Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni kanonik shaklga keltirish usullari

Lemma. funksiya (1.2.7) birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli yechimi bo’lishi uchun ning (1.2.8) oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bo’lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik funksiya (1.2.7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli biror yechimi bolsin. U holda

ayniyatga ega bo’lamiz. Uni quyidagi ayniyat bilan almashtiramiz

. (1.2.9)

Endi oshkormas munosabatdan funksiyani aniqlash mumkin deb, uning hosilasini qaraymiz

.

U holda (1.2.8) ni quyidagi

. (1.2.10)

Ta’kidlanganidek (1.2.9) ning ayniyat ekanligidan so’ngi tenglik ham sohada qaralayotgan har bir nuqtada bajariladi. Bu esa funksiya (1.2.8) ning umumiy yechimi ekanligini anglatadi. Bunday nuqtalar to’plami esa umumiy integralni beradi.

Yetarliligi. Faraz qilaylik (1.2.8) ning umumiy integrali bo’lsin. Qaralayotgan sohadan ixtiyoriy bir nuqtani olamiz. Va bu nuqtadan (1.2.8) ning shartni qanoatlantiruvchi biror integral chizig’ini o’tkazamiz. Endi shartni qanoatlantiruvchi integral egri chiziq uchun (1.2.10) ning o’rinli ekanligini olamiz. Undan esa (1.2.5) ning da bajarilishini hosil qilamiz. Lemma isbot bo’ldi.

(1.2.8) oddiy differensial tenglama quyidagi ikki oddiy differensial tenglamaga ajraladi:

(1.2.11)

(1.2.11) dagi ildiz belgisi ostidagi ifodaning qaralayotgan nuqtadagi qiymatiga qarab (1.2.2) tenglama quyidagi 3 tipga ajraladi.

Ta’rif. 1) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (1.2.2) tenglama bu nuqtada giperbolik tipli deyiladi.

2) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (1.2.2) tenglama bu nuqtada parabolik tipli deyiladi.

3) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (1.2.2) tenglama bu nuqtada elliptik tipli deyiladi.

(1.2.2) tenglamaning hamma giperbolik tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami shu tenglamaning giperboliklik to’plami, parabolic tipli nuqtalari to’plami parabolic sohasi va elliptic tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami uning elliptiklik sohasi deyiladi. Agar (1.2.2) tenglama qaralayotgan soha nuqtalarida bir nechta tipga ega bo’lsa, bu sohada tenglama aralash tipli deyiladi.

Endi (1.2.2) tenglama faqat bir tipga ega bo’ladigan biror D to’plamni qaraymiz. (1.2.11) ga asosan bu sohaning har bir nuqtasidan (1.2.2) tenglamaning ikkita xarakteristik chizig’I o’tadi. Xususan, (1.2.2) tenglama D sohada giperbolik tipli bo’lganda ikkala turli haqiqiy qiymatli, parabolik holda ustma-ust tushuvchi haqiqiy qiymatli va elliptik bo’lganda esa ikkita qo’shma kompleks qiymatli xarakteristik chiziqlar hosil bo’ladi. (1.2.2) tenglamaning kanonik shaklini topish uchun bu hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1. 
   D sohada (1.2.2) giperbolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (1.2.11) ning har ikkala tenglamasi haqiqiy qiymatli
   

umumiy integrallarga ega bo’ladi. Mavzu boshida aytilgan yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. U holda Lemma va (1.2.6) ga asosan bo’lib, yangi o’zgaruvchilarda (1.2.2) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

, (1.2.12)

bunda

.

Odatda (1.2.12) tengalamaga giperbolik tenglamalarning 1-tur kanonik shakli deyiladi. Agar unda almashtirishlarni bajarsak

bo’lib, (1.2.12) ga asosan giperboik tenglamalarning 2-tur kanonik shakli

hosil bo’ladi.

2. 
   D sohada (1.2.2) parabolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tenglik o’rinli. Bu holda (1.2.11) ning har ikkala tenglamasi bitta haqiqiy qiymatli
   

umumiy integralga ega bo’ladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bunda orqali bilan chizqli bogl’anmagan ixtiyoriy funksiya tanlangan. U holda Lemma va (1.2.6) ga asosan va bo’lib, bo’lganligi uchun (1.2.6) dan

ekanligini olamiz. Natijada (1.2.5) da bo’lish bilan giperbolik tipli tenglamalarning kanonik shakli ni hosil qilamiz:

.

Bunda

.

3. 
   D sohada (1.2.2) tenglama elliptik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (1.2.11) ikkita qo’shma kompleks umumiy integrallarga ega bo’ladi
   

.

Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bu holda o’rinli bo’ladi. (1.2.5) tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lib, elliptic tipli tenglamalarning

kanonik shaklini hosil qilamiz.

Xulosa. i) Shunday qilib, ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli (1.2.2) differensial tenglamani kanonik shaklga keltrish uchun yuqorida bayon qilingan usul odatda xarakteristikalar usuli deb atalib, u quyidagi bosqichlarda bajariladi:

1) Tenglama tipi orqali aniqlanadi;

2) (1.2.8) xarakteristik tenglamaning umumiy integrallari (1.2.11) orqali topiladi;

3) Tenglama tipiga mos ravishda o’zgaruvchilardan yangi o’zgaruvchilarga o’tiladi;

4) Yangi o’zgaruvchilarda (1.2.5) tenglama koeffisientlari (1.2.6) orqali topiladi; Bunda giperbolik holda ; parabolic holda va lliptik holda ekanligini hisobga olib nolga teng koeffisientlarni hisoblash shart emas.

5) Topilgan koeffisientlar (1.2.5) ga qo’yilib, noma’lum funksiyaning yuqori tartibli xususiy hosilasining koeffisientiga bo’lish amali bajariladi.