Интегралли тенгламаларнинг турлари

Oddiy differensial tenglama bilan integral tenglama orasidagi bog’lanish.
Quyidagi tartibli chiziqli differensial tenglama va ushbu boshlang’ich shartlar

berilgan bo`lsin. Tenglamaning Shu shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin (Koshi masalasi). Mana Shu chegara shartlaridan foydalanib, berilgan differensial tenglamani unga mos bo`lgan integral tenglamaga aylantirish mumkin. Qisqaroq va soddaroq bayon qilish maqsadida deb olaylik, ya`ni
(10)
tenglama va
(11)
chegara shartlari berilgan bo`lsin. Bu masalaga mos integral tenlamani topish maqsadida

deb belgilab olamiz. Bundan

kelib chiqadi. Qulaylik uchun buni

ko`rinishida yozib olaylik. (11) ga asosan

demak,

Bu tenglikning ikki tomonidan integral olamiz:

Bunda deb faras qilsak, (11) ga muvofiq

kelib chiqadi. U holda

mana shu takroriy integraldan oddiy integralga o`tish maqsadida Koshining ushbu
(12)
formulasidan foydalanamiz. Demak,

Endi lar uchun aniqlangan ifodalarni (10) tenglamaga qo`yib, uni quyidagi Vol’terra tenglamasiga keltiramiz.
(13)
bunda

Demak boshlang’ich shartlar bilan berilgan (10) differensial tenglama o`rniga (13) integral tenglamani yechish kifoya. Ma`lumki differensial tenglamalarni, ayniqsa, o`zgaruvchan koeffitsientli differensial tenglamalarni yechish ko`pincha juda mushkul ish bo`ladi. Ularni almashtiruvchi integral tenglamalarning qulayligi Shundaki, ular chegara shartlarini o`z ichiga olishi bilan birga, ba`zan, osongina echiladi. Integral tenglamalarni yechish metodlari uncha ko`p emas.
1-misol. Ushbu tenglama
va
boshlang’ich shartlari berilgan. Bularga mos integral tenglama tuzilsin.
Noma`lum funksiyaning ikkinchi hosilasini quyidagicha belgilaymiz.

Bundan esa quyidagi kelib chiqadi:

Berilgan shartlarga ko`ra bo`lganda, bo`ladi, demak . Shuning uchun

U holda bu yerdan

Endi bo`lganda bo`lgani sababli, so`ngi tenglikdan kelib chiqadi. demak,

Koshi formulasiga asosan buni

Ko`rinishida yozish mumkin.
Mana shu lar uchun aniqlangan ifodalarni berilgan differensial tenglamaga qo`yamiz.

bu ifodadagi integrallarni birlashtirsak, ushbu

integral tenglama hosil bo`ladi
2-misol. Ushbu differensial tenglama
va
boshlang’ich shartlari berilgan. Bularga mos integral tenglama tuzilsin. Odatdagicha

deb belgilaymiz. Bundan

boshlang’ich shartlarga ko`ra bo`lganda shu sababli bo`ladi. Demak,

bundan yana bir marta integral olinsa,

boshlang’ich shartlarga ko`ra bo`lganda, bo`lishi kerak shu sababli bo`ladi. Koshining Yuqorida keltirilgan formulasiga muvofiq.

Endi berilgan differensial tenglamaga lar uchun aniqlangan ifodalarni qo`yamiz, u holda

bundan esa ushbu

Integral tenglama kelib chiqadi.
3-misol. Ushbu

Differensial tenglama va

Boshlang’ich shartlar berilgan. Bularga mos integral tenglama tuzilsin. odatdagicha,

deb belgilab olamiz va uning ikki tomonini ga ko`paytirib so`ngra integrallaymiz:

Boshlang’ich shartlarga ko`ra bundan kelib chiqadi. u holda

Bundan yana integral olinsa,

kelib chiqadi. boshlang’ich shartlarga ko`ra bo`ladi. Demak,

bo`lib, undan so`ngi marta integral olsak,

hosil bo`ladi. Boshlang’ich shartga asosan bo`ladi.
Endi Koshining (12) formulasiga muvofiq takroriy integrallarni oddiy integralga aylantirilsa va lar uchun aniqlangan ifodalarni berilgan differensial tenglamaga qo`yib ixchamlashtirilsa, quyidagi natija kelib chiqadi: