Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar

a  b
_yoki [a,b]
kabi bеlgilanadi.


→

O

2-shakl
Vektor ko‘paytmaning xossalari

1. 
   xossa. Ko‘paytuvchilarning o‘rinlari almashtirilsa vektor ko‘paytma ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartiradi, ya’ni
   

_{a→ } → → _→

b

b  a
b  b  a.
Isboti. Vektor ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra
a_→  → va →
→ vektorlar bir xil

uzunlikka ega (parallelogrammning yuzi o‘zgarmaydi), kollinear, ammo qarama-
_→ → _→ → → _→ → _→

qarshi yo‘nalgan, chunki uchlik tashkil qiladi.
Demak,
a,b,a  b
vektorlar ham
b,a,b  a
vektorlar ham o‘ng

_{a→ } → → _→
b  b  a.

2. 
   xossa. Skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan guruhlash xossasi:
   

(a^→)  ^→  (a^→  ^→ _.

Isboti.

  0
b

b
bo‘lsin. U holda ^(a→^{) } →
→
b)

b )
_va (a^→  ^→
→ →
vektorlar ^a→
→
va ^b

b

b )
vektorlarga perpendikulyar bo‘ladi, chunki ^{b, a} va ^a vektorlar bir tekislikda

yotadi. Shu sababli

(a^→)  ^→ _va
(a^→  ^→

vektorlar kollinear. Shuningdek, bu

vektorlar yo‘nalishdosh ( ^a→ va ^a→ vektorlar yo‘nalishdosh) hamda ular bir xil
uzunlikka ega:

b |

| b | sin((

a), b))

| b | sin(a , b),
| (a^→)  → | a^→ |  →
_→ ^ →
  | a^→ |  ^→
_→ ^ →

| (a^→  →   | a^→  →   | a^→ |  →
_→ ^ →

Demak,
b) |

b | | b | sin(a , b).

(a^→)  ^→  (a^→  ^→ _.

Xossa
b b)

^{  0} da ham shu kabi isbotlanadi.

3. 
   xossa. Qo‘shishga nisbatan taqsimot xossasi:
   

(b  c)  a  b  a  c
_a→ _ ^→ →
→ ^→ → →
.

Bu xossaning isbotini boshqa manbalardan topish mumkin ^{1 2}

4. 
   xossa. Agar ^a→
   

→
va ^b

vеktorlar kollinear bo‘lsa, u holda ularning vektor

ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi. Shunindek, teskari tasdiq o‘rinli: agar

_{a→ } → _→ →
_a→ →

b  0 (| a | 0,| b | 0)
bo‘lsa, u holda
va ^b
vеktorlar kollinear bo‘ladi.

Isboti. ^a→
→
va ^b


b |
vеktorlar kollinear bo‘lsa, ular orasidagi burchak
  0^o

yoki

  180 ^o
ga teng va ^{sin  0}
bo‘ladi. U holda ^{| a}→ ^ → ^{| a}→ ^{| }
→

b
| b | sin
  0.

Bundan
a^→  →  0 _.

_{→ →} | a_→  → _→ → _→ →

a  b  0
bo‘lsa,
b || a |  | b | sin  0
bo‘ladi. U holda
| a |  | b | 0
bo‘lgani

uchun
sin  0.

Bundan
  0^o

yoki
  180 ^o
, ya’ni ^a→
→
va ^b

vеktorlar kollinear.

→ → ^→
8.1-misol. ^{i , j, k} vеktorlarning vektor ko‘paytmalarini toping.
Yechish. Bunda vektor ko‘paytmaning ta’rifigadan quyidagi tengliklar bevosita kelib chiqadi:

i^→  ^→j  ^→
→ _ ^→ _ →
^→  i^→  ^→j.

k , j k i , k
→ → ^→
→ _→ → _→

Haqiqatan ham, masalan, ^{i  j  k} tenglik o‘rinli, chunki: 1)
k  i , k  j;

^{→ → →} _o → → ^→

₂₎ | k || i || j | sin90 1_{; 3)} i , j, k
vеktorlar o‘ng uchlik tashkil qiladi.

Shuningdek, 1- xossaga ko‘ra


j  i  k,








k  j  i,








i  k   j .

Vektor ko‘paytmaning 4- xossasidan topamiz:

i  i 

  
j  j  k  k  0 _.

^→  
_→  → _{ 
→} → _→ →

8.2-misol. ^{| a}→ ^{| 3}, ^{| b | 2} ,
hisoblang.
(a , b )
_{6 bo‘lsin.} | (a  2b)  (a  3b) |_ni

Yechish. Vektor ko‘paytmaning ta’rifi va xossalaridan foydalanib, topamiz:

2b)  (a  3b)  a  a  2b  a  3a  b  6b  b  5a  b
(a^→  →
→ ^→ → →
^→ _{→ →} ^→ ↼ ^→ _→ ^→
.

| (a^→  ^{→ → →}
→ ^→ → ^→ 

Bundan
2b )  (a  3b ) || 5a  b | 5 | a |  | b | sin  5  3  2  sin

6
 15
.

Koordinatalari bilan bеrilgan vеktorlarning vektor ko‘paytmasi
a^→ {a ;a ;a } ^→  {b ;b ;b }

Ikkita

x y
→ → ^→
z va ^b

x y z
vektor berilgan bo‘lsin.

U holda, ^{i , j,k}
vektorlarning vektor ko‘paytmalari formulalaridan foydalansak,

¹ Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 96-99
² M.Corrol. Vektor calculus. Copyright. Copyright. 2011, pp. 20-30

a^→  →
→ → ^↼
→ → ^→ → →
→ → → ^→

b  (a_xi

• 
  a_y j  a_z k )  (b_xi
  
• 
  b_y j  b_z k )  a_xb_x (i  i )  a_xb_y (i  j )  a_xb_z (i  k ) 
  

• 
  a b ( ^→j  i^→)  a b
  

( ^→j  ^→j)  a b ( ^→j  ^→ 
→  i^→) 
→  ^→j) 
→  → 

y x y y
_{y z} k )
a_zb_x (k
a_zb_y (k
a_zb_z (k k )

 ^→  a b
^→j ^
→  a b i^→  a b ^→j  a b i^→  (a b

• 
  a b
  

)i^→  (a b  a b ) ^→j 

^ax^by ^k x z
^ay^bx^k y z z x z y

y z z y

x z z x

ya’ni

• 
  (a_xb_y
  

→ _ay

• 
  
  b
  a_yb_x )k 
  

y
^a_{z i}^→ _ a_x
^b_z b_x
^{az →}j  ^ax
_bz b_x
a_y →

b
k ,
y

b

ay	az	i^→	ax	az	^→j 	ax ay	→ k
b	bz		b	bz		bx by

a^→  → 
^y x

(8.1)

bo‘ladi. Oxirgi tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

_i→ →_j

b

x

y
a^→  ^→  a a
b_x b_y
→
k
a_z
b
^z . (8.2)

8.3-misol.
a^→  {3;1;
→ {0;2;4}
bo‘lsin.
(a^→ 
→  (2a^→  →
kopaytmani

toping.
2}, b

2b)
3b)

b
Yechish. Avval topamiz: