Integrallar jadvali. Aniq integral. Nyuton Leybnits formulasi

Integrallar jadvali. Aniq integral. Nyuton - Leybnits formulasi.
Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi xOyda x o'qi bilan x = a, x = b to'g'ri chiziqlar bilan (a egri chiziqli trapetsiya bilan) chegaralangan shakl berilgan (rasmga qarang). egri chiziqli trapezoid.
Yechim. Geometriya bizga ko'pburchaklar va aylananing ba'zi qismlarini (sektor, segment) maydonlarini hisoblash retseptlarini beradi. Geometrik mulohazalardan foydalanib, biz quyidagi tarzda bahslashtirib, kerakli maydonning faqat taxminiy qiymatini topa olamiz.
Biz segmentni ajratamiz [a; b] (egri trapetsiya asosi) n ta teng qismga; bu bo'lim x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 nuqtalari yordamida amalga oshiriladi. Bu nuqtalar orqali Y o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Keyin berilgan egri chiziqli trapetsiya n ta qismga, n ta tor ustunga bo'linadi. Butun trapezoidning maydoni ustunlar maydonlarining yig'indisiga teng
K-ustunni alohida ko'rib chiqing, ya'ni. egri chiziqli trapezoid, uning asosi segmentdir. Uni asosi va balandligi f (x k) ga teng bo'lgan to'rtburchak bilan almashtiramiz (rasmga qarang). To'rtburchakning maydoni \ (f (x_k) \ cdot \ Delta x_k \), bu erda \ (\ Delta x_k \) segmentning uzunligi; tuzilgan mahsulotni k-ustun maydonining taxminiy qiymati sifatida ko'rib chiqish tabiiydir.
Agar biz boshqa barcha ustunlar bilan ham xuddi shunday qilsak, quyidagi natijaga erishamiz: berilgan egri chiziqli trapezoidning S maydoni taxminan n ta to'rtburchakdan iborat pog'onali figuraning S n maydoniga teng (rasmga qarang):
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ nuqta + f (x_k) \ Delta x_k + \ nuqta + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
Bu yerda yozuvning bir xilligi uchun a = x 0, b = x n; \ (\ Delta x_0 \) - segment uzunligi, \ (\ Delta x_1 \) - segment uzunligi va boshqalar. shu bilan birga, yuqorida kelishib olganimizdek, \ (\ Delta x_0 = \ nuqta = \ Delta x_ (n-1) \)

Shunday qilib, \ (S \ taxminan S_n \) va bu taxminiy tenglik qanchalik aniq bo'lsa, n kattaroq bo'ladi.

Ta'rifga ko'ra, egri chiziqli trapezoidning kerakli maydoni ketma-ketlik chegarasiga (S n) teng deb taxmin qilinadi:
$$ S = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$
Vazifa 2(harakatlanuvchi nuqta haqida)
Moddiy nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi. Tezlikning vaqtga bog'liqligi v = v (t) formula bilan ifodalanadi. Nuqtaning vaqt oraligʻidagi siljishini toping [a; b].
Yechim. Agar harakat bir xil bo'lsa, muammo juda oddiy hal qilinadi: s = vt, ya'ni. s = v (b-a). Noto'g'ri harakat qilish uchun siz oldingi muammoni hal qilish asos bo'lgan g'oyalardan foydalanishingiz kerak.
1) vaqt oralig'ini [a; b] n ta teng qismga.
2) Vaqt oralig'ini ko'rib chiqing va bu vaqt oralig'ida tezlik doimiy bo'lgan deb faraz qiling, masalan, t k vaqtida. Shunday qilib, biz v = v (t k) deb hisoblaymiz.
3) nuqtaning ma'lum vaqt oralig'idagi siljishining taxminiy qiymatini toping, bu taxminiy qiymat s k bilan belgilanadi.
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) siljish s ning taxminiy qiymatini toping:
\ (s \ taxminan S_n \) bu erda
\ (S_n = s_0 + \ nuqta + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ nuqta + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) Kerakli siljish ketma-ketlik chegarasiga (S n) teng:
$$ s = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$
Keling, xulosa qilaylik. Turli masalalarning yechimlari bir xil matematik modelga keltirildi. Fan va texnikaning turli sohalaridagi ko'plab muammolar hal qilish jarayonida bir xil modelga olib keladi. Bu shuni anglatadiki, ushbu matematik model maxsus o'rganilishi kerak.
Aniq integral tushunchasi
y = f (x), uzluksiz (lekin ko'rib chiqilayotgan masalalarda qabul qilinganidek manfiy bo'lishi shart emas) funksiya uchun ko'rib chiqilgan uchta masalada qurilgan modelning matematik tavsifini [a; b]:
1) biz segmentni ajratamiz [a; b] n ta teng qismga;
2) $$ summasini hosil qiling S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ nuqta + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) $$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$ ni hisoblang
Matematik tahlil jarayonida bu chegara uzluksiz (yoki bo'lak-bo'lak uzluksiz) funktsiya holatida mavjudligi isbotlangan. U chaqiriladi y = f (x) funksiyaning aniq integrali [a segmenti; b] va quyidagicha ifodalanadi:
\ (\ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
a va b raqamlari integratsiya chegaralari (mos ravishda, pastki va yuqori) deb ataladi.
Keling, yuqorida muhokama qilingan vazifalarga qaytaylik. 1-muammoda berilgan maydonning ta'rifi endi quyidagicha qayta yozilishi mumkin:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
bu erda S - yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan egri trapezoidning maydoni. Bu aniq integralning geometrik ma'nosi.
2-masalada berilgan t = a dan t = b gacha bo'lgan vaqt oralig'ida v = v (t) tezlik bilan to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi nuqtaning s ko'chish ta'rifini quyidagicha qayta yozish mumkin:
Nyuton formulasi - Leybnits
Boshlash uchun, keling, savolga javob beraylik: aniq integral va antiderivativ o'rtasida qanday bog'liqlik bor?
Javobni 2-masalada topish mumkin.Bir tomondan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab v = v (t) tezlikda harakatlanuvchi nuqtaning t = a dan t = b gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida siljishi s va quyidagicha hisoblanadi. formula
\ (S = \ int \ limits_a ^ b v (t) dt \)
Boshqa tomondan, harakatlanuvchi nuqtaning koordinatasi tezlik uchun antiderivativdir - uni s (t) bilan belgilaymiz; demak, siljish s s = s (b) - s (a)

Matematik tahlil jarayonida quyidagi teorema isbotlandi.

Teorema. Agar y = f (x) funksiya [a segmentida uzluksiz bo'lsa; b] bo'lsa, quyidagi formula to'g'ri keladi
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
Bu erda F (x) f (x) ga qarshi hosiladir.
Yuqoridagi formula odatda deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi bo'yicha ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643-1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646-1716) sharafiga, uni bir-biridan mustaqil ravishda va deyarli bir vaqtning o'zida qabul qildi.
Amalda, F (b) - F (a) yozish o'rniga, \ (\ chap. F (x) \ o'ng | _a ^ b \) (ba'zan deyiladi) yozuvidan foydalaning. ikki marta almashtirish) va shunga mos ravishda Nyuton - Leybnits formulasini quyidagi shaklda qayta yozing:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = \ chap. F (x) \ o'ng | _a ^ b \)
Aniq integralni hisoblab, avval anti hosilani toping, so'ngra ikki marta almashtirishni bajaring.
Nyuton - Leybnits formulasi asosida aniq integralning ikkita xossasini olish mumkin.
Mulk 1. Funktsiyalar yig'indisining integrali integrallar yig'indisiga teng:
\ (\ int \ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx + \ int \ limits_a ^ b g (x) dx \)
Mulk 2. Doimiy omil integral belgisidan chiqarilishi mumkin:
\ (\ int \ limits_a ^ b kf (x) dx = k \ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
Aniq integral yordamida planar figuralarning maydonlarini hisoblash
Integraldan foydalanib, nafaqat egri chiziqli trapezoidlarning, balki yanada murakkab turdagi tekis figuralarning maydonlarini hisoblash mumkin, masalan, rasmda ko'rsatilgan. P figurasi x = a, x = b to'g'ri chiziqlar va uzluksiz funksiyalar grafiklari y = f (x), y = g (x) bilan chegaralangan va segmentida [a; b] tengsizlik \ (g (x) \ leq f (x) \) bajariladi. Bunday raqamning S maydonini hisoblash uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx - \ int \ limits_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)
Demak, x = a, x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning S maydoni va y = f (x), y = g (x) funktsiyalarning grafiklari segmentda uzluksiz va har qanday x uchun segmentdan [a; b] tengsizlik \ (g (x) \ leq f (x) \) bajariladi, formula bo'yicha hisoblanadi.
\ (S = \ int \ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)
Ayrim funksiyalarning noaniq integrallari (antiderivativlari) jadvali
$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \;\; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ matn (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ matn (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ matn (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch) ) x + C $$
Nyuton formulasi - Leybnits
Tahlilning asosiy teoremasi yoki Nyuton-Leybnits formulasi ikki amal orasidagi munosabatni beradi: aniq integralni olish va antiderivativni hisoblash
So'z birikmasi
Funktsiyaning integralini ko'rib chiqing y = f(x) doimiy son ichida a raqamgacha x, biz buni o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqamiz. Integralni quyidagi shaklda yozamiz:
Bunday integral o'zgaruvchan yuqori chegarali integral deb ataladi. Aniq integraldagi o'rtacha teoremadan foydalanib, berilgan funksiya uzluksiz va differentsial ekanligini ko'rsatish oson. Shuningdek, bu funktsiyaning x nuqtadagi hosilasi integrallanuvchi funktsiyaning o'ziga teng. Bundan kelib chiqadiki, har qanday uzluksiz funktsiya to'rtburchak ko'rinishidagi anti hosilaga ega:. Va f funktsiyasining antiderivativlari sinfi doimiy qiymat bilan farq qilganligi sababli, shuni ko'rsatish oson: f funktsiyasining aniq integrali b va a nuqtalaridagi antiderivativlar qiymatlarining farqiga teng.
Boshqa lug'atlarda "Nyuton-Leybnits formulasi" nima ekanligini ko'ring:
Nyuton-Leybnits formulasi- Tahlilning asosiy teoremasi yoki Nyuton Leybnits formulasi ikki amal oʻrtasidagi munosabatni beradi: aniq integralni olish va antiderivativni hisoblash Formulyatsiya y = f (x) funksiyaning integralini doimiy sondan a dan ... gacha boʻlgan oraliqda koʻrib chiqing. ... Vikipediya
Yakuniy o'sish formulasi- Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega, Lagrange teoremasiga qarang. Cheklangan o'sishlar formulasi yoki Lagrangening o'rtacha qiymat teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar funktsiya intervalda uzluksiz bo'lsa va ... Vikipediya
Stokes formulasi- Stoks teoremasi differensial geometriya va matematik tahlilning differensial shakllarning integrasiyasi haqidagi asosiy teoremalaridan biri bo‘lib, tahlilning bir qancha teoremalarini umumlashtiradi. J.G. Stokes nomi bilan atalgan. Mundarija 1 Umumiy matn 2 ... ... Vikipediya
Nyuton - Leybnits FORMULA- berilgan f funktsiyaning aniq integralining qiymatini segment bo'ylab ushbu funktsiyaning har qanday anti hosilasi F segmenti uchlaridagi qiymatlar farqi ko'rinishida ifodalovchi formula I. Nyuton va nomlari bilan ataladi. G. Leybnits, qoidadan beri ... ... Matematika ensiklopediyasi
Nyuton Leybnits FORMULA- integral hisobning asosiy formulasi. f (x) funktsiyaning aniq integrali va uning har qanday anti hosilalari F (x) o'rtasidagi bog'lanishni ifodalaydi ... Katta ensiklopedik lug'at
Leybnits formulasi- Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega, Leybnits nomidagi obʼyektlar roʻyxatiga qarang. Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, Leybnits formulasiga (maʼnolariga) qarang. Integral hisobidagi Leybnits formulasi qoidadir ... ... Vikipediya
Nyuton-Leybnits formulasi- Nyutonning Leybnits formulasi, integral hisobining asosiy formulasi. f (x) funksiyaning aniq integrali bilan uning har qanday anti hosilalari F (x) o‘rtasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. ... * * * NEWTON LEYBNITS FORMULA NYYTON LEYBNITS FORMULA, asosiy formula ... ... ensiklopedik lug'at
To'rtburchaklar formulasi
Trapesiya formulasi- Shaklning maydoni sifatida aniq integral Raqamli integral (tarixiy nomi: kvadratura) aniq integralning qiymatini hisoblash (odatda taxminan), integralning qiymati son jihatdan maydonga teng ekanligiga asoslanadi. .. ... Vikipediya
Nyuton teoremasi- Nyuton Leybnits formulasi yoki tahlilning bosh teoremasi ikkita amal o'rtasidagi munosabatni beradi: aniq integralni olish va antiderivativni hisoblash. Agar u segmentda uzluksiz bo'lsa va ushbu segmentda uning har qanday antiderivativi bo'lsa, unda ... Vikipediya mavjud
Talabalar va maktab o'quvchilari o'tgan materialni birlashtirish uchun saytga onlayn aniq integrallar. Va amaliy ko'nikmalaringizni o'rgating. Aniq integrallarning onlayn to'liq yechimi bir necha daqiqada jarayonning barcha bosqichlarini aniqlashga yordam beradi.Onlayn integrallar - onlayn aniq integrallar. Talabalar va maktab o'quvchilari o'tgan materialni to'liq mustahkamlash va amaliy ko'nikmalarini o'rgatish uchun saytga onlayn tarzda aniq integrallar. Aniq integrallarning onlayn to'liq yechimi bir necha daqiqada jarayonning barcha bosqichlarini aniqlashga yordam beradi.Onlayn integrallar - onlayn aniq integrallar. Biz uchun bu mavzuni taniqli mualliflarning kitobidan o'rganib chiqqandan so'ng, Internetda ma'lum bir integralni olish ortiqcha tabiiy narsa emasdek tuyuladi. Ularga katta rahmat va bu insonlarga hurmatimizni bildiramiz. Bu qisqa vaqt ichida bunday muammolarni hisoblash uchun onlayn xizmatning ma'lum bir integralini aniqlashga yordam beradi. Faqat to'g'ri ma'lumotlarni kiriting va hamma narsa yaxshi bo'ladi! Muammoning yechimi sifatida har qanday aniq integral o'quvchilarning savodxonligini oshiradi. Har bir dangasa bu haqda orzu qiladi va biz bundan mustasno emasmiz, buni halol tan olamiz. Agar shunday bo'lsa-da, ma'lum bir integralni yechim bilan onlayn tarzda bepul hisoblash mumkin bo'lsa, undan foydalanmoqchi bo'lgan har bir kishiga sayt manzilini yozing. Ular aytganidek, foydali havolani baham ko'ring - va mehribon odamlar sizga sovg'a uchun rahmat aytadilar. Muammoni tahlil qilish masalasi juda qiziqarli bo'ladi, unda ma'lum bir integral sizning qimmatli vaqtingiz hisobiga emas, balki kalkulyator tomonidan o'z-o'zidan hal qilinadi. Shuning uchun ular odamlar uchun haydash uchun mashinalardir. Biroq, ma'lum integrallarning onlayn echimi tishlardagi har bir sayt uchun emas va uni tekshirish oson, ya'ni murakkab misolni olish va har bir bunday xizmat yordamida uni hal qilishga harakat qilish kifoya. Siz farqni qiyin yo'l bilan his qilasiz. Ko'pincha Internetda hech qanday harakat qilmasdan aniq integralni topish juda qiyin bo'ladi va sizning javobingiz natija taqdimotining umumiy tasviri fonida kulgili ko'rinadi. Avvaliga yosh jangchilar kursini o'tash yaxshi bo'lardi. Noto'g'ri integrallarning onlayn yechimi avval noaniqni hisoblash, so'ngra chegaralar nazariyasidan foydalanib, qoida tariqasida A va B chegaralari almashtirilgan olingan ifodalarning bir tomonlama chegaralarini hisoblashdan iborat. Siz ko'rsatgan aniq integralni hisobga olgan holda. batafsil yechim bilan onlayn, biz beshinchi bosqichda, ya'ni Chebyshev o'zgaruvchisini o'zgartirish formulasidan foydalanganda xato qildingiz degan xulosaga keldik. Keyingi qarorlaringizda juda ehtiyot bo'ling. Agar onlayn kalkulyator sizning aniq integralingizni birinchi marta qabul qila olmasa, birinchi navbatda saytdagi tegishli shakllardagi yozma ma'lumotlarni qayta tekshirishga arziydi. Hammasi joyida ekanligiga ishonch hosil qiling va boring, boring! Har bir talaba uchun to'siq bu o'qitish paytida noto'g'ri integrallarni onlayn hisoblashdir, chunki bu imtihon yoki kollokvium yoki shunchaki juftlik bo'yicha test. integratsiya chegaralari va Yechim tugmasini bosing, shundan so'ng siz kirish huquqiga ega bo'lasiz. to'liq batafsil javobga. Shunday bo'lsa-da, sayt kabi ajoyib sayt mavjud bo'lsa yaxshi, chunki u bepul va foydalanish uchun qulay, shuningdek, juda ko'p bo'limlarni o'z ichiga oladi. talabalar har kuni foydalanadigan, ulardan biri faqat to'liq yechim bilan ma'lum bir integral onlayn bor. Xuddi shu bo'limda siz javobni institutda ham, muhandislikda ham qo'llash uchun batafsil yechim bilan noto'g'ri integralni onlayn hisoblashingiz mumkin. Bunday misolni yuqori va pastki chegaralarsiz, ya'ni Leybnits integrali emas, balki noaniq integralni oldindan yechsak, onlayn rejimda aniq integralni aniqlash hamma uchun oson bo'lib tuyuladi. Ammo bu erda biz siz bilan mutlaqo rozi emasmiz, chunki birinchi qarashda bu shunday ko'rinishi mumkin, ammo sezilarli farq bor, keling, uni ajratamiz. Bunday aniq integral yechimni aniq bermaydi, balki ifodaning chegaraviy qiymatga aylanishi natijasida. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, avval siz chegaralarning ramziy qiymatlarini almashtirish bilan integralni hal qilishingiz kerak, so'ngra cheksizlikda yoki ma'lum bir nuqtada chegarani hisoblashingiz kerak. Demak, aniq integralni bepul yechim bilan onlayn hisoblash Nyuton-Leybnits formulasi bo'yicha aniq yechimni ifodalashdan boshqa narsani anglatmaydi. Agar siz bizning aniq integralimizni hisoblasangiz, kalkulyator uni bir necha soniya ichida ko'zingiz oldida hisoblashingizga yordam beradi. Bunday shoshqaloqlik vazifani imkon qadar tezroq engib, shaxsiy ishlaridan ozod bo'lishni istagan har bir kishiga kerak. Siz ro'yxatdan o'tishingizni so'raydigan saytlarni Internetda qidirmasligingiz kerak, keyin balansga pul to'ldirishingiz kerak va bularning barchasi go'yoki onlayn tarzda ma'lum integrallarga yechim tayyorlayotgan aqlli yigit uchun. Manzilni unutmang Math24 - bu ko'plab matematik muammolarni hal qilish uchun bepul xizmat, shu jumladan biz sizga aniq integralni onlayn topishga yordam beramiz va bunga ishonch hosil qilish uchun bayonotimizni aniq misollar bilan tekshiring.
Tegishli maydonga integralni kiriting, so'ngra cheksiz chegara qiymatlarini ko'rsating (bu holda noto'g'ri integrallarning yechimi onlayn tarzda hisoblanadi va olinadi) yoki batafsil yechim bilan raqamli yoki ramziy chegaralarni va aniq integralni onlayn tarzda o'rnating. "Yechim" tugmasini bosgandan so'ng sahifada ko'rsatiladi. To'g'ri emasmi - bu juda oddiy, sizdan keraksiz harakatlarni talab qilmaydi, bepul, bu eng muhimi va ayni paytda samarali. Siz xizmatdan o'zingiz foydalanishingiz mumkin, shunda onlayn kalkulyatorning ma'lum bir integrali sizga maksimal foyda keltiradi va siz barcha hisoblash jarayonlarining murakkabligiga ta'sir qilmasdan qulay holatga ega bo'lasiz, biz siz uchun hamma narsani qilamiz va barcha imkoniyatlarni namoyish qilamiz. zamonaviy dunyoda kompyuter texnologiyalarining kuchi. Agar siz eng murakkab formulalar o'rmoniga tushib qolsangiz va noto'g'ri integrallarni hisoblashni o'zingiz onlayn o'rgansangiz, bu maqtovga sazovor va siz nomzodlik ishini yozish imkoniyatiga murojaat qilishingiz mumkin, ammo keling, talabalar hayotining haqiqatlariga qaytaylik. Talaba kim? Avvalo, bu baquvvat va quvnoq yigit, dam olishga va uy vazifasini bajarishga vaqt ajratishni xohlaydi! Shu sababli, biz global tarmoqning kengligida noto'g'ri onlayn kalkulyator integralini topishga harakat qilayotgan talabalarga g'amxo'rlik qildik va mana sizning e'tiboringizga - sayt yoshlar uchun eng foydali onlayn hal qiluvchi hisoblanadi.

Aytgancha, bizning xizmatimiz talabalar va maktab o'quvchilariga yordamchi sifatida taqdim etilgan bo'lsa-da, u har qanday muhandis uchun to'liq mos keladi, chunki biz har qanday turdagi vazifalarni hal qila olamiz va ularning echimi professional formatda taqdim etiladi. Misol uchun, biz bosqichma-bosqich to'liq yechimga ega aniq onlayn integralni taklif qilamiz, ya'ni har bir mantiqiy blokga (pastki vazifa) umumiy yechim jarayonida barcha hisob-kitoblar bilan alohida yozuv beriladi. Bu, albatta, ko'p bosqichli ketma-ket tartiblarni idrok etishni soddalashtiradi va shuning uchun batafsil yechim bilan noto'g'ri integralni onlayn topish uchun shunga o'xshash xizmatlardan sayt loyihasining afzalligi

Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Bu funksiya deyiladi: integral yuqori chegara funktsiyasi sifatida. Keling, ushbu funktsiyaning bir nechta xususiyatlariga e'tibor qaratamiz.
Teorema 2.1. Agar f (x) integrallanuvchi funksiya bo'lsa, F (x) uzluksiz bo'ladi.
Isbot... Aniq integralning 9-xususiyati bo'yicha (o'rtacha qiymat teoremasi) bizda mavjud  , qaerdan, uchun, biz talab qilinadigan narsani olamiz.
Teorema 2.2. Agar funktsiyada f (x) uzluksiz bo'lsa, u holda F '(x) = f (x) yoniq.
Isbot... Aniq integralning 10-xususiyati bo'yicha (ikkinchi o'rtacha qiymat teoremasi), biz bor  qayerda Bilan- segmentning qaysidir nuqtasi. f funksiya uzluksiz bo'lganligi sababli, biz olamiz
Demak, F (x) f (x) funksiyaning antihosillaridan biri, demak, F (x) = F (x) + C, bunda F (x) f (x) ning boshqa antihosilasidir. Keyinchalik, F (a) = 0 bo'lgani uchun, keyin 0 = F (a) + C, shuning uchun C = -F (a) va shuning uchun F (x) = F (x) - F (a). x = b qo'yib, Nyuton-Leybnits formulasini olamiz

ga misollar
1.

Aniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash
Aniq integralda qismlar bo'yicha integrallash formulasi saqlanib qoladi. Bunday holda, u shaklni oladi


Aniq integralda o'zgaruvchilarning o'zgarishi
Aniq integraldagi o'zgaruvchilarning o'zgarishi bo'yicha natijalarning variantlaridan biri quyidagicha.
2.3 teorema. f (x) oraliqda uzluksiz bo‘lsin va shartlar qanoatlansin:
1) ph (a) = a
2) ph (b) = b
3) ph ’(t) hosilasi [a, b] segmentida hamma joyda aniqlanadi.
4) [a, b] dan barcha t uchun
Keyin 
Isbot. Agar F (x) f (x) dx uchun antiderivativ bo'lsa, F (ph (t)) uchun antiderivativ bo'ladi Shuning uchun F (b) - F (a) = F (ph (b)) - F (ph ( a)). Teorema isbotlangan.
Izoh. Agar f (x) funksiya 2.3-teorema shartlarida uzluksiz bo'lmasa, ph (t) funksiyaning monoton bo'lishini talab qilish kerak.
Misol. Integralni hisoblang Biz qo'yamiz Keyin dx = 2tdt va shuning uchun
Amaliy masalalarni yechish integralni hisoblashgacha qisqartiriladi, lekin buni har doim ham aniq bajarish mumkin emas. Ba'zan ma'lum bir integralning qiymatini ma'lum darajada aniqlik bilan bilish kerak, masalan, mingdan birgacha.
Muayyan integralning taxminiy qiymatini kerakli aniqlik bilan topish kerak bo'lganda muammolar mavjud, keyin Simposna usuli, trapetsiya, to'rtburchaklar kabi raqamli integrasiya qo'llaniladi. Hamma holatlar uni

y = y (x) funktsiya [a segmentidan uzluksiz bo'lganda; b], va F (x) bu segment funktsiyasining antiderivativlaridan biri, demak Nyuton-Leybnits formulasi adolatli hisoblanadi. Uni ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) shaklida yozamiz.

Ushbu formula hisobga olinadi integral hisoblashning asosiy formulasi.
Ushbu formulani isbotlash uchun mavjud o'zgaruvchan yuqori chegaraga ega bo'lgan integral tushunchasidan foydalanish kerak.
y = f (x) funksiya [a segmentidan uzluksiz bo'lganda; b], keyin argumentning qiymati x ∈ a; b, integral esa ∫ a x f (t) d t ko'rinishga ega bo'lib, yuqori chegaraning funksiyasi hisoblanadi. Funksiya yozuvini olish kerak ∫ axf (t) dt = P (x) ko'rinishda bo'ladi, u uzluksiz va ∫ axf (t) ko'rinishdagi tengsizlik dt "= P" (x) =. f (x) buning uchun amal qiladi.
PH (x) funktsiyaning o'sishi ∆ x argumentining o'sishiga to'g'ri kelishini aniqlaymiz, aniq integralning beshinchi asosiy xususiyatidan foydalanish va olish kerak.
P (x + ∆ x) - PH x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x
bu yerda c ∈ x qiymati; x + ∆ x.
P (x + ∆ x) - PH (x) ∆ x = f (c) ko'rinishdagi tenglikni tuzamiz. Funksiya hosilasining ta’rifiga ko‘ra, ∆ x → 0 ko‘rinishidagi chegaraga o‘tish kerak bo‘ladi, keyin P “(x) = f (x) ko‘rinishdagi formulani olamiz. P (x) ni olamiz. [a; b] da joylashgan y = f (x) ko‘rinishdagi funksiya uchun antiderivativlardan biri bo‘lib, aks holda ifoda yozilishi mumkin.
F (x) = PH (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, bu erda C qiymati doimiy.
Aniq integralning birinchi xossasidan foydalanib F (a) ni hisoblaymiz. Keyin biz buni olamiz
F (a) = PH (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, shuning uchun biz C = F (a) ni olamiz. Natija F (b) ni hisoblashda qo'llaniladi va biz quyidagilarni olamiz:
F (b) = P (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a), boshqacha aytganda, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (a). Tenglik Nyuton-Leybnits formulasini ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) isbotlaydi.
Funktsiyaning o'sishi F x a b = F (b) - F (a) sifatida qabul qilinadi. Belgilanishdan foydalanib, Nyuton-Leybnits formulasi ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) ko'rinishini oladi.
Formulani qo'llash uchun [a segmentidan y = f (x) integralining y = F (x) antiderivativlaridan birini bilish shart; b], ushbu segmentdan antiderivativning o'sishini hisoblang. Nyuton-Leybnits formulasidan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqing.
Aniq integral ∫ 1 3 x 2 d x ni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblang.
Yechim
y = x 2 ko rinishdagi integrasiya [1] segmentidan uzluksiz ekanligini hisobga oling; 3], keyin u ushbu segmentda integrallanadi. Noaniq integrallar jadvalidan biz y = x 2 funktsiyasi x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun antiderivativlar to'plamiga ega ekanligini ko'ramiz, demak, x ∈ 1; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C shaklida yoziladi. C = 0 bo'lgan antiderivativni olish kerak, keyin biz F (x) = x 3 3 ni olamiz.
Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanamiz va aniq integralni hisoblash ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 ko'rinishda bo'lishini bilib olamiz.
Javob:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
2-misol
Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x ni hisoblang.
Yechim
Berilgan funksiya segmentdan uzluksiz [- 1; 2], shuning uchun u integraldir. Noaniq integralning ∫ x ex 2 + 1 dx qiymatini differensial belgi ostiga tushirish usuli yordamida topish kerak, keyin ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2) ni olamiz. + 1) = 1 2 ex 2 + 1 + C.
Demak, bizda y = x · e x 2 + 1 funksiyaning barcha x, x ∈ - 1 uchun o'rinli bo'lgan antiderivativlar to'plami mavjud; 2.
C = 0 da antiderivativni olish va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz
∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Javob:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
3-misol
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x va ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallarini hisoblang.
Yechim
Segment - 4; - 1 2 integral belgisi ostidagi funksiya uzluksiz ekanligini bildiradi, ya’ni uning integrallanishi mumkin. Bu yerdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyaning anti hosilalari to'plamini topamiz. Biz buni tushunamiz
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
F (x) = 2 x 2 - 2 x antiderivativni olish kerak, keyin Nyuton-Leybnits formulasini qo'llagan holda biz integralni olamiz, biz uni hisoblaymiz:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Biz ikkinchi integralni hisoblashga o'tamiz.
Segmentdan [- 1; 1] bizda integratsiya cheklanmagan deb hisoblanadi, chunki lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞, u holda segmentdan integrallashning zarur sharti kelib chiqadi. U holda F (x) = 2 x 2 - 2 x [- 1 segmentidan y = 4 x 3 + 2 x 2 uchun antiderivativ emas; 1], chunki O nuqta segmentga tegishli, ammo ta'rif sohasiga kiritilmagan. Bu [- 1 segmentidan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali borligini bildiradi; bir].
Javob: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28,[- 1 segmentidan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; bir].
Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashdan oldin aniq integral mavjudligi haqida aniq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak.
Aniq integraldagi o'zgaruvchining o'zgarishi
y = f (x) funksiya aniqlangan va [a segmentidan uzluksiz bo'lganda; b], keyin mavjud to'plam [a; b] a segmentida aniqlangan x = g (z) funksiya qiymatlari diapazoni hisoblanadi; b mavjud uzluksiz hosila bilan, bu erda g (a) = a va g b = b, bundan ∫ abf (x) dx = ∫ a b f (g (z)) · g "(z) d z ni olamiz. .
Bu formula ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash zarur bo'lganda qo'llaniladi, bunda noaniq integral ∫ f (x) d x ko'rinishga ega bo'lib, almashtirish usuli yordamida hisoblanadi.
4-misol
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x ko‘rinishdagi aniq integralini hisoblang.
Yechim
Integral integrallash oralig'ida uzluksiz hisoblanadi, ya'ni mavjudlik uchun aniq integral sodir bo'ladi. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 ekanligini belgilaylik. X = 9 qiymati z = 2 9 - 9 = 9 = 3 ekanligini bildiradi va x = 18 uchun biz z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 ni olamiz, keyin g a = g (3) = 9, g b = g 3 3 = 18. Olingan qiymatlarni ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g "(z) d z formulasiga almashtirib, biz hosil bo'lamiz.
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 22 + 9 dz
Noaniq integrallar jadvaliga asosan, 2 z 2 + 9 funksiyaning anti hosilalaridan biri 2 3 a r c t g z 3 qiymatini olishiga egamiz. Keyin, Nyuton-Leybnits formulasini qo'llagan holda, biz olamiz
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c 2 p = 8
Topish ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) · g "(z) d z formulasidan foydalanmasdan ham amalga oshirilishi mumkin edi.
Agar almashtirish usulida ∫ 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi integrali ishlatilsa, u holda ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C natijaga erishamiz.
Bu yerdan Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarni bajaramiz va aniq integralni hisoblaymiz. Biz buni tushunamiz
∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctan 2 18 - 9 3 - arctan 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctan 3 - arctan 1 = 2 3 p 3 - = p 18
Natijalar mos keldi.
Javob: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = p 18
Aniq integralni hisoblashda qismlar bo'yicha integrallash
Agar segmentda [a; b], u (x) va v (x) funktsiyalari aniqlangan va uzluksiz, keyin ularning birinchi tartibli hosilalari v "(x) · u (x) integrallanishi mumkin, shuning uchun bu oraliqdan integrallanuvchi funksiya uchun u" (x) ) · v ( x) tenglik ∫ abv "(x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu" (x) v (x) dx to'g'ri.
Keyin formuladan foydalanish mumkin, ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak, ∫ f (x) d x esa uni qismlar bo'yicha integrallash orqali izlash kerak edi.
5-misol
Aniq integral ∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x ni hisoblang.
Yechim
x · sin x 3 + p 6 funksiya - p 2 oraliqda integrallanadi; 3 p 2, shuning uchun u uzluksiz.
u (x) = x, keyin d (v (x)) = v "(x) dx = sin x 3 + p 6 dx va d (u (x)) = u" (x) dx = dx, va v (x) = - 3 cos p 3 + p 6. Formuladan ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u" (x) v (x) d x ni olamiz
∫ - p 2 3 p 2 x sin x 3 + p 6 dx = - 3 x cos x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 - ∫ - p 2 3 p 2 - 3 cos x 3 + p 6 dx = = - 3 3 p 2 cos p 2 + p 6 - - 3 - p 2 cos - p 6 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 sin p 2 + p 6 - sin - p 6 + p 6 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 3 2 = 3 p 4 + 9 3 2
Misolni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin.
Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, x sin x 3 + p 6 funksiyaning anti hosilalari to‘plamini qismlar bo‘yicha integrallash orqali toping:
∫ x sin xx 3 + p 6 dx = u = x, dv = sin x 3 + p 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + p 6 = = - 3 cos x 3 + p 6 + 3 ∫ cos x 3 + p 6 dx = = - 3 x cos x 3 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 + C ⇒ ∫ - p 2 3 p 2 x sin x 3 + p 6 dx = - 3 cos x 3 + p 6 + 9 sincos x 3 + p 6 - - - 3 - p 2 cos - p 6 + p 6 + 9 sin - p 6 + p 6 = = 9 p 4 + 9 3 2 - 3 p 2 - 0 = 3 p 4 + 9 3 2