Isbot:
Agar
F
′(
x
)=
f
(
x
) deb belgilasak, unda
F
(
x
) hosil qilingan
f
(
x
) funksiya
uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Unda, aniqmas integral ta’rifiga asosan,
C
x
F
dx
x
f
dx
x
F
)
(
)
(
)
(
.
IV.
Biror funksiyaning diffеrеntsialidan olingan aniqmas integral shu
funksiya bilan o‘zgarmas yig‘indisiga tеng, ya’ni
C
x
F
x
dF
)
(
)
(
.
Isbot:
Differensial ta’rifi va oldingi xossaga asosan
C
x
F
dx
x
F
x
dF
)
(
)
(
)
(
.
Izoh:
Bu yerdan integrallash amali diffеrеntsiallash amaliga o‘zgarmas son
aniqligida teskari amal ekanligini ko‘ramiz.
V.
O‘zgarmas
k
ko‘paytuvchini integral belgisidan
tashqariga chiqarish
mumkin, ya’ni
dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
.
Bu tenglik o‘zgarmas son aniqligida tushuniladi.
Isbot:
I xossaga asosan ikkala aniqmas integral bir xil
kf
(
x
) hosilaga ega.
Demak, bu aniqmas integrallarning ikkalasi ham
kf
(
x
) uchun boshlang‘ich funksiya
bo‘ladi va shu sababli ular bir-biridan faqat o‘zgarmas songa farq qilishi mumkin.
Masalan,
C
x
C
x
C
x
xdx
xdx
xdx
2
2
2
5
5
5
)
(
5
2
5
2
5
10
.
Bu yerda
C
ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘lgani uchun 5
C
ham ixtiyoriy o‘zgarmas
son bo‘ladi va shu sababli uni yana
C
deb belgilash mumkin.
VI.
Ikkita funksiya algebraik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu
funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga
tеng, ya’ni
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
.
Bu yerda ham tenglik o‘zgarmas son aniqligida tushuniladi.
Isbot:
Aniqmas integralning I xossasiga asosan
)
(
)
(
)
)]
(
)
(
[
(
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
.
Algebraik yig‘indining hosilasi va I xossaga asosan
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
(
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
dx
x
f
.
Demak, VI xossadagi tenglikning ikkala tomonidagi funksiyalar bir xil hosilaga
ega va shu sababli ular o‘zgarmas son aniqligida teng bo‘ladi.
Masalan,
C
x
xdx
dx
dx
x
x
x
x
2
5
ln
5
2
5
)
2
5
(
.
Izoh:
VI xossa chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi uchun ham
o‘rinli bo‘ladi.
3-TA’RIF:
V va VI xossalar aniqmas integralning
chiziqlilik xossalari
deyiladi.
Aniqmas integralning chiziqlilik xossalarini bitta
dx
x
g
B
dx
x
f
A
dx
x
Bg
x
Af
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
(3)
tenglik orqali ham ifodalash mumkin.
VII.
Agar
a
va
b
o‘zgarmas sonlar bo‘lsa, unda quyidagi tasdiq o‘rinlidir:
C
b
ax
F
a
dx
b
ax
f
C
x
F
dx
x
f
)
(
1
)
(
)
(
)
(
.
Isbot:
Ikkinchi integral javobi to‘g‘riligini differensiallash orqali ko‘rsatamiz.
Shartga ko‘ra
F
′(
x
)=
f
(
x
) bo‘lgani uchun va murakkab funksiya hosilasi
formulasiga asosan
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
1
b
ax
f
a
b
ax
f
a
b
ax
b
ax
F
a
b
ax
F
a
.
Masalan,
C
x
C
x
dx
x
C
x
dx
x
5
5
4
5
4
10
)
3
2
(
5
)
3
2
(
2
1
)
3
2
(
5
.
1.3.
Integrallar jadvali.
Hosilalar jadvali (VIII bob, §2), oldin
hisoblangan hosilalar va aniqmas integral ta’rifidan foydalanib, asosiy integrallar
jadvalini yozamiz. Bunda aniqmas integral javobining to‘g‘riligini
tenglikning
o‘ng tomonidan hosila olish orqali tekshirish mumkin. Natijada integral ostidagi
funksiya hosil bo‘lishi kerak. Masalan,
C
a
x
x
a
x
dx
2
2
2
2
ln
integral javobi to‘g‘riligini tekshiramiz. Murakkab funksiya hosilasi formulasiga
asosan
.
1
1
)
1
(
1
]
)
(
2
1
1
[
1
)
(
1
)
(ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
a
x
x
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
C
a
x
x
.
Differensiallash natijasida integral ostidagi funksiya hosil bo‘ldi. Demak, integral
javobi to‘g‘ri ko‘rsatilgan.
INTEGRALLAR JADVALI
1.
)
1
(
1
1
C
x
dx
x
2.
C
x
dx
3.
C
x
xdx
2
2
4.
C
x
x
dx
1
2
5.
C
x
x
dx
2
6.
C
x
x
dx
ln
7.
C
a
a
dx
a
x
x
ln
8.
C
e
dx
e
x
x
9.
C
x
xdx
cos
sin
10.
C
x
xdx
sin
cos
11.
)
,
2
,
1
,
0
,
2
(
tg
)
tg
1
(
cos
2
2
k
k
x
C
x
dx
x
x
dx
12.
)
,
2
,
1
,
0
,
(
ctg
sin
2
k
k
x
C
x
x
dx
13.
)
,
2
,
1
,
0
,
2
(
cos
ln
tg
k
k
x
C
x
xdx
14.
)
,
2
,
1
,
0
,
(
sin
ln
ctg
k
k
x
C
x
xdx
15.
C
x
C
x
x
dx
arcctg
arctg
1
2
16.
C
x
C
x
x
dx
arccos
arcsin
1
2
17.
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2
1
2
2
18.
C
a
x
x
a
x
dx
2
2
2
2
ln
Bu jadval, integralning ko‘rib o‘tilgan xossalari
va kelgusida qaraladigan
integrallash usullaridan foydalanib juda ko‘p integrallarni hisoblash mumkin.
XULOSA
Matematik tahlilda hosila bilan bir qatorda yana bir muhim tushuncha integral
bo‘lib
hisoblanadi.
Hosilasi
berilgan
f
(
x
)
funksiyaga
teng
bo‘lgan
differensiallanuvchi
F
(
x
) funksiya
f
(
x
) uchun boshlang‘ich funksiya deb ataladi.
Berilgan funksiya uchun boshlang‘ich funksiyalar cheksiz ko‘p bo‘lib, ular bir-
biridan faqat o‘zgarmas
C
soniga farq qiladi. Berilgan
f
(
x
) funksiya uchun barcha
boshlang‘ich
funksiyalar sinfi
F
(
x
)+
C
(
C
–ixtiyoriy o‘zgarmas son) shu
funksiyaning aniqmas integrali deyiladi. Funksiyaning aniqmas integralini topish
integrallash amali deyiladi va u differensiallash amaliga teskari bo‘ladi. Berilgan
funksiyaning integralini topish integral xossalari va jadvali yordamida amalga
oshirilishi mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: 
