Ikkinchi tartibli sirtlarning to’G`ri chiziq bilan kesishuvi” mavzudagi kurs ishi ilmiy rahbar

2.4§ Ikkinchi tartibli sirtlarning to’g’ri chiziqli yasovchilari

Biz yuqorida ikkinchi tartibli sirtlarning turli sinflari bilan tanishdik.Unda sirtlar bir biridan tenglamalari yoki tariflari bilan farq qilar ekan. Endi bu sirtlarni biz boshqa nuqtai nazardan ikki sinfga ajratamiz: ulardan biriga ikkinchi tartibli shunday sirtlarni kiritamizki ular o’z tarkibiga to’g’ri chiziqlarni to’liq olsin, bunday sirtlar to’g’ri chiziqli sirtlar deyiladi; ikkinchi tartibli slindr va konuslar bularga yaqqol misol bo’la oladi. Ikkinchi sinfga esa tarkibida bitta ham to’g’ri chiziq bo’lmagan ikkinchi tartibli sirtlarni kiritamiz, ravshanki, ellipsoid chegaralangan sirt bo’lgani uchun uning tarkibida to’g’ri chiziq yo’q, demak, ellipsoid ikkinchi sinfga kiradi. Sirtlar tarkibidagi to’g’ri chiziqlar shu sirtlarning yasovchilari deyiladi. Tarkibida cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud bo’lgan sirtlar (konus va slindrdan boshqa ) yana bormi degan savolga javob izlaymiz.

Buning uchun giperbolik paraboloidni tekshirib ko’raylik:
(x² /p)-(y²/q)=2z, p>0, q>0 (1)
Shu sirtga tegishli tayin M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtani olaylik. M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtadan o’tib (1) paraboloid tarkibida bo’lgan to’gri chiziqlarni izlaylik, buning uchun M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziqni parametrik tenglamasini yozaylik
U:x=x₀+lt
y=y₀+mt (2)
z=z₀+nt
bunda l, m, n yo’naltiruvchi vektorning koordinatalari bo’lib shularni va M₀(x₀, y₀, z₀) ni berish bilan U to’g’ri chiziqning vaziyati aniq bo’ladi.Bu yo’naltiruvch vektorning yo’nalishi xattoki l:m:n nisbat bilan ham to’liq aniqlanadi. Shu nisbatni izlaylik.

1. 
   va (2) dan:
   

[(x₀+lt)²/p]-[(y₀+mt)²/q]=2(z₀+nt)
(x₀, y₀, z₀) giperboloidga tegishli bo’lgani uchun uchinchi qavs ichidagi ifoda no’lga tengdir, shuni e’tiborga olsak,
Agar U to’g’ri chiziq giperbolik paraboloid tarkibida bo’lsa, u holda (3) tenglik t ning har qanday qiymatida o’rinli bo’lishi kerak, demak,

 (4)
Aksincha, (4) bajarilsa, U  (1), demak, (4) shartlar to’g’ri chiziqning giperbolik paraboloidga to’liq tegishli bo’lishi uchun zaruriy va yetarli shartlar ekan.
(4) ning birinchisidan:
m=±  yoki m₁= , m₂=- 
bulardan:
 : 
 = :  (5)
(5) ning har birini (4) ning ikkinchisi bilan birgalikda yechilsa,

 :  : 

 = :  :  (6)
Bundan ko’rinadiki, paraboloidning M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtasidan yo’nalishi (6) tengliklar bilan aniqlanadigan ikkita to’g’ri chiziq o’tib ular giperbolik paraboloidning yasovchilari ro’lini o’ynaydi.
Endi  ={ } vektorga parallel bo’lgan yasovchi bilan
 (7)
Tekislikning o’zaro vaziyatini tekshiraylik. Bu tekislikning normal vektori
G iperbolik paraboloidning barcha yasovchilarini ikki oilaga shunday ajratamizki, birinchi oilaga faqatgina П₁ tekislikka parallel bo’lganlari kiradi, ikkinchi oilaga П₂ tekislikka parallel bo’lganlari kiradi.(Shuni eslatamizki, bu ikki oilaga kirmagan yasovchi qolmaydi, chunki biz yuqorida giperboloidning har bir nuqtasidan faqatgina ikkita yasovchi o’tishini va bu yasovchilardan biri П₁ ga, ikkinchisi П₂ ga parallel ekanligini isbotladik). U holda

z=0
to’g’ri chiziq birinchi oilaga


 
z=0

to’g’ri chiziq esa ikkinchi oilaga tegishli bo’ladi.

Shunisi ham diqqatga sazovorki, bir oilaning bitta to’g’ri chizig’ining har bir nuqtasidan ikkinchi oilaning bitta to’g’ri chizig’i o’tadi.
Endi giperbolik paraboloidning yasovchilaridan har hil oilaga tegishli ikki yasovchini doimo kesishishligini ko’rs ataylik.
Xaqiqatdan ham (1) ning M₁(x₁, y₁, z₁) nuqtasidan o’tib  ={ } vektorga parallel bo’lgan   yasovchining tenglamasi ((6) ga asosan )
 
(1) ning M₂(x₂, y₂, z₂) nuqtasidan o’tib  ={ } vektorga parallel bo’lgan  yasovchining tenglamasi:

bo’lib  birinchi oilaga,   ikkinchi oilaga tegishlidir.
Bulardan ko’rinadiki    =_{ } (chunki mos koordinatalar proporsional emas). Endi bu ikki to’g’ri chiziqning bir tekislikda yotishlik shartini tekshiraylik:


 + )=( - ) - -2 ( - -2 )]= .
Qavs ichidagi ifodalar no’lga tengdir, chunki M₁, M₂ nuqtalar giperbolik paraboloidga tegishlidir.Demak  ,   bir tekislikda yotadi va kesishadi.
Giperbolik paraboloid bir oilaga tegishli ikki yasovchisi o’zaro ayqash joylashgandir.
Xaqiqatdan ham bir oilaga aniqrog’i birinchi oilaga tegishli ikki u₁, u₂’ yasovchisini olsak, ularning har biri П₁tekislikka hamda u₁ u₂’ =Ø (agar ular kesishib qolsa ikki oilaga tegishli bo’lib qoladi, bu esa u₁, u₂’ ning olinishiga ziddir), lekin ular u₁≠ u₂’ , agar ular u₁ǁu₂’ bo’lib qolsa ,ikkinchi oilaga tegishli barcha yasovchilar bu ikki chiziqni kesib, shu to’g’ri chiziqlardan o’tgan tekislikka joylashib qoladi, buning bo’lishi mumkin emas. Demak u₁ va u₂’lar o’zaro ayqash joylashgan.
Agar giperbolik paraboloid (1) ko’rinishdagi tenglama bilan aniqlansa uning birinchi oilaga tegishli to’g’ri chiziqlarini (λ²+ν²≠0 shartda)
λ( ,
ν(  (8)
ko’rinishda izlash qulaydir, λ va ν ga har xil qiymatlar berish bilan shu oilaga tegishli yasovchilari topiladi. (8) tenglamaning to’g’ri chiziqni aniqlashi ravshan, agar ikkila tenglamaning chap tomonini chap tomoniga, o’ng tomonini o’ng tomoniga ko’paytirsak va λν ga bo’lib yuborsak, (1) hosil bo’ladi, demak, (8) ni qanoatlantiruvchi nuqtalar (1) ga ham tegishli ekan.
Ikkinchi oila yasovchilarini esa ushbu ko’rinishda izlash mumkin
λ( ,
ν(  (9)
Endi bir pallali giperbloidni olaylik:
 + - =1 (10)
Bu sirtning to’g’ri chiziqli yasovchilarining mavjudligini isbotlash va ularni toppish masalasini mufassal tekshirmasdan, biz bu ishda quyidagi faktlarning o’rinli ekanini takidlaymiz xolos.

1. 
   Bir pallali giperboloidning har bir nuqtasidan uning faqat ikkita yasovchisi o’tadi.
   
2. 
   Bir pallali giperboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari ham ikki oilaga ajralib , birinchi oilaga tegishli to’g’ri chiziqlar
   

λ( ν(1+ )
ν( λ(1- )(λ²+ν²≠0) (11)
tenglamalar bilan, ikkinchi oilaga tegishli to’g’ri chiziqlar esa
λ( ν(1- )
ν( λ(1+ )(12)
tenglamalar bilan aniqlanadi va λ, ν ga turli qiymatlar berib turli-turli to’g’ri chiziqli yasovchilarni hosil qilish mumkin.

3. 
   Bir pallali giperbloidning bir oilaga tegishli ikki yasovchisi o’zaro ayqashdir.
   
4. 
   Bir pallali giperbloidning xar hil oilaga tegishli ikki yasovchisi o’zaro kesishadi.
   

Biz yuqorida ellipsoidning to’g’ri chiziqli yasovchilarining yo’qligini ko’rsatgan edik, shunga o’xshash, ikki pallali giperboloid ham to’g’ri chiziqli yasovchilarga ega bo’lmaydi. Haqiqatdan ham, ikki pallali giperboloidni x=h (h²˃a²) tekislik bilan kesilganda, ravshanki, kesimda aynimagan ikkinchi tartibli chiziq hosil bo’lib, buning tarkibida to’ri chiziq yo’qdir, demak, ikki pallali giperboloidni YOZ tekislikka parallel to’g’ri chiziqli yasovchisi yo’q, agar YOZ ga parallel bo’lmagan to’g’ri chiziqli yasovchi bor bo’lsa, u to’g’ri chiziq bu tekislik bilan kesishadi, kesimda hosil bo’lgan nuqta to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lib, ikki pallali giperboloidga tegishli emas. Demak, ikki pallali giperboloid to’g’ri chiziqli yasovchilarga ega emas.
Xuddi shu usul bilan elliptik paraboloid uchun ham yasovchilarning mavjud emasligini ko’rsatish mumkin.
2.1-§. SIRTNING URINMA TEKISLIGI VA NORMALI
Aytaylik F sirt va unda yotuvchi R nuqta olaylik. R nuqta orqali ( tekislikni o’tkazamiz. Sirt ustida R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: =(Q,)=h, (Q, р)=d.
Ta‘rif. Agar Q nuqta R nuqtaga intilganda h/d 0 ga intilsa( tekislikni F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi deyiladi.