In this chapter, the effect of an external static electric field is described within the BenDa niel-Duke model for the conduction band, introduced in the previous chapter. In Section 4

Three Dimensionality

3. Трехмерность
3. Uch o‘lchovlilik
Until now, we have only considered a lD tunneling problem. To calculate charge densities, however, we need to take into account the other two dimensions as well. Here, we use the fact that the energy in the tunneling direction is conserved. Taking z to be the tunneling direction, we can separate in the 3D Density Of States (DOS), , the contributions from the parallel and the perpendicular directions:
До сих пор мы рассматривали только задачу туннелирования LD. Однако, чтобы вычислить плотность заряда, мы должны принять во внимание и два других измерения. Здесь мы используем тот факт, что энергия в направлении туннелирования сохраняется. Приняв z за направление туннелирования, мы можем разделить в трехмерной плотности состояний (DOS) вклад параллельного и перпендикулярного направлений:
Hozirgacha biz faqat LD tunnel muammosini ko'rib chiqdik. Zaryad zichligini hisoblash uchun biz boshqa ikki o'lchovni ham hisobga olishimiz kerak. Bu erda biz tunnel yo'nalishidagi energiya saqlanib qolganligidan foydalanamiz. z ni tunnel yo'nalishi sifatida qabul qilsak, biz Shtatlarning 3D zichligi (DOS), , parallel va perpendikulyar yo'nalishlardan hissalarni ajratishimiz mumkin:
(9)
so that we can write for the 3D electronic concentration :
так что мы можем написать для трехмерной электронной концентрации :
Shunday qilib, biz 3D elektron konsentratsiyasi uchun yozishimiz mumkin:

(10)
Here, is the Fermi-Dirac distribution, the moments of which a.re known
Здесь — распределение Ферми — Дирака, моменты которого известны
Bu erda - Fermi-Dirak taqsimoti, uning momentlari ma'lum
as the Fermi~Dirac integrals :
как интегралы Ферми-Дирака :
Fermi~Dirak integrallari kabi:

with the inverse temperature. Assuming plane waves in the x- and y-direction, we can express the 2D electronic density in terms of :
с обратная температура. Предполагая плоские волны в направлениях x и y, мы можем выразить двумерную электронную плотность через :
teskari harorat bilan. X va y yo'nalishdagi tekis to'lqinlarni nazarda tutsak, biz 2D elektron zichlikni ni ga ifodalashimiz mumkin:

with Ne the effective number of states per unit volume in the conduction band (without spin!).
The ID DOS in (10) can be expressed in terms of the wave functions W(z) determined by the transfer matrix approach (see section 2):
где Ne — эффективное число состояний в единице объема в зоне проводимости (без спина!).
ID DOS в (10) может быть выражена через волновые функции W(z), определяемые с помощью матричного подхода (см. раздел 2):
bilan Ne o'tkazuvchanlik zonasidagi hajm birligiga to'g'ri keladigan holatlarning samarali soni (spinsiz!).
ID DOS (10) uzatish matritsasi yondashuvi bilan aniqlangan W(z) toʻlqin funksiyalari bilan ifodalanishi mumkin (2-boʻlimga qarang):
(12) Eqs.(10)-(12) allow us to calculate the electronic concentrations at the beginning
of the structure (z=0), at the end and in the well In the z=0 case, the norm squared of the wave function is proportional .to (l+R) (see (8)), which we approximate by 2 since except for ; the remaining integral is the Fermi-Dirac integral of order :
Уравнения (10)-(12) позволяют вычислить концентрации электронов в начале
конструкции (z=0), в конце и в яме . В случае z=0 квадрат нормы волновой функции пропорционален (l+R) (см. (8)), что мы округлить на 2, начиная с , кроме ; оставшийся интеграл представляет собой интеграл Ферми-Дирака -го порядка:
Tenglamalar (10)-(12) boshida elektron konsentratsiyalarni hisoblash imkonini beradi
konstruksiyaning (z=0), uchida va quduqda z=0 holatda to‘lqin funksiyasining normasi kvadrati .(l+R) ga proporsional (qarang (8)), biz buni taxminan 2 ga dan beri dan tashqari; Qolgan integral tartibli Fermi-Dirak integralidir:
(13)
( takes into account spin degeneracy). In the other two cases and the norm squared of the wave function is proportional to (1-R) (see (8)), which we replace by the -function (6); thus we obtain for the concentration at the end of the structure:
( учитывает спиновое вырождение). В двух других случаях и квадрат нормы волновой функции пропорционален (1-R) (см. (8)), которую мы заменим -функцией (6); таким образом, для концентрации в конце структуры получаем:
( spin degeneratsiyasini hisobga oladi). Boshqa ikkita holatda va to'lqin funktsiyasining kvadrati normasi (1-R) ga proportsionaldir (qarang (8)), biz uni -funktsiya (6) bilan almashtiramiz; Shunday qilib, strukturaning oxiridagi konsentratsiyani olamiz:

and in the well:
и в колодце:
va quduqda:
(15)
In (14) and (15), and are to be evaluated at · If we had taken into account more than one resonance, there would have appeared a sum over all resonances in these equations. Since is a rapidly decreasing function of the contribution of higher resonances to the concentrations can in most cases be neglected.
В (14) и (15) и должны оцениваться как · Если бы мы учитывали более одного резонанса, то в этих уравнениях появилась бы сумма по всем резонансам. Поскольку является быстро убывающей функцией , вкладом высших резонансов в концентрации в большинстве случаев можно пренебречь.
(14) va (15) da va da baholanishi kerak. Agar biz bir nechta rezonansni hisobga olganimizda, bu tenglamalarda barcha rezonanslar yig'indisi paydo bo'lar edi. ning tez kamayuvchi funksiyasi bo'lgani uchun ko'p hollarda yuqori rezonanslarning kontsentratsiyalarga qo'shgan hissasini e'tiborsiz qoldirish mumkin.
In the same way as we determined the concentrations, we can also determine the current density . Since is independent of z, we can evaluate it at any position. If we concentrate on the end of the structure, we have electrons per unit volume, all with the same velocity component in the z-direction . Using na yields:
Точно так же, как мы определяли концентрации, мы также можем определить плотность тока . Поскольку не зависит от z, мы можем вычислить его в любой позиции. Если мы сосредоточимся на конце структуры, у нас будет электрона на единицу объема, все с одной и той же составляющей скорости в z-направлении . Использование na дает:
Konsentratsiyalarni aniqlaganimizdek, oqim zichligini ham aniqlashimiz mumkin . z dan mustaqil bo'lgani uchun biz uni istalgan pozitsiyada baholashimiz mumkin. Agar biz strukturaning oxiriga e'tibor qaratadigan bo'lsak, bizda z-yo'nalishi da bir xil tezlik komponentiga ega bo'lgan birlik hajm uchun ta elektron mavjud. na hosildan foydalanish:
(16)
With (16) we have found the current density as a function of . and
С помощью (16) мы нашли плотность тока как функцию . 22 и
(16) bilan biz joriy zichlikni funktsiya sifatida topdik. va
The latter quantities should now be expressed in terms of the bias . Before presenting how to do this selfconsistently, we use (15) and (16) to make a second estimate of the dwell time in the well, dividing the (areal) charge density in the well by [7],[12]. It is easily shown that this expression coincides with (7) if , as is the case in a biased DBRTD. A further discussion is postponed to Section 6.
Последние количества теперь должны быть выражены через смещение . Прежде чем представить, как сделать это самосогласованно, мы используем (15) и (16), чтобы сделать вторую оценку времени пребывания в яме, разделив (поверхностную) плотность заряда в яме на [7], [12]. Нетрудно показать, что это выражение совпадает с (7), если , как это имеет место в смещенном РДБРД. Дальнейшее обсуждение отложено до раздела 6.
Oxirgi miqdorlar endi tarafkashlik bilan ifodalanishi kerak. Buni o'z-o'zidan qanday amalga oshirishni ko'rsatishdan oldin, quduqdagi (real) zaryad zichligini ga [7], [12] bo'lib, quduqda turish vaqtining ikkinchi taxminini qilish uchun (15) va (16) dan foydalanamiz. Bu iboraning (7) agar ga to'g'ri kelishi osonlik bilan ko'rsatilgan, xuddi tarafkash DBRTDda bo'lgani kabi. Keyingi muhokama 6-bo'limga qoldirildi.