Ijtimoiy-iqtisodiy jarayonlarni modellashtirish va prognozlash

Modelda tarmoqlararo balansning asosiy matematik bog‘lanishlari.

Tarmoqlar orasidagi texnologik bog‘lanishlar bevosita (to‘g‘ri) moddiy xarajatlar koeffitsiyentlari (a_ij) bilan o‘lchanadi.

^aij
_ ^x ij
x
(6)

j
Bu koeffitsiyent j-tarmoqning 1 dona birlik mahsulotini ishlab chiqarish uchun ishlab chiqarish vositasi sifatida i-tarmoqning qancha birlik mahsuloti sarflanishini ko‘rsatadi. Bevosita moddiy xarajatlar koeffitsiyentlari kvadrat matritsa hosil qiladi:

^{a11 a12 a13 ... a1n} 
^a a a ... a ^
_ 21 22 23 2n _

a  ^a31
a32
^a33
...
^{a3n   a}ij ^

^... ... ... ... ... ^
 
^^an1 ^an2 ^an3 ^{... a}nn ^

5. 
   tenglikdan quyidagini hosil qilamiz:
   

x _ij  a_ij  X _j . (6’)
Bu ifodani (2) tenglikda o‘rniga qo‘ysak:
n

X _i  _ a_ij  X _j  Y_i ,
j 1

i  1, n

5. 
   

Bu ifoda qiymat va natural balanslardagi asosiy matematik bog‘lanish hisoblanadi. Bu tenglamalar tizimida a_ij koeffitsiyentlar aniqlangan yoki ma’lum
^{deb hisoblasak, X1 va Y1 noma’lumlar qatnashuvchi} ^{i  n} ^{ya’ni 2n ta noma’lumli}
n ta tenglamadan iborat tizim hosil bo‘ladi. Agar noma’lumlarning n tasini qandaydir usullar bilan aniqlangan yoki tanlab olingan deb faraz qilsak, qolgan n ta noma’lumni bir qiymatli holda aniqlash mumkin bo‘ladi.
Bunday hisoblashlar bashoratlashni 3 xil variantda bajarish mumkin:

1. 
   modeldagi barcha tarmoqlarning yalpi mahsulotlari hajmi berilgan bo‘lib (X_i), pirovard mahsulotlarni (Y₁) hisoblab topiladi.
   
2. 
   barcha tarmoqlar bo‘yicha so‘nggi mahsulotlar (Y_i) darajasi berilgan bo‘lib, yalpi mahsulotlar hajmini aniqlash talab qilinadi.
   
3. 
   ayrim tarmoqlar bo‘yicha yalpi mahsulotlar boshqalari uchun so‘nggi mahsulotlar darajalari berilgan bo‘lib, qolgan noma’lumlarni tizimni yechish bilan aniqlash mumkin.
   

Amaliyotda 3-holdagi masala ko‘proq o‘rinli bo‘ladi.
(7) tenglamalar tizimini vektor va matritsa tushunchalaridan foydalanib quyidagicha yozib olamiz:
X = aX+Y,
bu yerda:
X - yalpi mahsulotlar vektori
Y - pirovard mahsulotlar vektori
a - bevosita xarajatlar koeffitsiyentlari matritsasi.
(7 ) dan X-aX=Y. Bu yerda X=EX deb olamiz. E - birlik matritsa. U holda (E-
a)X=Y
yoki

(E-a)^-1 = B deb olsak yoki

X=(E-a)^-1Y (8)


X=BY

 ^{X 1} 
^b11
^b12
^b13
...
^b1n ^
^Y1 

_X 
^b b b
...
_b  _Y 

 ² 
_ 21 22 23 2n _
 ² 

X ₃  _ b₃₁
^b32
^b33
...
b_3n  _ Y ₃ 

^ ... ^{ }... ... ... ... ... ^{ }...^
     
^^X n ^ ^^bn1 ^bn2 ^bn3 ^{... b}nn ^ ^^Y n ^
ko‘rinishda yozish mumkin.

n
U holda har bir i-tarmoq uchun quyidagi o‘rinli:
X _i  _ b_ij Y _j j 1


(9)

Bu yerda b_ij koeffitsiyentlar to‘liq moddiy xarajatlar koeffitsiyentlari deyiladi. b_ij tarkibiga a_ij bilan birgalikda bilvosita xarajatlar ham qo‘shiladi. Tegishli a_ij va b_ij lar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinlidir.

1. 
   a_ij  0, b_ij  0
   
2. 
   a_ij  b_ij
   

4. 
   Balans qismlarining tavsifi
   

Faraz qilaylik, shunday iqtisodiy sistema mavjudki, uning ishlab chiqarish holati n ta tarmoqdan iborat, n ta mahsulot chiqaradi va har bir tarmoq bir xil ko‘rinishdagi tovar ishlab chiqaradi.
Deylik, k- tarmoqning k-mahsuloti uchun i-tarmoqda ishlab chiqaruvchi
a_ik ≥ 0 birlikdagi i-mahsulot kerak bo‘ladi. Shunga muvofiq holda xarajat jadvali quyidagicha bo‘ladi:

	1-mahsulot	…	k-mahsulot	….	n-mahsulot
1-tarmoq	an	…	^a1k	…	^a1n
…	…	…	…	…	…
i- tarmoq	^ai1	…	^aik	…	^ain
…	…	…	…	…	…
n- tarmoq	^an1	…	^ank	…	^ann

Yoki qisqaroq:
Hosil bo‘lgan A matritsasi moddiy xarajatlar matritsasi yoki texnik matritsa hisoblanadi.
Ilova. A matritsasi mavjud bo‘lgan tarmoqlararo aloqalar tizimi, umumiy ishlab chiqarish texnologiyasi haqida ma’lumot beradi va joriy hamda uzoq muddatli rivojlantirishda qo‘llaniladi.
Farazimizga ko‘ra, hosil bo‘lgan texnologiya o‘zgarishsiz (statsionar) va ishlab chiqarish jarayoni bir xil o‘zgarishda amalga oshiriladi, ya’ni agar k-

mahsulot uchun i-mahsulotning a_ik birligi kerak bo‘lsa, k-mahsulotning x_k birligi uchun i-mahsulotning a_ikx_ik birligi kerak bo‘ladi.
Faraz qilaylik, kelgusida ham ko‘zda tutilgan muayyan vaqt (xafta, oy, kvartal yoki yil) oralig‘ida 1-mahsulotdan x₁ ta birlik, 2-mahsulotdan x₂ ta birlik, … , n-mahsulotdan x_n ta birlik ishlab chiqarilgan.


Ya’ni

bo‘lib, u (ishlab chiqarilgan mahsulot) ustuni yoki tarmoqlar ishlari rejimi deyiladi.

Berilgan ustunda x (ishlab chiqarilgan mahsulot) i-mahsulotning umumiy xarajatlari quyidagiga teng:
Ushbu kattalikdan ishlab chiqarilgan jarayonidagi umumiy moddiy xarajatlar ustunini tuzish mumkin:

A≥0 moddiy xarajatlar matritsasi mahsuldor deb nomlanadi, bunda x>0 ishlab chiqarish ustuni topilishi lozim, shunda quyidagi tengsizlik bajariladi: Ax < x.
Tengsizlikning mazmuni: Ushbu tengsizlik berilgan iqtisodiy tizimning kamida bitta tarmogidan har bir mahsulot uning ishlab chiqarishiga ketgan tushumdan bitta ko‘p ishlab chiqarilayotganini bildiradi. Boshqacha aytganda, ushbu rejimda ishlab chiqarish jarayoni musbat qo‘shimcha oxirgi mahsulot ustunini yaratadi x – Ax > 0
Tabiiy savol tug‘iladi: berilgan matritsa mahsuldor yoki aksincha, moddiy xarajatlar ishlab chiqarish hajmidan ustun ekanligini qay tarzda tez va oson yo‘l orqali aniqlash mumkin?
Quyidagi umumiy fakt bunga javob bo‘la oladi.
Teorema. A≥0 bilan har qanday manfiy bo‘lmagan kvadrat matritsasi uchun quyidagi keltirilgan shartlar o‘rinli:

1. 
   A matritsa mahsuldor.
   
2. 
   Har bir ustun uchun c>0 bo‘lib, bunda bitta ishlab chiqari ustuni x>0 bo‘ladi, bunda: x-Ax=c.
   
3. 
   x>0 ishlab chiqarish ustunini tashkil qiluvchi xarajatlar yig‘indisi A_x≥x mavjud emas!
   
4. 
   A matritsasini quyidagi tengsizlik yorqinroq ifodalaydi:
   

λ_A=λ_max<1.
Yuqorida aytilganlar shuni bildiradiki, yuqoridagi birgina shartning bajarilishi qolgan uchtasining bajarilishini ta’minlaydi. Shu o‘rinda
λ_A < 1.
tengsizligining bajarilishi matritsaning mahsuldor ekanligini bildiradi.
Quyidagi keltirilgan misollarda biz n=2, ya’ni iqtisodiy tizimning ishlab chiqarish sohasi ikki tarmoqdan iborat deb cheklanamiz.
Misol. Quyidagi matritsa
Mahsuldormi degan savolga javob berish uchun uning ahamiyatini topib olamiz.
Bizda mavjud:
(1/3 - λ)(1/4 - λ) = 1/24
Bundan: λ² - 7/12λ + 1/24 = 0
Ushbu tenglikning ildizlari quyidagi formula bo‘yicha oson topiladi:
Va nihoyat = 1/12 ; = 1/2 Shu bilan birga
Javob: A matritsa mahsuldor.
Huddi o‘sha teoremadan A moddiy xarajatlar matritsasi mahsuldor bo‘lsa, u holda har qaysi qo‘shimcha mahsulot ustuni mos keluvchi tarmoq ishi rejimida amalga oshirilishi mumkin degan xulosani chiqarish mumkin.
Demak matritsa
Mahsuldor va
Oxirgi mahsulot ustuni. Quyida ushbu mahsulotni ta’minlash uchun tarmoqning ishlash rejimini qanday topish lozimligi ko‘rsatilgan.
Matritsa tengligini yozib chiqamiz: x- Ax = c yoki mukammalroq:
Bundan: - = va:

Nihoyat, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Mahsuldor matritsa uchun tuzilgan sistema har qanday c1 va c2 da yechimga ega bo‘ladi.

1. 
   misolda ko‘rganimizdek, A matritsasi mahsuldor,
   

bo‘lsin.

2. 
   Misol.
   

va shundan:

Sistema yechimga ega.

Oddiy hiso-kitoblardan so‘ng quyidagilarga erishamiz:
Ushbu sistema javobini noma’lumlarni chiqarib tashlash yo‘li bilan chiqaramiz.
Birinchi tenglikni 3/2 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglikka qo‘shsak, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz:
Demak, x₁=12
Xuddi shu tarzda birinchi tenglamani 1/8 ga ko‘paytirib, ikkinchisiga qo‘shgan holda ikkinchi noma’lumning yechimini topib olamiz:
Bundan :
Shunday qilib, qo‘shimcha mahsulot ni hosil qilish uchun ishlab chiqarish ustuni ga teng bo‘lishi kerak.
Iqtisodiyotning bir sektorli modelida uzoq muddatli vaqt [0,T]davomida bir
qator o‘zgaruvchan ko‘rsatkichlar: X (yalpi mahsulot hajmi), Y mahsulot iste’molining hajmi), K (kapital – ishlab chiqarish fondlari hajmi), L (mehnat), I (investitsiya hajmi) va C (ishlab chiqarishga aloqasi bo‘lmagan iste’mol – davlat xarajatlarini hisobga olmagan holda) kiradi.
Modelning umumiy ko‘rinishi. Bir sektorli modelda quyidagi balans tengligi mavjud X (t) = aX (t) + Y (t), (1)
Bu yerda: to‘g‘ridan – to‘g‘ri xarajatlar koeffitsiyenti.

Ushbu tenglik Leontevning ko‘p sektorli iqtisodiyot holatidagi matritsasi kabi. Mahsulot investitsiya va ishlab chiqarishga aloqasi bo‘lmagan iste’molga ajratadi: Y(t) = I(t) + c(t). (2)

O’z navbatida investitsiya keyingi vaqt birligi ichida ishlab chiqarish fondi ning o‘sishiga va μ normada amortizatsiyaga sarflanadi.
(3)

2. 
   va (3) aloqadorlikni (1)- tenglikka qo‘shgan holda iqtisodiy dinamikaning bir sektorli modeliga ega bo‘lamiz:
   

(4)
t=0,1, … T qiymatlarga ega bo‘lsa, (4)- tenglik quyidagicha ko‘rinishda yoritiladi: (5)
(5)-tenglik uchta o‘zgaruvchan kattaliklar: X, K va C ni o‘zaro bog‘laydi. Butun investitsiya – I hajmi ishlab chiqarish fondlariga sarflangan vaziyatni ko‘rib chiqamiz. Ya’ni μ=0 va (3)-formula bo‘yicha:
(6)
Bu yerda: q – yalpi mahsulotning kapital hajmi o‘sishi.
Natijada (5)-tenglikka qo‘shsak, Leontevning bir sektorli modeliga ega bo‘lamiz: (1 –a)Xt =q▲ Xt+Ct t=0,1,……T (7)
Leontev modelining analizi. (7)-formuladan - ni keltirib chiqarsak, undan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
q =-St (8)
Ushbu bog‘liqlik belgilangan
vaqt oralig‘ida bir turga ega bo‘lmagan setkali funksiyaning to‘g‘ri chiziqli tengligini aks ettiradi.
Leontev modelini chuqurroq tahlil qilish maqsadida (8)-tenglikka kiruvchi
parametrlar a, q va ni joylashtiramiz va umumiy yechimni aniqlaymiz.
Eslatib o‘tish joizki, bir turga kirmagan tenglamaning umumiy yechimi bir turga ega bo‘lgan yechimini o‘zida aks etadi. Mos ravishdagi jarayondan foydalanib, umumiy yechim uchun formulaga ega bo‘lamiz:
(9)
Bunda - doimiy o‘zgarmas. ni orqali tavsiflab (9)- formulaga olibborib qo‘yamiz, t = 0. Quyidagiga ega bo‘lamiz:
(10)
Ushbu (10) ko‘rinishni (9)- formulaga olib borib qo‘ysak doimiy koeffitsiyentlarga ega bo‘lgan Leontevning bir sektorli modelini keltirib chiqaramiz: (11)
X=const. sharti ostida o‘zgarmas yechimini belgilab olamiz.
(12)
Bir sektorli model (11) ning yechimi koeffitsiyent (10) belgisiga bog‘liq.
Bunda ikki xil holat mavjud:
1. Ushbu shart bajarilgan: (13)
To‘g‘ridan to‘g‘ri xarajatlar a va ishlab chiqarishga aloqador bo‘lmagan iste’mol S nisbatan yuqori bo‘lgan sharoitda iqtisodiyot degradatsiyasi kuzatiladi, ya’ni mahsulotni yalpi ishlab chiqarish vaqt bo‘yicha susayadi (mos keluvchi gorizontal chiziqlar dan pastlab boradi, 9.1- rasmning pastki qismi). Amaliyotda shu kabi holatning vujudga kelmasligi uchun yuqoridagi kattaliklar
(a,C) hajmini pasaytirish hamda qo‘llanilayotgan texnologiyaning sifatini yaxshilash lozim.
2. sharti bajarilganda, ya’ni: C X yoki X0> Xst (14)

Ushbu sharoitda umumlashtirilgan yalpi ishlab chiqarish Xst qiymatidan uzoqlashib vaqt bo‘yicha o‘sadi, (9.1 –rasmdagi yuqori qismi) bu esa iqtisodiyotning rivojlanishini anglatadi. Ushbu rivojlanishning intensivligi to‘g‘ri xarajatlar koeffitsiyenti a va yalpi mahsulot ishlab chiqarish o‘sishining kapital sig‘imkorligi q ga bog‘liq: bu kattaliklarning pasayishi iqtisodiyotning muhim ko‘rsatkichlaridan biri – mahsulot ishlab chiqarishning o‘sishiga olib keladi. Bundan tashqari, a kattaligining pasayishi iqtisodiyot rivojlanish (14) shartining bajarilishiga ta’minlash imkonini beradi.

Tabiiyki, a va q kattaliklarining kamayishi resursni tejovchi texnologiyalarni qo‘llashga bog‘liqdir. Aks holda ishlab chiqarishda xarajatli texnologiyalardan foydalanganda mahsulot ishlab chiqarish oshgani bilinmaydi. Ushbu holat davlat va mintaqa makroiqtisodiy rivojlanish strategiyalarida hisobga olinishi zarur.
V.Leontev tomonidan ikkinchi jahon urushidan oldingi davrdagi AQSh iqtisodiyotini tahlil qilish asosida quyidagi muhim fakt aniqlandi: uzoq vaqt

davomida
^aij
 x_ij x _j
kattaliklar juda kam o’zgaradi va o’zgarmas sonlar

sifatida qaralishi mumkin. Bu hodisani shunday tushunish kerakki, ishlab chiqarish texnologiyasi ancha uzoq vaqt davomida bir xil darajada turadi va, demak, j nchi

tarmoqda x _j
hajmdagi mahsulotni ishlab chiqarish uchun i nchi tarmoq

mahsulotining iste’mol qilinadigan hajmi texnologik konstanta (o’zgarmas son)dan iborat bo’ladi.

Bunda
^aij
sonlar bevosita (to’g’ri) xarajatlar koeffitsiyentlari deb ataladi.

Ko’rsatilib o’tilgan faktga asosan

^aij
 x_ij
x _j ,
^xij
 a_ij x _j ,
i, j  1, 2, , n
(2.2)

ga ega bo’lamiz. U holda (2.1) tenglamalarni
_x₁  a₁₁ x₁  a₁₂ x₂  a_1n x_n

• 
  y₁
  

^x₂  a₂₁ x₁  a₂₂ x₂  a_2n x_n


• 
  y₂
  

(2.3)

_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

^xn
 a_n1 x₁  a_{n 2} x₂  a_nn x_n

• 
  y_n
  

tenglamalar sistemasi ko’rinishida yozish mumkin.
Ishlab chiqarilgan mahsulot hajmlarining ustun-vektori (yalpi ishlab chiqarish vektori), yakuniy iste’mol mahsuloti hajmlarining ustun-vektori (yakuniy iste’mol vektori) va bevosita xarajatlar koeffitsiyentlari matritsasi

 ^x 

 ^y₁ 
^{ a}11
^a12
 a_{1n }

_{ 1 }  _y 
 
a a  a

x  ^{ x2 } ,
y  ^{ 2 } ,
_{A }  21 22
2n 
(2.4)

_
_ 
^  
  ^

 
 ^xn 
 

y
 n 


a
 n1
^an 2


a
^ nn 

larni kiritamiz. U holda (2.3) tenglamalar sistemasi matritsa shaklida
x  Ax  y (2.5) ko’rinishga ega.
Odatda bu munosabat chiziqli tarmoqlararo balans tenglamasi deb ataladi.
Bu tenglama (2.4) matritsa ko’rinishdagi ifodalanishning tavsifi bilan birga Leontev modeli deb nomlanadi.
Chiziqli tarmoqlararo balans tenglamasidan ikki maqsad uchun foydalanish mumkin. Yalpi ishlab chiqarish vektori x ma’lum bo’lgan birinchi, eng sodda holda yakuniy iste’mol vektori y ni hisoblash talab qilinadi. Ikkinchi holda
rejalashtirish maqsadlari uchun chiziqli tarmoqlararo balans tenglamasidan masalaning quyidagi shaklida foydalaniladi: Т vaqt davri (masalan, bir yil) uchun yakuniy iste’mol vektori y ma’lum bo’lib, yalpi ishlab chiqarish vektori x ni aniqlash talab qilinadi. Bu yerda A matritsasi ma’lum va y vektori berilgan (2.5)
chiziqli tenglamalar sistemasini yechish zarur.
Shu bilan birga, (2.5) sistema berilgan masalaning amaliy tabiatidan kelib chiqadigan qator xususiyatlarga ega; eng avvalo A matritsa hamda x va y vektorlarning barcha elementlari nomanfiy bo’lishi kerak.

2. 
   – Mavzu: Aholi turmush darajasi va demografik jarayonlarni prognozlash
   

Reja

1. 
   Aholi turmush darajasi va uni tavsiflovchi ko‘rsatkichlar tizimi.
   
2. 
   Aholi daromadlari va xarajatlari balansi . Aholi daromadlari va xarajalarining ekonometrik prognozi.
   
3. 
   Aholining oziq-ovqat va nooziq ovqat tovarlariga bo‘lgan ehtiyojlarini prognozi.
   
4. 
   Demografik kursatkichlar tizimi va demografik jarayenlarni prognozlash
   
5. 
   O’zbekistonda demografik holat va uning o‘zgarish tendensiyasining prognozi.
   
6. 
   Aholi soni va mehnat resurslari sonini prognozlashtirish.
   

1.