Ikki karrali integralning ta’rifi Silindrik brusning hajmini topish haqidagi masala

Ikki karrali integralning mavjudlik sharti
Ma’lumki, funksiya integrallanuvchi bo‘lishi uchun, uning chegaralangan bo‘lishi zarur. SHuning uchun biz uni chegaralangan, ya’ni

deb faraz qilamiz. Bir o‘zgaruvchili funksiyalardagi singari, bu erda ham Darbuning quyi va yuqori yig‘indilari tushunchasini kiritamiz:

Bunda va lar mos ravishda funksiyaning sohadagi qiymatlarining aniq quyi va aniq yuqori chegaralari, sohaning ixtiyoriy bo‘lishida nuqtani tanlashga bog‘liq bo‘lmagan holda

tengsizlik bajariladi. nuqtani tanlash hisobidan qiymatni va larga istalgancha yaqinlashtashtirish mumkin, shu bilan birga ni va yig‘indilarga istalgancha yaqin qilish mumkin. SHunday qilib, Darbuning quyi va yuqori yig‘indisi integral yig‘indi uchun mos ravishda aniq quyi va aniq yuqori chegara bo‘ladi.
sohaning bo‘linishlar to‘plami ning har bir bo‘linishiga nisbatan funksiyaning Darbu yig‘indilari , ni tuzib to‘plamlarni qaraymiz. Ravshanki, bu to‘plamlar chegaralangan bo‘ladi.
3-ta’rif. Mos ravishda to‘plamlarning aniq yuqori aniq qo‘yi chegarasi, funksiyaning soha bo‘yicha quyi va yuqori ikki karrali integrali deb ataladi va ular

kabi belgilanadi.
SHunday qilib
.
4-ta’rif. Agar funksiyaning soha bo‘yicha olingan quyi hamda yuqori ikki karrali integrallari bir-biriga teng, ya’ni bo‘lsa, funksiya da integrallanuvchi deb ataladi, ularning umumiy qiymati

funksiyaning soha bo‘yicha olingan ikki karrali deyiladi va u

kabi belgilanadi. SHunday qilib ikki karrali integralning ikki xil ta’rifi berildi. Bu ta’riflar ekvivalent ta’riflardir. Darbu yig‘indilari quyidagi xossalarga ega:
1⁰. sohaning bo‘lish chiziqlariga yangi bo‘lish chizig‘ini qo‘shish bilan Darbuning quyi yig‘indisi kamaymaydi, yuqori yig‘indisi esa ortmaydi. Bu xossa sohaning bo‘linishidagi bo‘laklar soni orta borganda ularga mos Darbuning quyi yig‘indisi kamaymasligi, yuqori yig‘indining esa oshmasligini anglatadi.
2⁰. sohaning istalgan bo‘linishiga mos kelgan Darbuning har bir quyi yig‘indisi, har bir yuqori yig‘indisidan ortmaydi. Bu xossa sohaning bo‘linishlariga nisbatan tuzilgan quyi yig‘indilar to‘plami ning har bir elementi (yuqori yig‘indilar to‘plami ning har bir elementi) yuqori yig‘indilar to‘plami ning istalgan elementidan (quyi yig‘indilar to‘plami ning har bir elementi) katta(kichik) emasligini bildiradi.
3⁰. Agar funksiya sohada chegaralangan bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Bu xossa, funksiyaning quyi ikki karrali integrali, uning yuqori ikki karrali integralidan katta emasligini bildiradi.
4⁰. Agar funksiya sohada chegaralangan bo‘lsa, u holda son olinganda ham, shunday son topiladiki, uning sohaning diametri bo‘lgan barcha bo‘linishlari uchun
(5)
bo‘ladi. Bu xossa funksiyaning yuqori hamda quyi integrallari da mos ravishda Darbuning yuqori hamda quyi yig‘indilarning limiti ekanligini anglatadi:
(6)
YUqoridagi mulohazalardan
(7)
1-teorema(mavjudlik sharti). Ikki karrali integralning mavjud bo‘lishi ( funksiyaning sohada integrallanuvchi bo‘lishi) uchun
(8)
yoki
(8)
bo‘lishi zarur va etarli, bunda funksiyaning sohadagi tebranishi: . Isbot funksiya sog‘ada integrallanuvchi u holda bo‘ladi, bunda
son olinganda ham, ga ko‘ra shunday topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishga nisbatan tuzilgan Darbu yig‘indilari uchun (5) tengsizliklarga ko‘ra

Tengsizlikning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi, ya’ni (8) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Etarliligi. (8) shart o‘rinli bo‘lsin. funksiya sohada chegaralangan bo‘lganligi uchun lar mavjud bo‘lib,
bo‘ladi. (7) munosabatdan bo‘ladi. (8) shart o‘rinli bo‘lganligi uchun keyingi munosabatdan .
Bu tengsizlikdan , bundan esa, funksiyaning sohada integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Odatdagidek funksiyaning sohadagi tebranishini deb belgilasak, u holda

bo‘lib, teoremaning (8) sharti (9) ko‘rinishga keladi.