Ii bosqich 205-guruh talabasi tojimurodov botirning

III bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi.
3.1 Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi
R^m fazodagi M to’plamda funksiya berilgan bo’lib, nuqta shu to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
Ta’rif Agar
da, ya’ni
. . .

da funksiyaning limiti mavjud bo’lib,

ya’ni

bo’lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Ta’rif (Geyne ta’rifi) Agar M to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, a ga intiluvchi har qanday {x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik olinganda ham mos {f(x⁽ⁿ⁾)} ketma-ketlik hamma vaqt f(a) ga intilsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Ta’rif (Koshi ta’rifi) Agar son uchun shunday topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarda

tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.
funksiya argumentlarining orttirmalari

ga mos ushbu


ayirma f(x) funksiyaning a nuqtadagi to’liq orttirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:

. . . . . . . . . . .

ayirmalar 24* funksiyaning a nuqtadagi hususiy orttirmalari deyiladi.
Ta’rif Agar

bo’lsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.
Ta’rif Agar f(x) funksiya M to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya shu to’plamda uzluksiz deyiladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, yuqorida keltirilgan ta’riflar ko’p o’zgaruchili funksiyaning barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksizligini ifodalaydi.

3.2 Uzluksizlik funksiyalarning xossalari
Biz quyida ko’p o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalarini keltiramiz. Bunda bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari to’g’risidagi ma’lumotlardan to’la foydalana boramiz.
Ko’p o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalar ham bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari kabi xossalarga ega.
f(x) funksiya to’plamda berilgan bo’lsin, M to’plamdan biror x⁰ nuqta olib, bu nuqtaning shu to’plamga tegishli bo’lhan yetarli kichik atrofini qaraylik. f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz bo’lsin. Bunday f(x) funksiyaning x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofidagi xossalarini (lokal xossalarini) o’rganamiz:

1. 
   Agar f(x) funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda x⁰ nuqtaning yetarli
   

kichik atrofida funksiya chegaralangan bo’ladi.
Isbot Funksiya uzluksizligi ta’rifiga ko’ra bo’lib, undan f(x) funksiyani x⁰ nuqtada chekli limitga ega ekanligi kelib chiqadi. Chekli limitga ega bo’lgan funksiyaning xossalaridan esa, f(x) funksiyani x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofida chegaralanganligini topamiz.

2. 
   Agar f(x) funksiyani x⁰ nuqtada uzluksiz bo’lib, bo’lsa,
   

x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda bo’ladi.
Isbot f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksizligi ta’rifiga ko’ra, olinganda ham shunday topiladiki, barcha nuqtalar uchun

bo’ladi.
Bu yerda (agar bo’lsa, ) deb olsak, fikrimizning tasdig’iga ega bo’lamiz.
Demak, f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz va bo’lsa, x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda funksiya qiymatlarining ishorasi f(x⁰) ning ishorasi bilan bir xil bo’lar ekan:

3. 
   Agar f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz bo’lsa, x⁰ nuqtaning yetarli kichik
   

atrofidagi nuqtalar uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot f(x) funksiyaning x⁰ nuqtada uzluksizligiga asosan olinganda ham, ga ko’ra shunday topiladiki, barcha nuqtalar uchun

bo’ladi. Jumladan nuqtalar uchun ham

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Keyingi tengsizliklardan esa bo’lishi kelib chiqadi.

3.