|
cos = cos • cos + sin • sin • cos C
munosabat bajariladi.
I s b o t i. Uch yoqli burchakning c qirrasida ixtiyoriy C nuqtani olamiz va CB c, CA c to'g'ri chiziqlarni o'tkazamiz (15.15-chizma), bunda A va B nuqtalar CA va CB perpendikularlarning a va b qirralar bilan kesishgan nuqtalaridir. A va B nuqtalarni tutashtirib, ABC ni hosil qilamiz. Kosinuslar teoremasiga ko'ra, ABC dan
AB2 = AC2 + BC2 - 2A• BC • CC
va ABO dan
AB2 = A02 + BO2- 2AO • BO • cos
munosabatlarga ega bo'lamiz. Bu tengliklarning ikkinchisidan birinchisini ayiramiz:
AO2 +B02-AC2-BC2+2AC • BC • cosC-2AO • BO • cos = 0. (1)
ABC va ABO to'g'ri burchakli bo'lganligidan,
AO2 -AC2= OC2 va BO2 - BC2 = OC2 (2)
bo'ladi. U holda (1) va (2) tengliklardan
AO•BO•cos = OC2 + AC•BC•cosC
ifodani hosil qilamiz. Lekin
= cos , = cos , =sin =sin
ekanligini hisobga olsak, talab qilingan
cos = cos • cos + sin • sin • cos C (3)
formulani olamiz. (3) tenglik uch yoqli burchak uchun kosinuslar formulasi deyiladi.
Teorema (sinuslar formulasi). Agar — uch yoqli burchakning yassi burchaklari, A, B, C — ular qarshisidagi ikki yoqli burchaklar bo'lsa ,
= =
tenglik bajariladi.
I s b o t i. (3) kosinuslar formulasidan cosC ni topamiz:
cosC = cos -cos • cos
sin •sin
Endi bizga ma'lum formuladan
sin2C=1-cos2C=1-(cos -cos • cos ) =
sin2 •sin2
= sin2 •sin2 -(cos -cos • cos )2 =
sin2 •sin2
=(1 – cos2 )(1 – cos2 ) - (cos -cos • cos )2 =
sin2 •sin2
= 1 – cos2 – cos2 -cos2 +2cos •cos •cos
sin2 •sin2
bo'lishi kelib chiqadi. Oxirgi tenglikning ikki tomonini sin2y ga bo'lamiz:
sin2C= 1 – cos2 – cos2 -cos2 +2cos •cos •cos
sin2 sin2 •sin2 •sin2
(5) tenglikning o'ng tomoni , , miqdorlarga nisbatan simmetrikdir. Agar sin2A sin2 va sin2B nisbatlarni ham hisoblasak,
sin2
o'ng tomonda (5) ning o'ng tomonidagi ifodani hosil qilamiz. Shu sababli bu nisbatlar o'zaro teng:
sin2A = sin2B = sin2C
sin2 sin2 sin2
(4) formula sinuslar formulasi deyiladi.
N a t i j a 1 a r: 1. Uch yoqli burchakning har bir yassi burchagi uning qolgan ikkita yassi burchagi yig'indisidan kichik.
Uch yoqli burchak yassi burchaklariningyig'indisi 360° dan kichik.
Chekli sondagi tekisliklar bilan chegaralangan jism ko'pyoq deyiladi. Ko'pyoqning chegarasi uning sirti deyiladi.
Sodda ko'pyoqlarga prizma va piramida kiradi. Biz prizma va piramidaning sirti haqidagi tushunchani to'ldirib, sodda ko'pyoqlarga misollar keltiramiz.
Chekli sondagi ko'pburchaklarning quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi birlashmasi sodda ko'pyoqlisirtdeyiladi.
1. Bu ko'pburchaklarning ixtiyoriy ikkita uchi uchun ular-ning tomonlaridan tuzilgan siniq chiziq mavjud bo'lib, olingan uchlar shu siniq chiziqning uchlari bo'ladi.
2. Ko'pburchaklar birlashmasining ixtiyoriy nuqtasi berilgan ko'pburchaklardan faqat birining nuqtasi bo'ladi yoki ikkita va faqat ikkita ko'pburchakning umumiy tomoniga tegishli bo'ladi. Ko'pyoqli burchakning tekis burchaklari vazifasini o'tovchi birgina ko'pyoqli burchakning uchi bo'ladi. Bu talablarni 71 va 72-rasmlarda tasvirlangan ko'pburchaklar birlashmasi qanoatlantiradi. Bundan keyin sodda sirtlar haqida so'z yuritganda «sodda» so'zini ishlatmasdan ko'pyoq deb gapiramiz.
Ko'pyoqli sirtni tashkil qiluvchi ko'pburchaklar uning yoqlari deyiladi, bu ko'pburchaklarning tomonlari ko'pyoqli sinning qirralari, uchlari esa ko'pyoqli shaklning uchlari deyiladi.
Agar ko'pyoqli sirtning har bir qirrasi uning ikkita yog'i-ga tegishli bo'lsa, u holda bu ko'pyoqli sirt yopiq sirt deyiladi. Prizmaning yon sirti (71- rasm) yopiq bo'lmagan ko'pyoqli sirtga misoldir, piramidaning sirti (72- rasm) yopiq ko'pyoqli sirtga misoldir.
Yopiq ko'pyoqli sirt fazoning shu sirtga tegishli bo'lmagan barcha nuqtalari to'plamini ikkita qism to'plamga ajra-tadi. Bu qism to'plamlardan biri uchun shu qism to'plamga tegishli to'g'ri chiziqlar mavjud; ikkinchisi uchun esa bunday to'g'ri chiziqlar mavjud emas. Ko'rsatilgan qism to'plamlardan birinchisi ko'pyoqli sirtning tashqi sohasi, ikkinchisi ichki sohasi deyiladi.
T a' r i f. Yopiq ko'pyoqli sirt bilan uning ichki sohasining birlashmasi ko'pyoq deyiladi.
T a' r i f. Ko'pyoqli sirt va uning ichki sohasi mos ravishda ko 'pyoqning sirti va ko 'pyoqning ichki sohasi deyiladi.
Ta'rif. Ko'pyoqli sirtning yoqlari, qirralari, uchlari mos ravishda ko'pyoqning yoqlari, qirralari va uchlari deyiladi.
Ta'rif. Ko'pyoqning bir yog'iga tegishli bo'lmagan ikki uchini birlashtiruvchi kesma ko'pyoqning diagonali deyiladi (73- rasm).
73- rasmda ABCDEF oltiyoq va uning diagonali DF, BE tasvirlangan. Ko'pyoqlar ko'pburchaklar singari qavariq (73-rasm) va noqavariq (74- rasm) bo'lishi mumkin.
Tayanch iboralar
Ikki yoqli burchak, perpendikulyar tekislik, uch yoqli burchak, orthogonal, proyeksiya, og’ma, tekislik, to’g’ri chiziq, fazo, burchak, teorema
Nazorat savollari
Qandat burchak ikki yoqli burchak deyiladi?
Ikki yoqli burchakning chiziqli burchagi deb nimaga aytiladi va uni qanday yasash mumkin?
To’g’ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik alomati
Uch yoqli burchak deb nimaga aytiladi?
Shaklning tekislikka ortogonal proyeksiyasi haqidagi teorema
Test savollari
1. Ikkita to’g’ri chiziqning kesishishidan hosil bo’lgan qo’shni burchaklarning gradus o’lchovlari 2:3 nisbatda bo’lsa, shu burchaklarni toping.
A) 72°;108
B) 60°;120°
C) 30°;120°
D) 30°;150°
2. Bitta nuqtadan tekislikka uzunliklari 4 va 8 bo’lgan ikkita og’ma tushirilgan. Og’malar proyeksiyalarining nisbati 1:7 ga teng.
A) 3
B) 23
C)15
3. Bitta nuqtadan tekislikka og’ma va perpendikulyar o’tkazilgan. Og’maning uzunligi 10 sm , perpendikulyarniki esa 6 sm .og’maning tekislikdagi proyeksiyasi necha santimetr.
A) 4 sm
B) 8sm
C) 5sm
4. tekislik va uni kesib o’tmaydigan AB=9 sm kesma berilgan agar kesmaning uchlaridan tekislikkacha bo’lgan masofalar AA1=7 sm, BB1=11 sm bo’lsa, AB kesma yotuvchi to’g’ri chiziqning tekislik bilan tashkil qilgan burchak sinusini toping.
A) 1/3
B) 2/9
C) 4/9
Do'stlaringiz bilan baham: | 
