I=1, ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi ushbu nuqtalar bo'lsin

6.5. Ikkinchi tartib egri chiziqlari uchun o'ziga xoslik teoremalari
Eslatib o'tamiz, kvadrik nolga teng bo'lmagan omilga ko'paytirilguncha algebraik tenglama. So'z erkinligini nazarda tutsak, biz ushbu tenglamaning kvadratik va egri chiziqlarini chaqiramiz.
Teorema 6.31. Berilgan har xil beshta nuqtadan o'tib ketadigan noyob kvadratik ham mavjud, ularning hech biri kollinear emas.
Isbot. P­_i (x_i, y_i), i=1, ... , 5, ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi ushbu nuqtalar bo'lsin. Kerakli kvadratik tenglamaning koeffitsientlarini topish uchun 6 ta noma'lumda
a₁₁x_i²+ 2a₁₂x_iy_i + a₂₂y_i² + 2a₁x_i + 2a₂y_i + a₀ = 0 , 1=1, … , 2,
5 ta chiziqli tenglamalar tizimi nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ko'payishgacha paydo bo'ladi. Bunday tizim har doim ham echimga ega. Agar tenglamalar chiziqli ravishda mustaqil bo'lsa, nolga teng bo'lmagan koeffitsient bilan ko'paytirishgacha noyobdir. Faraz qilaylik. Masalan, beshinchi tenglama birinchi to'rtlikning chiziqli birikmasi bo'lsin, shunda P₅ dan o'tgan har qanday kvadrat. P₁, ... , P₄ orqali o'tadi. Ikki holatni ko'rib chiqing.

1. 
   P₁, … , P₄ dan uchta nuqta, masalan P₁, P₂, P₃ bitta to'g'ri chiziq ustida yotadi, uni biz l bilan belgilaymiz (24-rasmga qarang)
   

m ga o'z ichiga olgan va P₄ ni o'z ichiga olmagan m chiziq chizamiz. nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi, biz kvadrikada P₅. mavjud emasligini qarama-qarshilik.
2. P ,,, Pa dan uchta nuqta bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi. Keyin ikkita kvadrant aniqlanadi. 24-rasm 25 (25-rasmga qarang). P, € 91b P, tenglama 2 bo'yicha. Ammo q, nq2 kesishmasi (P ,, Pa, P3, Pa} ga teng. Qarama-qarshilik.

Ta'rif 6.32. Ikkinchi tartib egri chizig'ini bir nechta nuqtadan iborat bo'lsa, uni mazmunli deb ataymiz. chiziqlar (ehtimol bir-biriga to'g'ri keladigan) teorema 6.33.