Ikkinchi tartibli sirtlarning to’G`ri chiziq bilan kesishuvi” mavzudagi kurs ishi ilmiy rahbar

Teorema. Xar qanday F silliq sirt o’zining xar bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo’lib, u yagonadir. Agar r=r(u,v) tenglama F sirtning silliq parametrlangan bo’lsa, R nuqtadagi urinma tekislik ru va rv vektorlarga // dir.
Isbot. Faraz qilaylik ( tekislik F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi bo’lsin. U xolda ta‘rifga asosan Q(r da (h/d)(0 bo’ladi. Agar n orqali ( tekislikning normal birlik vektorini belgilasak
d=|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
_­h=|(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|
bo’ladi. Bundan
(h/d)= |(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v+v)-r(u,v)|
nisbat 0 ga intiladi.
Ta‘rifga asosan (u va (v larning xar biri aloxida 0 ga intilganda (h/d)(0 bo’ladi.
Xususan,
(|(r(u+u, v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v)-r(u,v)|)0
Lekin oxirgi ifodani surat va maxrajini u ga бo’либ, u0 da limitga o’tsak,
(|r_u(u,v)n|/|r_u(u,v)|)0
ni topamiz.
Demak, r_u(u,v)n=0. Bundan r_un kelib chiqadi. Bu esa r_u vektorni  tekislikka parallel ekanini ko’rsatadi. Xuddi shuningdek r_vn=0 dan r_v n ni yoki r_v// ekanini topamiz.
Agar r_u va r_v vektorlarni 0 dan farqli va [r_u, r_v]0 ekanini etiborga olsak, urinma tekislikning yagonaligi kelib chiqadi. Shuningdek urinma tekislikning mavjud ekandigini xam ko’rsatish oson.
Urinma tekislikning tenglamalari.
Faraz qilaylik F sirt
x=f₁(u,v), y=f₂(u,v), z=f₃(u,v) (1)
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tekislikning o’zgaruvchi nuqtasi A(x,y,z) bo’lsin. U xolda yukorida isbot qilingan teoremaga asosan , , vektorlar komplanar bo’ladi. Komplanarlik shartiga asosan ulaning aralash ko’paytmasi 0 ga teng bo’ladi.
Bundan urinma tekislikning tenglamasini quyidagi ko’rinishda yozamiz.


=0 (2)
Agar sirt tenglamasi z=f(x,y) ko’rinishda berilgan bo’lsa,
bu tenglama
x=u, y=v, z=f(u,v)
ko’rinishdagi paraemtrik tenglamaga teng kuchlidir. Shuning uchun urinma tekislik tenglamasi kuyidagi ko’rinishda bo’ladi:
=0 (2)
yoki
z-f(x₀,y₀)= f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+ f_y(x₀,y₀)(y-y₀) (3)
Endi F sirt
(x,y,z)=0 (_x²+_y²+_z²0)
ko’rinishdagi oshkormas tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Faraz kilaylik
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
tenglama F sirtning qandaydir parametrik tenglamasi bo’lsin. U xolda quyidagi
( x(u,v), y(u,v), z(u,v))=0
ayniyatga ega bo’lamiz. Bu ayniyatni u va v parametrlar bo’yicha differentsiallab quyidagini olamiz:
_xx_u+_yy_u+_zz_u=0
_xx_v+_yy_v+_zz_v=0
Oxirgi tengliklar shuni ko’rsatadiki, (_x, _y, _z) vektor r_u(x_u, y_u, z_u) r_v(x_v, y_v, z_v) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko’paytmasi 0 ga teng bo’ldi. Demak, bu vektor urinma tekislikka perpendikulyar ekan. Buni etiborga olib urinma tekislik tenglamasini osongina yoza olamiz, ya‘ni
_x(x-x₀)+_y(y-y₀)+_z(z-z₀)=0 (4)
Ta‘rif. F sirtning R nuqtasidagi normali deb, sirtning shu nuqtasidagi urinma tekislikka perpendikulyar to’g`ri chiziqqa aytiladi.
Yuqoridagi muloxazalarga asosan sirtning normali [r_u, r_v] vektor bo’ylab yo’nalgan bo’ladi. Shuning uchun normal tenglamasini osongina tuzish mumkin.
Xaqiqatan xam [ru, rv] vektor normal uchun yo’naltiruvchi vektor bo’lganligidan uning tenglamasini

kurinishida yozamiz.
Urinma tekislik, urinma tekislik tenglamalari, sirtning normali, normal tenglamasi, silliq parametrlangan sirt, vektorlarning komplanarligi.
3.2-§. Sirtlarning tekislik bilan kesishuv chizig‘ini va kesim yuzalarining haqiqiy kattaligini yasash

Sirtlarning umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishish chiziqlari quyidagi algoritm asosida bajariladi:

• 
  berilgan  sirt va Q tekislik yordamchi kesuvchi P₁ tekislik bilan kesiladi (15.1-rasm). P₁ yordamchi tekislikni shunday o‘tkazish kerakki, uning  sirt bilan kesishiish chizig‘i to‘g‘ri chiziq yoki aylana singari sodda chiziq bo‘lsin.
  
• 
  yordamchi P₁ tekislik bilan  sirtning kesishish chizig‘i m₁ yasaladi: ∩P₁=m₁
  
• 
  berilgan Q va P₁ tekisliklarning o‘zaro kesishish to‘g‘ri chizig‘i yasaladi: Q∩P₁=a₁;
  
•