Ii bob umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlar

II BOB


IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLAR


1.1-§ ELLIPS VA UNING TENGLAMASI

Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha bo’lgan masofalari yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalari to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) ellips deyiladi.

Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan tayin nuqtalardan birini , ikkinchisini orqali belgilaymiz.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha quramiz:
va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi ( o’qi), kesmaning o’rtasidan o’tuvchi hamda abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi ( o’qi) deb olamiz. (1-chizma)

1-chizma

Aytaylik, va nuqtalar orasidagi masofa ga teng bo’lsin. U holda bu nuqtalarning koordinatalari mos ravishda va bo’ladi: .

Odatda, va nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.
Ellipsda ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda ellips ta’rifiga binoan va masofalar yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladi. Bu o’zgarmas sonni deylik .
Demak,
. (1)
Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib topamiz:

Unda (1) ga ko’ra

bo’ladi.
Bu tenglikni quyidagicha

yozib, uning ikki tomonini kvadratga ko’tarsak, unda

bo’ladi. Bunda esa

ya’ni

bo’lishi kelib chiqadi. Keyingi tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarish natijasida

ya’ni

hosil bo’ladi.
Ravshanki, ya’ni bo’lganligi uchun bo’ladi. Uni bilan belgilaymiz:
.
Natijada

bo’lib, undan
(2)
bo’lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib ellipsdagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni bog’lovchi tenglama hosil bo’ldi. Bu (2) tenglama ellipsning sodda tenglamasi deyiladi.
Ellips tenglamasida ni – ga, ni – ga almashtirilganda tenglama o’zgarmaydi. Demak, ellips (yopiq egri chiziq) koordinata o’qlariga nisbat simmetrik joylashgan.
Agar tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, ellips o’qini ikki nuqtalarda kesadi.
Agar tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, ellips o’qini ikki nuqtalarda kesadi.
Odatda, nuqtalar ellipsning uchlari deyiladi. kesma ellipsning katta o’qi, kesma ellipsning kichik o’qi deyiladi.
Ravshanki, kesmaning uzunligi , kesma-ning uzunligi esa ga teng. Demak, (2) tenglamada ellips katta yarim o’qi, esa kichik yarim o’qi bo’ladi.
Ushbu

tenglama bilan berilgan ellipsni qaraylik. Bu ellipsning fokuslari orasidagi masofa ga teng.
Ushbu
(3)
miqdor ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ma’lumki, . Demak, ellipsning ekssentrisiteti uchun

bo’ladi. (agar bo’lsa, bo’lib, ellips aylana bo’lib qoladi).
Ellipsning ekssentrisiteti ellipsning siqilish darajasini bildiradi. Haqiqatdan ham, munosabatdan, bo’lishini e’tiborga olib topamiz:

Bu tenglikdan ko’rinadiki, ning ortib borishi bilan nisbat kamaya boradi, binobarin ellips tortila boradi.
1-Misol. Katta o’qi 10 ga, eksseptrisiteti 0,8 ga teng bo’lgan ellipsning tenglamasi topilsin.
◄Shartga ko’ra . Demak, . Ma’lumki ekssentrisitet
.
Unda bo’ladi. bo’lishidan

ekanligi kelib chiqadi. Izlanayotgan ellipsning tenglamasi

bo’ladi.