Ikki karrali integralning ta’rifi Silindrik brusning hajmini topish haqidagi masala

Ikki karrali integralning ta’rifi
1. Silindrik brusning hajmini topish haqidagi masala. Yuqoridan sirt bilan, yon tomondan, yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt, pastdan tekisligidagi chegaralangan tekis soha bilan chegaralangan jism berilgan bo‘lib, shu jismning hajmi ni topish talab qilingan bo‘lsin. Buning uchun sohani shu sohada butunlay yotuvchi egri chiziqlar yordamida ixtiyoriy ravishda ta bo‘lakka bo‘lamiz: .
Bo‘luvchi chiziqlarni yo‘naltiruvchi sifatida olib, o‘qiga parallel silindrik sirtlar o‘tkazamiz. Natijada jism, ta bo‘laqlarga bo‘linadi (1-chizma)

1-chizma.
dan ixtiyoriy nuqtani olamiz. Agar har bir silindrik sirtlarini balandligi ga teng bo‘lgan haqiqiy silindr deb faraz qilsak, u holda silindrik brusning hajmi taxminan:
ga teng bo‘ladi, bunda sohaning yuzi. U holda jismning hajmi taxminan
(1)
chunki, bo‘lsin deb hisobladik.
jismning hajmini ifodalovchi (1) taqribiy formulaning aniqlik darajasini oshirish uchun sohani bo‘laklarga bo‘lish sonini shunday orttirib boraylikki, natijada har bir bo‘lakning diametri nolga intilsin bo‘lsin. U holda sohalar diametrlarining eng kattasi da yig‘indining limiti izlanuvchi jismning aniq hajmini ifodalaydi, ya’ni
(2)
2. Ikki karrali integralning ta’rifi. funksiya chegaralnagan tekis sohada berilgan bo‘lsin. sohaning ixtiyoriy bo‘lishini qaraylik. Bu bo‘linishning har bir bo‘lagidan ixtiyoriy nuqtani olib, berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymati ga sohaning yuzi ni ko‘paytirib, ushbu yig‘indini tuzami. Bu yig‘indi funksiyaning sohaning bo‘linishiga mos kelgan Riman integral yig‘indisi deb ataladi. funksiyaning integral yig‘indisi qaralayotgan funksiyaga, sohaning bo‘linish usuliga, har bir sohadan olingan nuqtaga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni sohaning shundan
(3)
bo‘linishlar ketma-ketligini qaraylikki, ularning diametrlaridan tashkil topgan ketma-ketlik nolga intilsin, ya’ni
(3) shaklidagi bo‘linishlarga mos kelgan funksiyaning integral yig‘indilari:
(4)
ketma-ketlikning har biri nuqtaga bog‘liq.
1-ta’rif. Agar sohaning har qanday (3) bo‘linishlar ketma-ketligi olinganda ham, unga mos kelgan (4) ketma-ketlik, nuqtani tanlashga bog‘liq bo‘lmagan holda hamma vaqtda bitta songa intilsa, bu songa integral yig‘indining limiti deyiladi va u kabi belgilanadi.
2-ta’rif. Agar da funksiyaning integral yig‘indisi chekli limitga ega bo‘lsa, u holda funksiya sohada integrallanuvchi (Riman ma’nosida) deyiladi.