Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar

5-xossa. Agar determinant biror satrining (ustunining) barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi:

Xossaning isboti 4-xossadan  da kelib chiqadi.
6-xossa. Agar determinantning ikki satri (ustuni) proporsional bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi. Masalan,

Isboti. 4-xossaga ko‘ra determinant ikkinchi satrining  ko‘paytuvchisini determinant belgisidan chiqarish mumkin. Natijada ikkita bir xil satrli determinant qoladi va u 3-xossaga ko‘ra nolga teng bo‘ladi.
7-xossa. Agar determinantning biror satri (ustuni) elementlariga boshqa satrining (ustunining) mos elementlarini biror songa ko‘paytirib qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
Isboti.   determinantning ikkinchi satri elementlariga  ga ko‘paytirilgan birinchi satrning mos elementlari qo‘shilgan bo‘lsin:


Qo‘shiluvchilardan birinchisi  ga va ikkinchisi esa 3-xossaga ko‘ra nolga teng. Demak, yig‘indi  ga teng.
1-izoh. Determinantning xossalari asosida quyidagi teorema isbotlangan.
1-teorema. Bir xil tartibli  va  kvadrat matritsalar ko‘paytmasining determinanti bu matritsalar determinantlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni

3. Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer formulalari
a) Quyidagi sistema ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi: …….....(1)
Bu sistemani yechishning qo`shish, o`rniga qo`yish va grafik usullari bilan o`rta umumta’lim dasturlarida tanishganmiz. Quyida sistemani 2-tartibli determinanatdan foydalanib yechish usulini ko`rib chiqamiz.
(1) tenglamalar sistemasini analitik usulda tekshiramiz. (1) sistema yechimga ega deb faraz qilamiz:
; ..  ; . 
Ushbu  ; …. ; belgilashlarni kiritamiz, natijada ; munosabatlar ushbu ko‘rinishni oladi: ; ;
bu yerda  (1) sistemaning determinanti deyiladi. (1) sistema yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo‘lishi zarur:

bo‘lganda (1) ning yagona yechimi quyidagicha topiladi:
,
b) Quyidagi sistema uch noma’lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi:
Ushbu tenglamalar sistemasini ham yuqoridagi usulda, 3-tartibli determinanatdan foydalanib yechamiz. Buning uchun ushbu belgilashlarni kiritamiz:

Ikki va uch nоma’lumli chiziqli tеnglamalar sistеmasini dеtеrminantlardan fоydalanib yechish qоidasiga Kramеr usuli, yuqorida keltirilgan fоrmulalar Kramеr fоrmulalari dеyiladi.