Ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar
Bu paragrafda ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana, ellips, giperbola va parabolalar hamda ularga doir masalalarni keltiramiz.
1.1. Aylana
Ma’lumki, tekislikda berilgan M(a;b) nuqtadan bir xil R masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni aylana deb ataladi. Bunda M(a;b) nuqta aylana markazi, R esa aylana radiusidir.

Aylana ta’rifidan foydalanib, markazi M(a;b) nuqtada va radiusi R bo’lgan aylananing

² + ² = R²

kanonik tenglamasini keltirib chiqarish mumkin.

Agar aylananing markazi koordinata boshida bo’lsa, ya’ni a=0, b=0 bo’lsa, u holda tenglama ²+ ² = ² ko’rinishga keladi.

Agar aylananing markazi o’qida yotsa, u holda uning tenglamasi

²+ ²= ²

ko'rinishda, agar aylananing markazi OY o’qida yotsa, u holda uning tenglamasi

^{2 2}= ²

ko’rinishda bo’ladi.

Aylana tenglamasi va larga nisbatan ikkinchi darajali tenglama bo’lib, unda ² va ² lar bir xil koeffitsientlar bilan qatnashadi. Bundan tashqari, tenglamada va lar ko’paytmasi qatnashmaydi.

Demak, aylana tenglamasi umumiy ko’rinishda quyidagicha yoziladi.

²+ ²+

Bu tenglamani ² + ² = ² tenglama bilan solishtirib,

ekanligini ko’rishimiz mumkin.

Bunda quyidagi xususiy hollar bo’lishi mumkin:

a) bo’lsa, u holda bo’lib, 0  tenglama aylana tenglamasini ifodalaydi;

b) bo’lsa, u holda bo’lib, qaralayotgan tenglama bitta nuqtani anglatadi.

c) bo’lsa, u holda mavhum son bo’lib, qaralayotgan tenglama ma’noga ega bo’lmaydi.

1.2 Ellips

Har bir nuqtasidan berilgan ikkita F₁ va F₂ nuqtalargacha masofalarning yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’lgan tekislikdagi nuqtalarning geometrik o’rni ellips deb ataladi. Bunda F₁(-c;0) va F₂(c;0) nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi (1-chizma).

ga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.

ellipsning katta o’qi, ellipsning kichik o’qi deyiladi. va lar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o’qlari deyiladi. ellipsning fokusi deyiladi (1-chizma).

Ellipsning fokuslari orasidagi masofani uning katta o’qi uzunligiga nisbati ellipsning eksentrisiteti deyiladi va bilan belgilanadi. Demak,

.

₁ + va ₂ - larni ellipsning fokal radiuslari deyiladi.

va tenglamalar bilan berilgan to’g’ri chiziqlarga ellipsning direktrisalari deyiladi.


1.3 Giperbola

Har bir nuqtasidan ikkita va nuqtalargacha masofalar ayirmasining absolyut qiymati o’zgarmas soniga teng bo’lgan tekislikdagi nuqtalarning geometrik o’rniga giperbola deb ataladi. Bunda va nuqtalar giperbolaning fokuslari deb ataladi (1-chizma).

tenglamaga giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.

Giperbola o’qini ikkita va nuqtalarda kesib o’tadi. Ular giprbolaning uchlari deyiladi. Ular orasidagi masofa giperbolaning haqiqiy o’qi deyiladi. va nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari, ular orasidagi masofa esa giperbolaning mavhum o’qi deb ataladi. va sonlariga giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o’qlari deb ataladi. Giperbolaning o’qlari kesishadigan nuqta uning markazi deyiladi.

tenglamalar bilan aniqlangan chiziqlarga giperbolaning asimptotalari deb ataladi.

Giperbolaning fokuslari orasidagi masofani uning haqiqiy o’qi uzunligiga nisbati giperbolaning eksentrisiteti deyiladi va u bilan belgilanadi. Demak,

Giperbolaning nuqtasidan uning va fokuslarigacha bo’lgan masofalar shu nuqtaning fokal radiuslari deyiladi. Ular uchun

va

formulalar o’rinlidir.

Tenglamalari bo’lgan ikkita va vertikal to’g’ri chiziqlar giperbolaning direktrisalari deb ataladi. Ularning biri markaz bilan nuqta orasida, ikkinchisi esa markaz bilan nuqta orasida joylashgan bo’ladi.

Agar giperbolaning kanonik tenglamasida bo’lsa, u holda tenglama ko’rinishga keladi va u teng tomonli giperbola deyiladi.

1.4 Parabola

Hаr bir nuqtаsidаn fоkus dеb аtаluvchi bеrilgаn nuqtаgаchа vа dirеktrisа dеb аtаluvchi bеrilgаn to’g’ri chiziqqаchа bo’lgаn mаsоfа o’zаrо tеng bo’lgаn tеkislikdаgi bаrchа nuqtаlаr to’plаmigа pаrаbоlа dеb аtаlаdi. Bunda nuqta fokus, to’g’ri chiziq esa direktrisa deyiladi.

tenglamaga parabolaning kanonik tenglamasi, uning parametri deyiladi.



parabolaning fokal radiusi deb ataladi. Parabola uchun bo’ladi (1-chizma).

va lar ham parabolaning tenglamalari bo’lib, ular mos ravishda o’qining chap qismida, o’qining yuqori qismida va o’qining quyi qismida joylashgan bo’ladi (2,3,4-chizmalar).


http://fayllar.org