Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni kanonik shaklga keltirish usullari

Aim.uz

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni kanonik shaklga keltirish usullari

Oldingi mavzuda ta’kidlanganidek ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama noma’lum funksiya va uning barcha xususiy hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa, unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deb yuritiladi.

Odatda to’g’ri chiziqd bo’layotgan jarayonlar nuqta o’rni va vaqtga nisbatan ikki o’zgaruvchili funksiya orqali tavsiflansa, shu kabi tekislikdagi fizik jarayonlar uch o’zgaruvchili funksiyalar orqali tavsiflanadi.

Quyida biz n ta erkli o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishini keltiramiz:

, (1.2.1)

bunda , va funksiyalar qaralayotgan sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi berilgan funksiyalar.

Biz ushbu kursda asosan ikki o’zgaruvchili funksiyalar bilan shug’ullanamiz va ko’p o’zgaruvchili hol uchun tegishli ko’rsatma beramiz. Bu holda ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama quiydagi ko’rinishda yoziladi:

(1.2.2)

Agar (1.2.2) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni o’zaro bir qiymatli

(1.2.3)

almashtirish bajarsak (1.2.2) differensial tenglamaga ekvivalent tenglamani hosil qilamiz. Ushbu yangi o’zgaruvchilarda (1.2.2) tenglamada ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni hisoblaymiz:

<sub>(1.2.4)

(1.2.4) dagi ifodalarni (1.2.2) ga qo’yamiz va bir xil xususiy hosilalarni jamlab, (1.2.2) ga ekvivalent bo’lgan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamaga kelamiz:</sub>

. (1.2.5)

Bunda koeffisientlardagi funksiyalar (1.2.2) tenglama koeffisientlari orqali quyidagicha ifodalanadi

_(1.2.6)

Demak o’zaro bir qiymatli akslantirishlar natijasida xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o’tar ekan. (1.2.6) dan ko’rinib turibdiki, agar biror funksiya

(1.2.7)

1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda (1.2.6) da deb olinsa bo’ladi. Xuddi shu kabi mulohazalarni va koeffisientlar uchun ham aytish mumkin. Demak yangi o’zgaruvchilarni (1.2.5) diffrensial tenglamaning yuqori tartibli xususiy hosilalaridan ba’zilari nolga teng bo’ladigan qilibtanlash masalasi (1.2.7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimini topish bilan uzviy bog’liq ekan. 2-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning aralash ikkinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashmagan bu sodda shakli odatda uning kanonik shakli deb yuritiladi.

Kanonik shaklini ta’minlovchi (1.2.7) birinchi tartibli xusuiy hosilali differensial tenglamaning yechimga ega bo’lish masalasi (1.2.2) dtenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi

(1.2.8)

oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bilan uzviy bog’liq bo’ladi. Uning umumiy integrallariga odatda (1.2.2) tenglamaning xarakteristik chiziqlari deb yuritiladi. Yuqoridagi tasdiqni biz quyidagi lemmada keltiramiz.

Lemma. funksiya (1.2.7) birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli yechimi bo’lishi uchun ning (1.2.8) oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bo’lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik funksiya (1.2.7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli biror yechimi bolsin. U holda

ayniyatga ega bo’lamiz. Uni quyidagi ayniyat bilan almashtiramiz

. (1.2.9)

Endi oshkormas munosabatdan funksiyani aniqlash mumkin deb, uning hosilasini qaraymiz

.

U holda (1.2.8) ni quyidagi

. (1.2.10)

Ta’kidlanganidek (1.2.9) ning ayniyat ekanligidan so’ngi tenglik ham sohada qaralayotgan har bir nuqtada bajariladi. Bu esa funksiya (1.2.8) ning umumiy yechimi ekanligini anglatadi. Bunday nuqtalar to’plami esa umumiy integralni beradi.

Yetarliligi. Faraz qilaylik (1.2.8) ning umumiy integrali bo’lsin. Qaralayotgan sohadan ixtiyoriy bir nuqtani olamiz. Va bu nuqtadan (1.2.8) ning shartni qanoatlantiruvchi biror integral chizig’ini o’tkazamiz. Endi shartni qanoatlantiruvchi integral egri chiziq uchun (1.2.10) ning o’rinli ekanligini olamiz. Undan esa (1.2.5) ning da bajarilishini hosil qilamiz. Lemma isbot bo’ldi.

(1.2.8) oddiy differensial tenglama quyidagi ikki oddiy differensial tenglamaga ajraladi:

(1.2.11)

(1.2.11) dagi ildiz belgisi ostidagi ifodaning qaralayotgan nuqtadagi qiymatiga qarab (1.2.2) tenglama quyidagi 3 tipga ajraladi.

Ta’rif. 1) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (1.2.2) tenglama bu nuqtada giperbolik tipli deyiladi.

2) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (1.2.2) tenglama bu nuqtada parabolik tipli deyiladi.

3) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (1.2.2) tenglama bu nuqtada elliptik tipli deyiladi.

(1.2.2) tenglamaning hamma giperbolik tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami shu tenglamaning giperboliklik to’plami, parabolic tipli nuqtalari to’plami parabolic sohasi va elliptic tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami uning elliptiklik sohasi deyiladi. Agar (1.2.2) tenglama qaralayotgan soha nuqtalarida bir nechta tipga ega bo’lsa, bu sohada tenglama aralash tipli deyiladi.

Endi (1.2.2) tenglama faqat bir tipga ega bo’ladigan biror D to’plamni qaraymiz. (1.2.11) ga asosan bu sohaning har bir nuqtasidan (1.2.2) tenglamaning ikkita xarakteristik chizig’I o’tadi. Xususan, (1.2.2) tenglama D sohada giperbolik tipli bo’lganda ikkala turli haqiqiy qiymatli, parabolik holda ustma-ust tushuvchi haqiqiy qiymatli va elliptik bo’lganda esa ikkita qo’shma kompleks qiymatli xarakteristik chiziqlar hosil bo’ladi. (1.2.2) tenglamaning kanonik shaklini topish uchun bu hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1. 
   D sohada (1.2.2) giperbolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (1.2.11) ning har ikkala tenglamasi haqiqiy qiymatli
   

umumiy integrallarga ega bo’ladi. Mavzu boshida aytilgan yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. U holda Lemma va (1.2.6) ga asosan bo’lib, yangi o’zgaruvchilarda (1.2.2) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

, (1.2.12)

bunda

.

Odatda (1.2.12) tengalamaga giperbolik tenglamalarning 1-tur kanonik shakli deyiladi. Agar unda almashtirishlarni bajarsak

bo’lib, (1.2.12) ga asosan giperboik tenglamalarning 2-tur kanonik shakli

hosil bo’ladi.

2. 
   D sohada (1.2.2) parabolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tenglik o’rinli. Bu holda (1.2.11) ning har ikkala tenglamasi bitta haqiqiy qiymatli
   

umumiy integralga ega bo’ladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bunda orqali bilan chizqli bogl’anmagan ixtiyoriy funksiya tanlangan. U holda Lemma va (1.2.6) ga asosan va bo’lib, bo’lganligi uchun (1.2.6) dan

ekanligini olamiz. Natijada (1.2.5) da bo’lish bilan giperbolik tipli tenglamalarning kanonik shakli ni hosil qilamiz:

.

Bunda

.

3. 
   D sohada (1.2.2) tenglama elliptik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (1.2.11) ikkita qo’shma kompleks umumiy integrallarga ega bo’ladi
   

.

Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bu holda o’rinli bo’ladi. (1.2.5) tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lib, elliptic tipli tenglamalarning

kanonik shaklini hosil qilamiz.

Xulosa. i) Shunday qilib, ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli (1.2.2) differensial tenglamani kanonik shaklga keltrish uchun yuqorida bayon qilingan usul odatda xarakteristikalar usuli deb atalib, u quyidagi bosqichlarda bajariladi:

1) Tenglama tipi orqali aniqlanadi;

2) (1.2.8) xarakteristik tenglamaning umumiy integrallari (1.2.11) orqali topiladi;

3) Tenglama tipiga mos ravishda o’zgaruvchilardan yangi o’zgaruvchilarga o’tiladi;

4) Yangi o’zgaruvchilarda (1.2.5) tenglama koeffisientlari (1.2.6) orqali topiladi; Bunda giperbolik holda ; parabolic holda va lliptik holda ekanligini hisobga olib nolga teng koeffisientlarni hisoblash shart emas.

5) Topilgan koeffisientlar (1.2.5) ga qo’yilib, noma’lum funksiyaning yuqori tartibli xususiy hosilasining koeffisientiga bo’lish amali bajariladi.

ii) Ko’p o’zgaruvchili hol uchun kvadratik formlar usuli. Agar qaralayotgan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli diffrensial tenglama uch yoki undan ortiq erkli o’zgaruvchilarga bog’liq funksiyaga nisbatan tuzilgan bo’lsa, u holda bu tenglamaning tipini topish uchun unga mos kvadratik forma qaraladi:

. (1.2.13)

Agar shunday almashtirish topilib, (1.2.13) kvadratik forma

(1.2.14)

kanonik ko’rinishga ega bo’lsin. Chunki har qanday simmetrik matrissa diagonal shaklga keladi va uning diagonal elementlari 1,-1,0 lardan iborat bo’ladi.

Agar (1.2.14) formada bo’lib, barcha qo’shiluvchilar bir xil ishorali bo’lsa, u holda bu bu sohada tenglama elliptic tipli deyiladi.

Agar (1.2.14) formada bo’lib, qo’shiluvchilar orasida turli ishorali hadlar mavjud bo’lsa, u holda bu sohada tenglama giperbolik tipli deyiladi.

Agar (1.2.14) formada bo’lsa, u holda bu sohada tenglama parabolik tipli deyiladi.

Ba’zan (1.2.14) ning asos matrisasi tuziladi:

.

Qaralayotgan tenglamada izlanayotgan yechimni ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar sinfidan deb qaraganimiz uchun takroroi xususiy hosilalar ikaalasi ham bir vaqtda mavjud va bir-biriga tengligi bizga matematik analiz kursidan ma’lum. Shuning uchun ham biz tenglamadgi koeffisientlar uchun deb qaraymiz. Shu sababli yuqorida kiritilgan matrissa o’z-o’ziga qo’shma (transponirlangan matrissasi o’ziga teng) bo’lgan kvadratik matrissadan iborat bo’ladi. Bunday matrisalarni albatta diagonal shaklga keltirish mumkin. Keltirilgan shakldagi barcha elementlar noldan farqli va bir xil ishorali 1 yoki -1 dan iborat bo’lsa tenglama bu nuqtada elliptic tipli, agar qaralayotgan nuqtada diagonal matrissaning elementlari har xil ishorali 1 va -1 lardan iborat bo’lsa bu nuqtada tenglama giperbolik tipli va nihoyat dioganalda 0 ham qatnashsa bu nuqtada tenglama parabolic tipga ega bo’ladi.

Aim.uz