lish.

Ishni bajarilish tartibi va qo’yilgan vazifa

Sonning moduli, sanoq sistemasiga oid misollar berilgan bo‘lib unda talabalar o’zning tartib raqamida berilganlarni bajarilsin va qadamma – qadam izohlansin.

T.J.R	Modulning xususiyatlari	n>0 va a<0 holda b=a mod n ni toping ?	(e*d)modn=1 у va n berilgan holda d ni toping?	X2- >Y10	X8- >Y10	X16- >Y10
2	a=6; b=-7; c=8; n=8;	a=-54; n=8;	n=19; e=4;	10101011	2512	1AF

1. a=6; b=-7; c=8; n=8;
(a+b)mod n=((a mod n)+(b mod n))mod n,
(a-b)mod n=((a mod n)-(b mod n))mod n,
(a·b)mod n=((a mod n) · (b mod n))mod n,
(a· (b+c)mod n=(((a·b) mod n)+(a·c) mod n))mod n.

1. 
   (6-7)mod 8 = 7 izoh: -1 ni 8 ga bo’lganda butun qism qilib -1 ni olamiz. qoldiqni toppish -1*8 + q = -1 q = 7;
   

*Bu va bunday keying 3 misolda shu amallar ishlaydi!

2. 
   (6+7)mod 8 = 5
   
3. 
   (6*(-7))mod 8 = 6
   
4. 
   (6*(-7+8))mod 8 = 6
   

2. n>0 va a<0 holda b=a mod n ni toping ?

a = -54; n = 8; b = a mod n = -54 mod 8 = 2

izoh : -54 ni 8 ga bo’lganda -7 butun qismi bo’ladi . Bundan qoldiqni topadigan bo’lsak -7 * 8 + b = -54 tenglamani ishlash kifoya.
-56 + b = -54 b = 56-54 = 2
3. (e*d)modn=1 у va n berilgan holda d ni toping?
n=19; e=4; (4*d)mod19 = 1 ekan bundan , 4*d = q*19 + 1 tenglama kelib chiqadi . n = a; e = b; deb olamiz.
quyidagicha 3 ta to’plam misolimiz uchun ishlaydi U={a, 1, 0}, V={b, 0, 1}, T={U[1]modV[1], U[2]-[U[1]/V[1]]*V[2], U[3]- [U[1]/V[1]]*V[3]}
1. U = {19 , 1 , 0} , V = {4 , 0 , 1} , T = {19mod4 , 1 – [19/4]*0 , 0 – [19/4]*1} = {3 , 1 , 4} T[1] = 1 shart bajarilmadi shuning uchun , U=V={4 , 0 , 1} V=T={3 , 1 , -4} deb olamiz .
2. U = {4 , 0 , 1} , V = {3 , 1 , -4} , T = {4mod3 , 0 – [4/3]*1 , 1 – [4/3]*(-4)} = {1 , -1 , 5} ;
T[1] = 1 tenglik qanoatirilgani uchun T[3] = d formulani olamiz . d = 5
Tekshiramiz : 4 * 5 mod 19 = 20 mod 19 = 1 haqiqatdan tenglik d = 5 da o’rinli.
3. X2- >Y10 10101011
izoh : 2 likdan 10 lik sistemaga o’tkazish uchun sonning har bir raqamiga orqadan boshlab 2 ning darajalarini ko’paytirib chiqib natijani qo’shamiz . (* 2 ning 0 – darajasidan boshlaymiz ).
1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 128 + 32 + 8 + 2 + 1 = 171
Javob : 171
4. X8- >Y10 2512
3 – misoldagi holat bu misolda ham islaydi ya’ni har bir raqamga 8 ning darajasini ko’paytirib chiqib natijalani qo’shamiz.
2*8³ + 5*8² + 1*8¹ + 2*8⁰ = 1024 + 80 + 8 + 2 = 1114
Javob : 1114
5. X16- >Y10 1AF
3-4- misollardagi holat .
1*16² + A*16¹ + F*16⁰ = 256 + 160 + 15 = 431
*izoh : A = 10 , F = 15 deb olinadi .
Javob : 431

Nazorat savollari

1. O’zaro tub sonlar, tub sonlarga ta’rif bering va misollar keltiring.
2. Modul amali xossalarini misol orqali tushuntiring.
3. Butun sonlar va ularni kriptografiyada foydalanilishi.
Javoblar :

1. 
   # 1 dan boshqa umumiy bo’luvchlarga ega bo’lmagan ikki songa o’zaro tub sonlar deyiladi, misol uchun : 25 va 17.
   

# tub sonlar deb , faqatgina 1 ga va o’ziga bo’linadigan sonlarga aytiladi. Bularga misol : 13 , 97.

2. 
   Modul amalining hossasi shundan iboratki , modul ichida son musbat bo’ladimi manfiy bo’ladimi moduldan musbat tarzda chiqadi .
   

misol orqali tushunturadigan bo’lsak : |-13| = 13 bo’ladi.
|95| = 95 ligicha qoladi.

3. 
    Natural sonlar va ularga qarama qarashi sonlar hamda nol birgalikda butun sonlarni tashkil qiladi.
   

Z = {… , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , …}.
Kriptografiyada butun sonlar juda keng miqyosda foydalaniladi . Asosan kalit sifatida , ma;lumotla shifrlash va deshifrlashda ko’p foydalaniladi.