Integrallar jadvali

1.2.
 
Aniqmas integral xossalari. 
Aniqmas integral ta’rifidan uning 
quyidagi xossalari kelib chiqadi: 
I.
Aniqmas integral hosilasi integral ostidagi funksiyaga tеng, ya’ni 
)
(
)
)
(
(
x
f
dx
х
f



Isbot:
Aniqmas integral va boshlang‘ich funksiya ta’rifini ifodalovchi 
(2) va (1) tengliklarga asosan 
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
x
f
x
F
C
x
F
dx
х
f








. 
II.
Aniqmas integral diffеrеntsiali integral ostidagi ifodaga tеng, ya’ni 
dx
x
f
dx
x
f
d
)
(
)
)
(
(


. 
Isbot: 
Differensial ta’rifi va oldingi xossaga asosan 
dx
x
f
dx
dx
x
f
dx
x
f
d
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(





. 
Izoh: 
Bu yerdan diffеrеntsiallash amali integrallash amaliga teskari amal 
ekanligini ko‘ramiz. 
III.
Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya
bilan ixtiyoriy 
C
o‘zgarmasning yig‘indisiga tеng, ya’ni 




C
x
F
dx
x
F
)
(
)
(
. 
y
=
F
(
x
)+
C 
,
C
>0 
y
=
F
(
x
)+
C 
,
C<
0 
y
=
F
(
x
) 
X 
Y 
O 
69-rasm 

---

Isbot: 
Agar 
F
′(
x
)=
f
(
x
) deb belgilasak, unda 
F
(
x
) hosil qilingan 
f
(
x
) funksiya
uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Unda, aniqmas integral ta’rifiga asosan, 






C
x
F
dx
x
f
dx
x
F
)
(
)
(
)
(
. 
IV.
Biror funksiyaning diffеrеntsialidan olingan aniqmas integral shu 
funksiya bilan o‘zgarmas yig‘indisiga tеng, ya’ni 



C
x
F
x
dF
)
(
)
(
. 
Isbot: 
Differensial ta’rifi va oldingi xossaga asosan 






C
x
F
dx
x
F
x
dF
)
(
)
(
)
(
. 
Izoh: 
Bu yerdan integrallash amali diffеrеntsiallash amaliga o‘zgarmas son 
aniqligida teskari amal ekanligini ko‘ramiz.
V.
O‘zgarmas 
k
ko‘paytuvchini integral belgisidan tashqariga chiqarish 
mumkin, ya’ni 



dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
. 
Bu tenglik o‘zgarmas son aniqligida tushuniladi. 
Isbot: 
I xossaga asosan ikkala aniqmas integral bir xil 
kf
(
x
) hosilaga ega. 
Demak, bu aniqmas integrallarning ikkalasi ham 
kf
(
x
) uchun boshlang‘ich funksiya 
bo‘ladi va shu sababli ular bir-biridan faqat o‘zgarmas songa farq qilishi mumkin. 

Masalan, 













C
x
C
x
C
x
xdx
xdx
xdx
2
2
2
5
5
5
)
(
5
2
5
2
5
10
. 
Bu yerda 
C 
ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘lgani uchun 5
C
ham ixtiyoriy o‘zgarmas 
son bo‘ladi va shu sababli uni yana 
C
deb belgilash mumkin. 
VI.
Ikkita funksiya algebraik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu 
funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga 
tеng, ya’ni 






dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
. 
Bu yerda ham tenglik o‘zgarmas son aniqligida tushuniladi. 
Isbot:
Aniqmas integralning I xossasiga asosan 





)
(
)
(
)
)]
(
)
(
[
(
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
. 
Algebraik yig‘indining hosilasi va I xossaga asosan 
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
(
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
dx
x
f












. 
Demak, VI xossadagi tenglikning ikkala tomonidagi funksiyalar bir xil hosilaga 
ega va shu sababli ular o‘zgarmas son aniqligida teng bo‘ladi. 
Masalan, 









C
x
xdx
dx
dx
x
x
x
x
2
5
ln
5
2
5
)
2
5
(
. 
Izoh:
VI xossa chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi uchun ham 
o‘rinli bo‘ladi.
 
3-TA’RIF:
V va VI xossalar aniqmas integralning 
chiziqlilik xossalari
deyiladi. 
Aniqmas integralning chiziqlilik xossalarini bitta 






dx
x
g
B
dx
x
f
A
dx
x
Bg
x
Af
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
(3) 
tenglik orqali ham ifodalash mumkin. 

---

VII.
 
Agar 
a 
va 
b 
o‘zgarmas sonlar bo‘lsa, unda quyidagi tasdiq o‘rinlidir: 









C
b
ax
F
a
dx
b
ax
f
C
x
F
dx
x
f
)
(
1
)
(
)
(
)
(
. 
Isbot: 
Ikkinchi integral javobi to‘g‘riligini differensiallash orqali ko‘rsatamiz. 
Shartga ko‘ra
F
′(
x
)=
f
(
x
) bo‘lgani uchun va murakkab funksiya hosilasi 
formulasiga asosan 
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
1
b
ax
f
a
b
ax
f
a
b
ax
b
ax
F
a
b
ax
F
a

















. 
Masalan, 
C
x
C
x
dx
x
C
x
dx
x













5
5
4
5
4
10
)
3
2
(
5
)
3
2
(
2
1
)
3
2
(
5
.
 
1.3.
 
Integrallar jadvali. 
Hosilalar jadvali (VIII bob, §2), oldin 
hisoblangan hosilalar va aniqmas integral ta’rifidan foydalanib, asosiy integrallar 
jadvalini yozamiz. Bunda aniqmas integral javobining to‘g‘riligini tenglikning 
o‘ng tomonidan hosila olish orqali tekshirish mumkin. Natijada integral ostidagi 
funksiya hosil bo‘lishi kerak. Masalan,






C
a
x
x
a
x
dx
2
2
2
2
ln
integral javobi to‘g‘riligini tekshiramiz. Murakkab funksiya hosilasi formulasiga 
asosan 
.
1
1
)
1
(
1
]
)
(
2
1
1
[
1
)
(
1
)
(ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
x
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
C
a
x
x




































. 
Differensiallash natijasida integral ostidagi funksiya hosil bo‘ldi. Demak, integral 
javobi to‘g‘ri ko‘rsatilgan. 
INTEGRALLAR JADVALI 
1. 







)
1
(
1
1




C
x
dx
x
2. 



C
x
dx
3. 



C
x
xdx
2
2
4. 




C
x
x
dx
1
2
5.



C
x
x
dx
2
6.



C
x
x
dx
ln
7.



C
a
a
dx
a
x
x
ln
8.



C
e
dx
e
x
x
9.




C
x
xdx
cos
sin
10.



C
x
xdx
sin
cos

---

11.
)
,
2
,
1
,
0
,
2
(
tg
)
tg
1
(
cos
2
2












k
k
x
C
x
dx
x
x
dx


12. 
)
,
2
,
1
,
0
,
(
ctg
sin
2









k
k
x
C
x
x
dx

13.
)
,
2
,
1
,
0
,
2
(
cos
ln
tg










k
k
x
C
x
xdx


14. 
)
,
2
,
1
,
0
,
(
sin
ln
ctg








k
k
x
C
x
xdx

15.









C
x
C
x
x
dx
arcctg
arctg
1
2
16. 









C
x
C
x
x
dx
arccos
arcsin
1
2
17.






C
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2
1
2
2
18. 






C
a
x
x
a
x
dx
2
2
2
2
ln
Bu jadval, integralning ko‘rib o‘tilgan xossalari va kelgusida qaraladigan 
integrallash usullaridan foydalanib juda ko‘p integrallarni hisoblash mumkin.
XULOSA 
Matematik tahlilda hosila bilan bir qatorda yana bir muhim tushuncha integral 
bo‘lib 
hisoblanadi. 
Hosilasi 
berilgan 
f
(
x
) 
funksiyaga 
teng 
bo‘lgan 
differensiallanuvchi 
F
(
x
) funksiya 
f
(
x
) uchun boshlang‘ich funksiya deb ataladi. 
Berilgan funksiya uchun boshlang‘ich funksiyalar cheksiz ko‘p bo‘lib, ular bir-
biridan faqat o‘zgarmas 
C
soniga farq qiladi. Berilgan 
f
(
x
) funksiya uchun barcha 
boshlang‘ich funksiyalar sinfi
F
(
x
)+
C 
(
C
–ixtiyoriy o‘zgarmas son) shu 
funksiyaning aniqmas integrali deyiladi. Funksiyaning aniqmas integralini topish 
integrallash amali deyiladi va u differensiallash amaliga teskari bo‘ladi. Berilgan 
funksiyaning integralini topish integral xossalari va jadvali yordamida amalga 
oshirilishi mumkin.