Inversiya, uning analitik ifodasi va xossalari Reja

e -'0t 9(o, x) — (62.2) 27'

bilan > co, shunday qilib, integratsiya konturi (biz uni (D-kontur) deb ataymiz) o ning yuqori yarim tekisligida cp(o, x) ning barcha yagonaligidan o‘tadi.
cp(o, x) funktsiyasi o'z navbatida x koordinatasiga nisbatan Furye integrali sifatida kengaytirilishi mumkin:
ikx 57 ' (62,3)
qisqalik uchun kldagi yig'indi olib tashlandi.
Funktsiya har bir aniq holatda tegishli tizimning chiziqli "harakat tenglamalari" ni echish orqali olinadi:
= gok/A(o, k), (62.4)
tBunday mezon birinchi marta PA Sturrok (1958) tomonidan yaratilgan. Quyida keltirilgan formula RJ Briggs (1964) tomonidan yaratilgan bo'lib, biz uning tahliliga asosan 62-64 yillarda amal qilamiz.
bu yerda gok dastlabki tebranish bilan belgilanadi, A(o, k) esa sistemaning oʻziga xos xususiyatdir. Masalan, plazmada "harakat tenglamasi" transport tenglamasi, A(o, k) - plazmaning bo'ylama o'tkazuvchanligi, g,ok esa (34.12) boshlang'ich tebranishning Furye komponenti bilan ifodalanadi. ).
Faraz qilamizki, gwk kompleks o‘zgaruvchilarning funksiyasi sifatida va k ning bu o‘zgaruvchilarning chekli qiymatlari uchun yagonaligi yo‘q, ya’ni ularning butun funksiyasi.t U holda ning barcha yagonaligi 1/A(o, k). Tenglama
(62,5)
sistemaning dispersiya munosabati. Uning ildizlari w(k) k to'lqin raqamining belgilangan (haqiqiy) qiymatlari bilan tebranishlar chastotalarini beradi. 34- da ko'rganimizdek, ma'lum bir qiymati k bo'lgan buzilishning Furye komponentining vaqt o'zgarishining asimptotik (t -4 00 kabi) qonunini aynan shu chastotalar aniqlaydi:

Shu asosda, fazoning ma'lum bir nuqtasida buzilishning o'zgarishining asimptotik qonunini aniqlash integralni tekshirishni talab qiladi.
e ikx dk. (62,6)
Beqarorlik mavjud bo'lganda, k ning ba'zi qiymatlari diapazonida integrandning bir omili t -+ 00 kabi cheksiz ortadi, ikkinchisi esa cheksiz tez tebranadi. Bu qarama-qarshi tendentsiyalar integralni baholashni qiyinlashtiradi.
Buning o'rniga, ga nisbatan integrallash amalga oshirilgunga qadar V(t, x) uchun (62.2) ko'rinishga qaytaylik. Biz w-konturni 'P(o, x) ning birinchi (eng yuqori, ya'ni eng katta o' bilan) singulyarligini "tutib olguncha" pastga qarab harakatlantiramiz; bu nuqta o = Oc da bo'lsin (aniq bo'ladiki, bu) x ga bog'liq emas).Shubhasiz, integralning asimptotik qiymati shu nuqtaning qo'shniligi bilan aniqlanadi, shuning uchun
^c = exp(— ioc't + oc"t). (62.7)
Agar wc" > 0 bo'lsa, har qanday qo'zg'almas x nuqtasida buzilish kuchayadi, ya'ni beqarorlik mutlaq, lekin agar (Dc" < 0 bo'lsa, tebranish belgilangan nuqtada nolga intiladi, ya'ni beqarorlik konvektivdir. Shunday qilib, talab qilinadigan mezon oddiygina o'z ichiga oladi. wc ni aniqlash.
cp(o, x) funksiyasi (62.3) integral bilan (62.4) bilan berilgan:
. dk
(62.8) 27
tBunday bo'lishi uchun har doim boshlang'ich to'lqin paketi fazoda etarlicha tez kamayishi kerak (ex (— alxl) dan tezroq).
562 Mutlaq va konvektiv beqarorliklar
gwk k ning butun funksiyasi deb qabul qilinganligi sababli, k kompleks o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan integralning singulyarliklari 1/A(o, k) ning singulyarliklarida bo'ladi; bular odatda qutblar, (62.5) ning k(o) ildizlari.
O ning qandaydir qiymati uchun CD-konturdagi nuqta, yetarlicha katta musbat xayoliy qismga ega (J' = c, 22-rasmda ko'rsatilganidek, o'ziga xosliklar k-tekisligida yotsin: ba'zilari yuqorida, ba'zilari esa ichida. pastki yarim tekislik. Biz k-kontur deb ataydigan (62.8) k ga nisbatan integrasiya konturi real o‘q bo‘ylab yotadi. Endi o‘ ni asta-sekin qisqartirish orqali o‘zgartiramiz. Singularliklar k tekislikda harakatlanadi. va baʼzi otlar uchun haqiqiy oʻqga yetishi mumkin. o ning bu qiymatlari p(o, k) funksiyaning yagonaligi emas: k-konturni yakkalik qoʻshniligidan olib tashlaydigan tarzda koʻchirishga eʼtiroz yoʻq. 22b-rasmda ko'rsatilganidek, haqiqiy o'qni kesib o'tgan.Integralning singulyarligi yuzaga keladi, lekin agar ikkita harakatlanuvchi singulyativlik bir-biriga yaqinlashib, ular orasidagi integrasiya konturini chimchilab qo'ysa, bu bilan bu konturni ularning qo'shnisidan olib tashlash imkoniyatini yo'q qiladi ( 22c-rasm).
Shunday qilib, barqarorlik xususiyatini belgilovchi o ning qiymati dispersiya munosabatining ikkita ildizi k(o) birga tushadiganlar orasidan tanlanadi. Faqat ikkita ildiz k-konturning qarama-qarshi tomondan yaqinlashadigan holatlar hisobga olinadi; ya'ni o" +0 bo'lganidek, bu ildizlar haqiqiy o'qning qarama-qarshi tomonlarida yotishi kerak. Darvoqe, (Dc) qiymatlari x dan mustaqil bo'lishi kerak, chunki ular faqat 1/A funktsiyasining xususiyatlari bilan belgilanadi. (ok).
Tenglamaning ikkita oddiy ildizi bir-biriga to‘g‘ri kelganda qo‘sh ildiz hosil bo‘ladi, uning yonida dispersiya munosabati bo‘ladi.
(62,9)
shuning uchun k — kc ± (o — wc ) ¹ / ² * o = (Dc) nuqtada o(k) funksiya qanoatlantiradi.

c

(a) (b) (c)
ANJIR. 22.
tBeqaror tizim uchun o" > 0 bo‘lganda singulyarlik k ning haqiqiy o‘qiga yetishi kerak, hech bo‘lmaganda o' qiymatlari diapazoni uchun, chunki A(Ø, k) = O ning w" > ildizlari borligi aniq. haqiqiy k uchun 0.
*Ba'zi hollarda yuqori tartibli ko'p ildizni tashkil etuvchi yana ko'p sonli ildizlarning tasodifi bo'lishi mumkin. Biroq, bunday holatlar, umuman olganda, tizim parametrlarining alohida qiymatlari uchun sodir bo'lishi mumkin, chunki ular nuqtalarga qo'shimcha cheklovlar qo'yadi (A(o, k ning kengayishida Dc, kc•.), GA dan tashqari boshqa koemtsentlar). 3k), nolga teng bo'lishi kerak.
holat
doldk = O, (62.10)
ya'ni analitik funktsiyaning (D(k)) egar nuqtasidir.
k = kc nuqtaning qo'shniligidan olingan (62.8) integral
e ikcx
(62.11)
cp(o, x) funksiyasi shu tariqa o (Dc) da kvadrat ildiz qutbga ega. O = nuqtaning qo'shnisi bo'ylab olingan integral (62.2) (Dc, t va x funksiyasi sifatida, ko'rinishga ega.
tp(t, x)e(62.12)
chunki bu asimptotik ifoda t va qat'iy x uchun olingan bo'lsa, u faqat Ikcxl < loctl bo'lgandagina amal qiladi.
Dispersiya munosabatlari ildizlarining birlashishi cp(o, x) ning yagonaligining asosiy manbai bo'lsa ham (va odatda beqarorlikning tabiatini aniqlaydi), boshqa turdagi yakkalikning ildizi paydo bo'ladigan chastotada sodir bo'lishi mumkin. Ikl -+ 00. t Bunday chastotaning xayoliy qismi Dc esa amalda har doim manfiy bo'ladi va shuning uchun albatta absolyut beqarorlikni keltirib chiqara olmaydi (agar (Dc" musbat bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan tizim cheksiz kichiklarning tebranishlariga nisbatan beqaror bo'lar edi) Bunday holatni keyinroq uchratamiz (63.10).
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bir mos yozuvlar doirasidagi (laboratoriya ramkasi) konvektiv beqarorlik boshqa ramkada mutlaq bo'lishi mumkin. Beqarorlik mutlaq va eng katta o'sish sur'atiga ega bo'lgan kadrning V tezligini izlaylik.
Laboratoriya ramkasidan V tezlikda harakatlanuvchiga o‘tish barcha formulalarda o — kV ga o‘zgarishi bilan amalga oshiriladi. Ko'rib turganimizdek, qiymat 0-konturda 0" kamayishi bilan k-tekisligida 1/A(o, k) funktsiyaning ikkita qutbi birlashishi va bu qutblar qarama-qarshi tomondan yaqinlashishi kerak bo'lgan momentga mos keladi. haqiqiy o'qning tomonlari, shuning uchun ulardan biri avval o'sha o'qni kesib o'tishi kerak. Haqiqiy k uchun o" (V dan mustaqil) ning maksimal qiymatini belgilaymiz. V) qutb haqiqiy o'qni kesib o'tgan o" qiymatidan albatta kichik bo'lganligi sababli, bizda barcha V uchun wc "(k, V) mavjud. Bu shuni anglatadiki, agar qutblar birlashsa, Wc ning eng yuqori qiymatiga erishiladi. haqiqiy o'q maksimalda o(k) ni O(k) - k V bilan almashtirish (62.10) va tenglamaning haqiqiy va xayoliy qismlarini ajratish
tBunday ildiz x ning muhim yagonaligini keltirib chiqaradi). Misol uchun, agar Ikl -+ ⁰⁰ bo'yicha
= — wc), birlikning qoʻshniligidan integralga (62.8) hissa qoʻshiladi.
ix
X) exp _T7ä .
[C(o - wc)l
s 63 Kuchaytirish va shaffoflik
(haqiqiy k uchun) ikkita tenglama topamiz:

do"/dk = o,	(62.13)
V = do'/dk.	(62.14)

Shunday qilib, beqarorlikning eng katta o'sish tezligi real k ning funksiyasi sifatida maksimal qiymati bilan beriladi. Bunday beqarorlik yuzaga keladigan mos yozuvlar tizimi tezligi do'/dk ning mos keladigan qiymati bilan belgilanadi. V ning bu qiymati tabiiy ravishda konvektiv beqaror muhitda to'lqin paketining guruh tezligini aniqlash uchun olinishi mumkin.
563. Amplifikatsiya va shaffoflik
Hozirgacha biz beqarorlik muammolarini bir lahzada fazoda aniqlangan buzilish vaqti bilan rivojlanishini ko'rib chiqdik. Bunday buzilishning Furye kengayishi k to'lqin vektorlarining haqiqiy qiymatlari bo'lgan komponentlarni o'z ichiga oladi va ularning vaqtga bog'liqligi o (k) chastotalari, dispersiya munosabatlarining murakkab ildizlari bilan boshqariladi.
Biroq, beqarorlik muammosining yana bir mumkin bo'lgan formulasi mavjud bo'lib, unda biz ma'lum bir vaqt oralig'ida ma'lum bir fazoda o'zgaruvchanlikni ko'rib chiqamiz. Bunday tebranishning Furye kengayishi real chastotalari o bo'lgan komponentlarni o'z ichiga oladi va ularning fazoda tarqalishi dispersiya munosabatini echish yo'li bilan topilgan k(o) to'lqin raqamlari bilan boshqariladi, bu safar k uchun; mos ravishda, chastotalar emas, balki to'lqin raqamlari murakkab. (562-da bo'lgani kabi, biz bir o'lchovli masalani ko'rib chiqamiz va shuning uchun k vektor o'rniga k kx yozamiz).
To'lqin raqamlarining murakkabligi turli xil ma'nolarga ega bo'lishi mumkin. Ba'zi hollarda bu shunchaki tegishli to'lqinlar muhitda tarqala olmasligini anglatishi mumkin (shaffoflik emas): boshqa hollarda bu to'lqinlarning manbadan tarqalayotganda muhit tomonidan kuchayishini anglatishi mumkin. Darhol ta'kidlashimiz kerakki, im k belgisi, albatta, bu ikki imkoniyatni farqlash uchun mezon bo'la olmaydi: to'lqinlar ijobiy va salbiy x yo'nalishlarida tarqalishi mumkin va tarqalish yo'nalishining o'zgarishi o'zgarishga teng. k belgisida.
Jismoniy jihatdan ravshanki, faqat beqaror muhit kuchayishi mumkin. Demak, masalan, dispersiya munosabati 0 ² = C)e ² + c ² k ² bo'lgan plazmadagi ko'ndalang elektromagnit to'lqinlar uchun shaffof emasligi darhol aniq bo'ladi (qarang: 32, l masala) chastotalarda o < Cle, buning uchun k(o) xayoliydir: bu tenglama orqali berilgan o(k) funksiya barcha real k uchun realdir, shuning uchun sistema albatta barqaror.
Muammoni aniq shakllantirish uchun t = 0 dan boshlanadigan va undan so'ng monoxromatik buzilishni (ba'zi chastotasi 00) hosil qiluvchi signal deb ataladigan x koordinatasi bo'yicha nuqta manbasini ko'rib chiqamiz. signal. Manba kuchi shundan keyin
t < O uchun = doimiy x t > 0 uchun.
Biz 1k tebranishning jismoniy tabiatini va shuning uchun g manba kuchining jismoniy tabiatini aniqlamaymiz. Faqatgina muhim jihat shundaki, buzilishning ok-komponentlari manbadan aniqlanadi
(63,2)
Bu ifoda sistemaning bir jinsli chiziqli boʻlmagan “harakat tenglamasi”dan olingan boʻlib, bunda g(t, x) “oʻng tomon” rolini bajaradi, xuddi (62.4) bir jinsli tenglamaning yechimi boʻlgani kabi. g(0, x) funktsiyasi tomonidan belgilangan boshlang'ich shart. Manba (63.1) st
gok = — (Qilish). (63,3)
Keyin inversiya formulasidan dJ(t, x) funksiya topiladi
tp(t, x) = doimiy x(63,4)
(63,5)
Bu ifoda masala shartlariga muvofiq t < 0 uchun iP(t, x) = O tenglamasini majburiy ravishda qanoatlantiradi: buzilish manba t = 0 da kelgandan keyingina sodir bo'ladi.
Endi muammo turg’un sharoitda, ya’ni manba ishlay boshlagandan so’ng uzoq vaqt davomida (t+00) manbadan (IXI a) uzoqda joylashgan V(t, x) ning asimptotik ifodasini topishdadir. Agar buzilish x ± 00 sifatida nolga moyil bo'lsa, biz shaffof emasmiz: agar u manbadan bir yoki boshqa yo'nalishda kuchaysa, kuchaytirish mavjud. Ikkala holatda ham biz faqat konvektiv jihatdan beqaror (yoki barqaror) tizim haqida gapirishimiz mumkin. Mutlaq beqarorlik bilan, kosmosning har bir nuqtasida vaqt o'tishi bilan buzilish cheksiz kuchayadi, shuning uchun hech qanday barqaror sharoitga erishib bo'lmaydi.
Kerakli asimptotik shaklni topish uchun, birinchi navbatda, asimptotik chegara t ni Ixt — n dan oldin olish kerakligini ta'kidlaymiz: tebranish chekli vaqt ichida cheksizlikka tarqala olmagani uchun, chekli t uchun -+0 IXI sifatida -+ 00.
⁰⁰ shaklida olish uchun (63.4) in o ga nisbatan integrasiya konturini pastga siljitamiz . x) ning analitik xossalari 562-yildagi p(o, x) ning xossalariga o‘xshash. Sistema faqat konvektiv jihatdan beqaror deb qabul qilinganligi sababli, qo, x) o ning yuqori yarim tekisligida singulyarlikka, eng yuqori singulyarlikka ega emas. (63.4) da integrand haqiqiy o’qdagi o = oo qutbdir. Demak, t -+ 00 bo'lgan asimptotik shakl
tP(t, x) ex).(63.6)
qalay hisoblash g,ok, teskari o'zgartirish formulasidagi integrasiya im > 0 bo'lgan kontur bo'ylab olinganligini yodda tutish kerak; shuning uchun -+ O t -+ ^{00 sifatida} .
63 Kuchaytirish va shaffoflik
x) ning -+ 00 asimptotik shaklini topish uchun endi (63.5) da integrallash qutbiga tushguncha k ga nisbatan integrallash yo‘lini x > O uchun yuqoriga yoki x < O uchun pastga siljitishimiz kerak. , ya'ni tenglamaning ildizi

⁰⁰ sifatida k ning yuqori va pastki yarim tekisliklarida mos ravishda joylashgan qutblarni k+(o) va k-(o) belgilasin . Im kamayishi bilan qutblar siljiydi va real uchun (D = ular asl yarim tekislikda qolishi yoki boshqa yarim tekislikka kirishi mumkin. Birinchi holda x dagi integrasiya konturi) real o‘qda qoladi. 22a-rasmdagi kabi ; ikkinchi holda, u 22b-rasmda ko'rsatilganidek, boshqa yarim tekislikka "qochib ketgan" k+(oo) va k-(oo) (A va C nuqtalari) qutblarini qamrab oladigan tarzda deformatsiyalanadi. Ikkala holatda ham konturni yuqoriga yoki pastga siljitishda u mos ravishda k+ va k- qutblarni ushlaydi. d'(t, x) ning x +00 sifatida asimptotik shakli eng past qutb k+(oo) dan hissa bilan aniqlanadi; deb x eng yuqori qutb k--(oo) bilan aniqlanadi. Shunday qilib, tegishli qutb haqiqiy o'qga eng yaqin (agar ma'lum bir sinfning barcha qutblari hali ham dastlabki yarim tekislikda bo'lsa) yoki boshqa yarim tekislikka o'tganlar orasida haqiqiy o'qdan eng uzoqda joylashgan. Bu k+ va k- qiymatlari bilan biz bor
Q P(t, x) — x > O uchun ioot}, x < 0 uchun (63.7) — ioot}.
Barqaror sistema uchun = (Do, chunki im o(k) > O (haqiqiy k uchun) bilan tebranish shoxlarining yo‘qligi qutb haqiqiy o‘qni faqat im bilan kesib o‘tishi mumkinligini bildiradi. o < 0. Demak, (63.7) da
im k+(oo) > O, im k-(oo) < O,
shunday qilib, to'lqinlar manbadan har ikki yo'nalishda namlanadi.
Konvektiv beqarorlik holatida k(o) qutblar im > O bilan haqiqiy o‘qga yetib boradi. Shuning uchun, albatta, = 00 uchun boshqa yarim tekislikka kirgan k+ yoki k- qutblari bor, ya’ni im k+(oo) bo‘ladi. ) <0 yoki im k-(oo) > 0. Bunday qutbning mavjudligi k+(oo) yoki k-(oo) to‘lqinni mos ravishda manbadan o‘ngga yoki chapga kuchaytiradi.
Oldingi dalillardan biz konvektiv beqaror tizimdagi chastotali manbadan to'lqinlar uchun shaffoflik va kuchayish holatlarini farqlash uchun quyidagi mezonga erishamiz: agar im k(o) ishorani o'zgartirganda, murakkab va real bo'lgan to'lqin kuchayadi. im berilgan re = bilan + ⁰⁰ dan 0 gacha o'zgaradi (Do; agar im belgini o'zgartirmasa, shaffoflik mavjud emas.
Mezon o'zining kelib chiqishi sababiy bog'liqlik talablaridan kelib chiqadi. Manba bir zumda harakatga kelganda, tebranish har doim x -+ ± 00 ga kamayishi kerak, chunki u cheklangan vaqt ichida cheksiz masofaga tarqala olmaydi. Boshqa tomondan, manbaning bu "cheksiz tez" boshlanishi im o + + bilan bo'lgani kabi sodir bo'lishi mumkin, shuning uchun manbadan bir yoki boshqa yo'nalishda kuchayib borayotgan to'lqinlar (haqiqiy (D) uchun) namlangan bo'lishi kerakligi aniq. im m bo'lganda bu yo'nalish va bu yuqorida tuzilgan mezonga olib keladi.
Olingan natijalar so'rilishi yoki kuchaytirilishi bo'lgan muhitda to'lqinlarning tarqalish yo'nalishini aniqlash imkonini beruvchi boshqa jihatga ega. Shaffof muhitda (ya'ni o va k haqiqiy bo'lganda) tarqalishning fizik yo'nalishi guruh tezligi vektoriga to'g'ri keladi. Xususan, bir o'lchovli holatda musbat yoki manfiy lotinli to'lqin mos ravishda musbat yoki manfiy x yo'nalishida harakat qiladi. Yutish yoki kuchaytiruvchi muhitda esa k+ va k-guruhlarining to'lqinlari mos ravishda musbat va manfiy yo'nalishlarda tarqaladi, deb aytishimiz mumkin. Haqiqiy va k uchun bu umumiy formula avvalgisi bilan bir xil: o va k dagi kichik o'zgarishlar bilan bog'liq

do/dk'

undan ko'ramiz, agar im o > 0 xayoliy qismga ega bo'lsa, k do/dk > O yoki < 0 ga ko'ra yuqori yoki pastki yarim tekislikka o'tadi.
62 va 63 da olingan mezonlarni qo'llashning oddiy misoli sifatida keling, sovuq plazmadagi sovuq elektron nurlarining beqarorligini ko'rib chiqaylik, 561. Ushbu tizim uchun dispersiya munosabati:
(63,8)
(61.6) ga qarang (nur yo'nalishi bo'yicha tarqaladigan to'lqinlar uchun, k • V = kV). Bu tenglamaning k(o) ildizlari u kabi shaklga ega
k = (w ± Qe')/V, (63,9)
im ⁰⁰ bo'lganda, ikkita ildiz bir xil (yuqori) yarim tekislikda, ya'ni ikkalasi ham k+(o) sinfda bo'ladi. Shuning uchun ularning harakatida ular im kamayishi bilan k-konturni chimchilay olmaydilar , shuning uchun beqarorlik konvektiv bo'ladi. Dastlabki lahzada yaratilgan buzilishning asimptotik harakati chastota bilan boshqariladi (D = Oe, uning yaqinida (63.8) tenglamaning ildizlari cheksizlikka intiladi.
(63.10)
Shunday qilib, t -+ co sifatida, buzilishdan faqat so'nmagan plazma to'lqinlari qoladi.
o < Cle ning haqiqiy qiymatlari uchun (63.8) tenglama ikkita kompleks-konjugat ildizga ega k(o). im k(o) < 0 bo'lgan biri yuqoridan pastki yarim tekislikka o'tgan. Shunday qilib, to'lqinlar chastotasi < Cle bo'lgan manbadan tarqalganda, ular x > 0 yo'nalishi bo'yicha, ya'ni nurni "pastga" kuchaytiradi.
564. Tebranish spektrining ikkita tarmog'ining zaif birikmasi bilan beqarorlik
Tebranishlarning qo'shni tebranishlar bilan "o'zaro ta'siri" natijasida yuzaga keladigan beqarorlikni tekshirish uchun "62 va 63" da ishlab chiqilgan umumiy usulni qo'llaymiz.
tE'tibor bering, (63.9) tinch holatda plazma bo'lmaganda nurning o'zi uchun dispersiya munosabati bilan bir xil.
Ikki filialning zaif ulanishi bilan beqarorlik
va k qiymatlari va dissipativ bo'lmagan tizimning tebranish spektrining turli tarmoqlariga tegishli (bu erda haqiqiy dissipatsiya va Landau dampingi mavjud bo'lmaganini bildiradi).
Agar o = Ol(k) va o = 02(k) ikkita shoxchalar butunlay mustaqil boʻlsa, dispersiya munosabati ikki omilga boʻlinadi:
(64.1)

Bunday shoxlarning kesishish nuqtasi yaqinida Ol(k) va 02(k) funksiyalar umumiy ko‘rinishga ega bo‘ladi.
WI(k) = + VI(k — ko), (64.2) 02(k) = (Do + V2(k ¯ ko),
bu yerda va ba'zi doimiylar va ko - kesishish nuqtasidagi o va k ning (haqiqiy) qiymatlari.
Biroq, bunday holat umuman real emas. Ikki tarmoq o'rtasidagi bog'lanish tizim parametrlarining ba'zi o'ziga xos qiymatlari uchun (eng yaxshi holatda) butunlay yo'q bo'lishi mumkin va ular juda oz o'zgartirilganda paydo bo'ladi. Haqiqiy vaziyatni ifodalash uchun, shuning uchun uni hisobga olish kerak bo'ladi. shoxlar orasidagi zaif birikma mavjudligi. Bu (64.1) ning o'ng tomonidagi nolga kichik miqdordagi € ni almashtirish ta'siriga ega. Nuqta yaqinidagi dispersiya munosabati keyin bo'ladi
-wo- VI(k - - 00 - V2(k — ko)](64.3)
o ning yechimi ko) ± [( ^k ¯ ^t '2) ² + ⁴ € ² ] ¹ / ² } (64.4) va k uchun yechim
1 (Do) ± [(0 — — V2) ² + ¹ / ² }. (64,5)
Filiallar orasidagi bog'lanishning mavjudligi ularning kesishish nuqtasini murakkab hududga siljitadi. Haqiqiy (D va k) uchun o(k) funktsiyalari € doimiy belgisiga va VI va konstantalarning nisbiy belgilariga ko'ra shaklda o'zgaradi.
Istisno simmetriya sabablari bo'yicha o'zaro ta'sir mavjud bo'lmagan holatlardir, masalan, agar bir novda uzunlamasına to'lqinlarga, ikkinchisi esa izotrop muhitdagi ko'ndalang to'lqinlarga tegishli bo'lsa. Bunday muhitda uzunlamasına oqim ko'ndalang maydonni keltirib chiqara olmaganligi sababli va aksincha, bunday to'lqinlar o'zaro ta'sir qilmaydi. Bu erda vaziyat kvant mexanikasida turli simmetriyaga ega bo'lgan atamalarning intetaktsiyasi uchun mavjud bo'lgan holatga o'xshaydi; QM, 579 ga qarang.
10 — S

ANJIR. 23.
v2. Ushbu funktsiyalar 23-rasmda to'rtta holatda ko'rsatilgan:
(64,6)
Buni biz o'z navbatida ko'rib chiqamiz.

1. 
   Bu yerda o(k) funksiyalar hamma (haqiqiy) k uchun realdir va shuning uchun tizim barqarordir. Funktsiyalar hamma o uchun ham realdir, shuning uchun to'lqinlar hamma o uchun kuchaytirmasdan tarqaladi.
   
2. 
   o(k) funksiyalar barcha k uchun haqiqiydir va shuning uchun tizim barqarordir. Funktsiyalar chastota diapazonida murakkab
   

(O — 00)2 < 41€VlV211(D1 — V2)2•(64.7)
Tizim barqaror bo'lgani uchun, bu diapazonda shaffoflik mavjud emas.
} 64 Ikki novdaning zaif ulanishi bilan beqarorlik

3. 
   Qachon
   

(k — ko) ² < 41el/(Vl — v2) ² (64,8)
o(k) funksiyalar murakkab bo'lib, ulardan biri uchun im O(k) > 0, ya'ni beqarorlik mavjud va u konvektiv beqarorlikdir, chunki -+ ^{00 bo'lganda} k(o) ildizlari bo'ladi.
k OIVI,k 0/132,(64.9)
im o bo'lganda esa ular k ning bir xil yarim tekisligida yotadi. VI va > 0 bo'lsin. U holda bu yuqori yarim tekislik va ildizlar k+(o) sinfiga tegishli. Haqiqiy o uchun (64.7) diapazonda k(o) ildizlar murakkab konjugat juftlikni hosil qiladi. Yuqoridan pastki yarim tekislikka o'tgan im < 0. Chastota diapazonida (64.7), shuning uchun musbat x yo'nalishida tarqaladigan to'lqinlarning kuchayishi mavjud.
Bu holat uchun (62.14) bilan aniqlangan to'lqinlarning "guruh tezligi" ni, ya'ni maksimal o'sish tezligi bilan mutlaq beqarorlik mavjud bo'lgan mos yozuvlar tizimi tezligini topish ham oson. K ga nisbatan (64.3) ni farqlash va (62.13) va (62.14) ga muvofiq doldk = V o'rniga qo'ysak, biz olamiz.

(D — (Do— VI(k — ko))
(64.10)
¯ (DO — V2(k — k())•
Chap tomon haqiqiy bo'lgani uchun, o'ng tomon ham shunday bo'lishi kerak, hatto (D murakkab.
Bu holat k = ko ; keyin (64.10) dan
V = i(Vl + V2).(64.11)
va (64.3) dan mos keladigan maksimal o'sish sur'ati
(im (D)maks = 112(64,12)

4. 
   k(o) funksiyalar hamma (haqiqiy) o uchun realdir, lekin o(k) (64,8) diapazonda murakkab, shuning uchun tizim beqaror. Ushbu beqarorlikning mohiyatini aniqlash uchun (64.9) dan (VI va v ning qarama-qarshi belgilari bilan) im ⁰ 0 bo'lgani kabi, k(o) ildizlarning qarama-qarshi yarim tekislikda joylashganligini ta'kidlaymiz. Bu ikki ildiz berilgan o ning yuqori yarim tekisligidagi nuqtada birlashadi
   

- V2J. (64.13)
Shuning uchun beqarorlik mutlaq, o'sish sur'ati im oc. Tezlik (64.11) bilan harakatlanuvchi mos yozuvlar doirasidagi buzilishga mos keladigan ¯ — — 02 uchun oʻsish tezligi maksimal qiymatga etadi (64.12).
MUAMMO
Sovuq magnitoaktiv plazmada doimiy magnit maydon bo'ylab tarqaladigan, past zichlikdagi sovuq elektron nurlari plazma bo'ylab bir xilda harakatlanadigan past chastotali (w "sekin" (01k < c) ko'ndalang elektromagnit to'lqinlarning beqarorligi xarakterini aniqlang. yo'nalishi.
280
YECHIMA. Dispersiya munosabatini o'rnatish uchun biz birinchi navbatda uni faqat nur elektronlari uchun, nur tinch bo'lgan mos yozuvlar doirasida yozamiz. (56.9) ga ko'ra, biz ushbu ramkaga egamiz
k C 02 = — O'e20/(o ± (DBe)'
Bu erda ne' - plazma chastotasi - nur zichligiga mos keladigan. Nur V tezlik bilan harakat qiladigan laboratoriya ramkasiga qaytganimizda (biz buni x yo'nalishi bo'yicha qabul qilamiz), tenglamaning o'ng tomonidagi o ni w — k V bilan almashtirishimiz kerak; k ² c ² — o farqi sanoq sistemasining o‘zgarishiga nisbatan o‘zgarmasdir. Endi laboratoriya doirasida plazma elektronlari va ionlari bilan bog'liq atamalarni qo'shamiz
k ² c ² — o.' 2 -
Bu erda (muammo shartlariga muvofiq) Ck va bir bilan solishtirganda e'tiborsiz qoldirib, = Oi /0Ri ekanligini ham ta'kidlab, biz dispersiya munosabatini shaklga keltiramiz.
[ k ² c ² -
(l)
Chapdagi birinchi omil "asosiy" tebranish shoxiga, ikkinchisi esa nur shoxiga to'g'ri keladi; o'ng tomonda bu filiallarning "o'zaro ta'siri" tasvirlangan.
(l) dagi yuqori belgilar bilan ikkita mustaqil tarmoq uchun dispersiya munosabatlari 24-rasmdagi uzluksiz egri chiziqlar bilan ko'rsatilgan; har doimgidek > O bilan shoxlarni ko'rib chiqish kifoya. Nuqtaga yaqin (Do, ko, ular kesishgan joyda (1) tenglamaning kengayishi

2koc ² [k - - (o - - - - ko)l =

ijobiy koeffitsient bilan (24-rasmdagi egri chiziqlarning qiyaligidan aniq ko'rinib turibdiki). (64.3) bilan taqqoslash shuni ko'rsatadiki, bizda C holat, konvektiv beqarorlik mavjud. 24-rasmdagi singan egri chiziqlar ularning o'zaro ta'sirini hisobga olgan holda shoxlarning shaklini ko'rsatadi.
(l) dagi pastki belgilar uchun shunga o'xshash diagrammalar 25-rasmda keltirilgan. Kesishish nuqtasi yaqinida dispersiya munosabati
2koc ² [k - m + (o - - 00 - - = -O'e ² 0Be,
Bu erda yana VI > 0. Bizda D holi, mutlaq beqarorlik mavjud. Bu holda ikkinchi kesishish 0Be da yuzaga keladigan diagrammadan ko'rinadi, bu masala shartlariga zid keladi.

ANJIR. 24.

Cheklangan tizimlarda 565

ANJIR. 25.
{65. Cheklangan tizimlarda beqarorlik
"61-63-yillardagi nazariyaning barchasi hech bo'lmaganda bitta yo'nalishda (x o'qi) cheksiz darajada bir hil muhitlar bilan bog'liq. Haqiqiy chegaralangan tizimlarga tatbiq qilish uchun bu to'lqinlarning chegaralardan aks etishi natijasida yuzaga keladigan ta'sirlarni anglatadi. e'tibordan chetda, ya'ni bunday nazariya tizimning uzunligini targ'ib qilish uchun tebranish tomonidan olingan vaqt tartibining vaqtlari bilan cheklangan.
Keling, tizimning chekliligi muhim bo'lgan va uning xarakterli tebranishlari spektri uchlaridagi chegara shartlari bilan boshqariladigan qarama-qarshi vaziyatda barqarorlikni ko'rib chiqaylik; avvalgidek, biz faqat bir o'lchovli holatni tekshiramiz va tizimning x yo'nalishidagi uzunligi L bilan belgilanadi. Cheklangan tizimning chastota spektri diskretdir va agar bir yoki bir nechta xarakterli chastotalar bo'lsa ijobiy xayoliy qism tizim beqaror. Mutlaq va konvektiv beqarorlik o'rtasidagi farq bu holatda hech qanday ma'noga ega emas.
Shunday qilib, chekli tizimning barqarorligi yoki beqarorligini aniqlash muammosi uning (murakkab) xos chastotalarini topishga tengdir. Bu chastotalarni beruvchi dispersiya munosabati im Ikl bo'ladigan chekli, lekin katta o'lchamli L bo'lgan sistema uchun umumiy shaklda olinishi mumkin. L > I (AG Kulikovskiy, 1966).
k(o) cheksiz muhit uchun dispersiya munosabatining yechimlari bo‘lsin. Biz yana bu ko'p qiymatli funktsiyaning tarmoqlarini ikkita guruhga ajratamiz, k+(o) va k-(o), "3"da ta'riflangan. ikki chegara bilan aks ettiriladi (yutilish va kuchayish bo'lmagan muhitda ular oddiy statsionar to'lqinlar bo'lar edi).Ko'zgu umuman spektrning turli tarmoqlariga mansub to'lqinlarning o'zaro o'zgarishi bilan birga keladi.Ma'lum chastotaning harakatlanuvchi to'lqini shuning uchun barcha shoxlarning superpozitsiyasi.Chegaralardan uzoqda, lekin har bir to'lqinga asosiy hissa superpozitsiyadagi faqat bitta haddan kelib chiqadi.Masalan, chap chegaradan tarqaladigan to'lqinda x = 0 (26-rasm). musbat I-yo'nalishda, asimptotik
282

26.
ifoda bu chegaradan uzoqdir
(65.1)
va k+(o) bu guruhdagi im k+(o) ning berilgan reali uchun algebraik jihatdan eng kichik qiymatiga ega bo‘lgan shox sifatida qabul qilinishi kerak.
O'ng chegaradan x = L aks etgandan so'ng, to'lqin chapga tarqaladi va bu chegaradan etarlicha katta masofada asimptotik shaklga ega bo'ladi.