Интегрирование биномиального дифференциала и тригонометрических выражений

---

Доц.Б.Файзуллаева 
1 
9-тема: Интегрирование биномиального дифференциала и 
тригонометрических выражений 
План: 
1. Интегрирование интегралов вида  
. 
2. Интегрирование интегралов вида  
. 
3. Интегрирование интегралов вида  
Ключевые слова: Интегрирование биномиального дифференциала, рациональная 
функция тригонометрических функций, интегрирование тригонометрических функций.
 
1. Интегрирование биномиального дифференциала.
Выражения вида 
называется биномиальным дифференциалом. Рассмотрим случай, когда m, n и p-
рациональные числа, числа 
действительные и . 
Интеграл вида 
с помощью подстановки 
сводится к интегралу 
Таким образом, интеграл
сводится подстановкой
к интегралу типа 
где 
рациональны.Интеграл сводится к интегралу от рациональной 
функции в следующих трех случаях: 
1-случай. Пусть 
и
(
и несократимые целые числа). Подстановка
сводит интеграл
к интегралу от рациональной дроби. 
2-случай. Пусть 
и
(
и несократимые целые числа). Подстановка
сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби. 
3-случай. Пусть 
. Запишем интеграл в виде 
(3) 
Здесь, если 
и
целые числа, тогда подстановка
сводит интеграл
к интегралу от рациональной дроби. 
Таким образом, интеграл (1) сводится к интегралу от рациональной функции в 
следующих трех случаях: 
2) 
3)
Пример.1. Вычислить интеграл 
 
Решение. Запишем данный интеграл в виде 
и 
получим случай 1, когда 
(целое число). Подстановка
сводит 
данный интеграл к интегралу от рациональной дроби по 
, отсюда имеем: 

---

Доц.Б.Файзуллаева 
2 
Пример 2. Вычислить интеграл 
 
Решение. Запишем данный интеграл в виде
здесь, 
;
По второму случаю возьмем подстановку
, и имеем
, отсюда 
где
 
2. Интегрирование интегралов вида
. 
 
Рассмотрим интеграл вида 
(4)
В интеграле
возьмем подстановку
: 
= 
(5) 
(6) 
откуда получим 
(7)
Так как 
рациональная функция, то интеграл (7) является интегралом от 
рациональной функции.
Пример 3. Вычислить интеграл   
 
Решение. Возьмем подстановку
, применяя формулу (6)
запишем данный интеграл в виде: 
Если подынтегральная функция 
удовлетворяет одному из условий:
a) 
b) 

---

Доц.Б.Файзуллаева 
3 
c) 
то для нахождения интеграла (4) можно использовать соответственно подстановки
или
Пример 4. Вычислить интеграл 
 
Решение. Используясь формулой
запишем данный интеграл в 
виде: 
Применяя подстановку
, получаем:
 
3. Интегрирование интегралов вида
 
Если числа 
и рациональны, то с помощью подстановок или
рассматриваемый интеграл сводится к интегралу от биномиального дифференциала. 
Действительно, при
,
имеем
 
Если числа 
и целые (не обязательно положительные), тогда интеграл 
 относится к типу интегралов, рассмотренных в предыдущем пункте, и 
целесообразно применять подстановки 
или
Если
(соответственно нечетное число, то можно сделать 
подстановку 
(соответственно ):
Рассматриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной дроби. Аналогичный 
результат можно получить и для интеграла
Если 
то бывает полезной подстановка
 
т.е. снова получен интеграл от рациональной дроби. 
Пример 5. Вычислить интеграл 
 
Решение. Если 
то
Пример 6. Вычислить интеграл  
 
Решение. По формуле 
  имеем 

---

Доц.Б.Файзуллаева 
4 
и интеграл
можно записать в таком виде. 
 
Вопросы и задания 
1. Приведите метода интегрирования биномиального дифференциала. 
2. Какая подстановка применяется интегралу вида 
? 
3. Объясните метода интегрирования интеграла вида
.
4. Вычислить интеграл: a) 
, b)